Конспект Логическое следование. Задание Логическое следование
 Скачать 104.73 Kb.
|
|
Задание Логическое следование 70 Задание 12. Логическое следование Учебные задачи Овладеть терминами следование высказывательных форм; равносильность высказывательных форм. Научиться: доказывать следование в простейших случаях опровергать следование в простейших случаях доказывать и опровергать равносильность высказывательных форм в простейших случаях. Текст для чтения. Понятие логического следования. Пусть P (x) и Q(x) высказывательные формы с одной свободной переменной x. Говорят, что из высказывательной формы P (x) следует форма если при каждом значении переменной x, при котором P (x) становится истинным высказыванием, высказывательная форма также становится истинным высказыванием. Обозначение (x) ? В этом случае также говорят, что высказывательная форма следует из высказывательной формы P (x), а также, что высказы- вательная форма Q(x) есть следствие из высказывательной формы (x). Примеры. 1. Покажем, что 5x ? 14 6 0 ? 7 + 3x > Действительно, первое неравенство выполняется при ?2 6 x 6 7. Второе неравенство выполняется при x > ?2 Понятно, что всякое решение первого неравенства является решением второго 0 2 4 6 7 - ?2 0 2 4 6 Задание Логическое следование Задача. Докажите, что неравенство 2)(x ? 4) x + 3 > 0 не следует из неравенства x 2 ? 6x + 8 > Решение. Для того, чтобы доказать, что первое неравенство не следует из второго, достаточно найти хотя бы одно такое значение переменной x, при котором второе неравенство выполнено, но первое не выполнено. Первый способ. Видим первое неравенство при достаточно больших по абсолютное величине отрицательных значениях переменной x не будет выполняться, поскольку обе скобки числителя дроби 2)(x ? 4) x + и ее знаменатель окажутся отрицательными. В тоже время второе неравенство при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях переменной x будет выполнено, так как квадратный трехчлен свои отрицательные значения принимает только между корнями. Подходящим значением может быть, например, x = ?10: (?10) 2 ? 6(?10) + 8 = 100 + 60 + 8 > 0, но ? 2)(?10 ? 4) ?10 + 3 < Второй способ. Решим оба неравенства и найдем такое решение второго неравенства, которое не является решением первого. Первое неравенство решим методом интервалов. Для этого на числовую ось нанесем точки, в которых дробь 2)(x ? 4) x + изменяет свой знак. Это точки ?3, 2, и 4. Действительно, если x возрастет от числа, меньшего ?3 до числа большего ?3, то знаменатель изменит свой знак сна. Аналогично, числитель изменит свой знак, если x возрастет от числа меньшего 2 до числа большего 2, но меньшего, чем 4, или же от числа меньшего 4, но большего, чем 2) до числа большего Теперь придадим x произвольное значение, отличное от точек изменения знака (от ?3, 2, 4) и удобное для оценки знака дроби. Например, возьмем 1 В математических исследованиях и задачах редко встечаются высказыва- тельные формы вообще. Обычно имеют дело с частными видами высказыва- тельных форм уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системы неравенств и т. д. Поэтому обычно говорят о том, что некоторое уравнение следует из другого, некоторое уравнение следует изданной системы неравенств и т. п Задание Логическое следование = Видно, что при этом значении каждая из скобок числителя и знаменатель принимают положительное значения, поэтому вся дробь принимает положительное значение. Остается каким-либо образом показать на рисунке знак, который имеет наша дробь на томили ином участке числовой приямой. Можно, например, это сделать так или c помощью линии, часть которой выше числовой оси или ниже ее, в зависимости оттого, какой из знаков + или ? имеет наша дробь Изобразим также решение второго (квадратичного) неравенства Видно, что имеются числа, например, ?4, в которых второе неравенство истинно, а первое нет. В общем случае, высказывательные формы могут зависеть не от одной, а от нескольких переменных. Пусть P, Q высказы- вательные формы, а x 1 , x 2 , . . . , x n все переменные, входящие хотя бы в одну из них. Говорят, что высказывательная форма является следствием высказывательной формы P из P следует, если при всяких значениях переменных x 1 , x 2 , . . . , при которых P принимает значение И, высказывательная форма также принимает значение И. Примеры. 3. Покажем, что x 2 + y 2 6 1 ? x > Действительно, пара вещественных чисел) удовлетворяет высказыватель- ной форме x 2 + y 2 6 1, если и только если точка с координатами (x, y) принадлежит кругу радиуса 1 c центром вначале координат. Для любой такой пары точек, естественно Задание Логическое следование 73 Заметим, что, согласно определению, из всякой тождественно ложной высказывательной формы следует любая высказыватель- ная форма. Из определений также получаем, что следование высказыва- тельных форм связано своего рода обратным соотношением с вхождением вдруг друга их множеств истинности (x) ? если и только если выполнено (x) } ? { x Q(x) } . 12.2. Равносильные высказывательные формы. Два высказывания называются равносильными, если они одновременно оба истинны или оба ложны. Заметим, что высказывательные формы P и Q равносильны, если одновременно P ? Q и Q ? P. Если и Q равносильные высказывательные формы или высказывания, то пишут Очевидно, две высказывательные формы равносильны друг другу, если и только если, их множества истинности равны. В опросы для самоконтроля) Пусть A и B высказывательные формы, причем при всех значениях переменных, входящих в какую либо из этих форм, всякий раз, когда B принимает значение И , форма A также принимает значение И . Можно ли утверждать, что одна из форм наверняка следует из другой Какая именно) Пусть при всех значениях переменных, при которых форма B принимает значение Л , высказывательная форма A также принимает значение Л . Можно ли утверждать, что одна из форм наверняка следует из другой Какая именно) Пусть при всех значениях переменных, при которых форма B принимает значение И , высказывательная форма A принимает значение Л . Можно ли утверждать, что ни одна из форм не следует из другой Задание Логическое следование 74 Упражнения 1. Объясните, почему каждое из следующих утверждений ис- тинно: (а) x = 3 ? x 2 ? 7x + 12 = б) x > 6 ? x 2 ? 7x + 12 > в) x 2 < 1 ? x < 2. 2. Опровергните следования: (а) |x| > 5 ? x > б) x 2 = 4x+5 ? x 2 +10 = в) x 2 < x + 12 ? x 2 + x < 12. 3. Выясните, какие из следующих утверждений верны: (а) x < 1 ? |x| < б > 2 ? x > в) log 2 x > 1 ? x > г) x > 10 ? log 3 x > 0? 4. Какие из высказывательных форм следуют из условия 5 x ? 2 > а) x 2 ? 8x + 12 > б + 3)(x ? 7) x ? 3 6 в + 4)(x ? 3) (x ? 2) 2 6 г) |x ? 1| < |x ? 3|? 5. Среди перечисленных высказывательных форм найдите те, из которых следует высказывательная форма 3 > а) x 2 ? 3x + 5 6 б 5 8 ? x > в) log 2 (x ? 2) > г + 2 < x ? 4? 6. Докажите или опровергните следующие утверждения: (а) x ? 3 x ? 2 > 0 ? x 2 ? 5x ? 6 > б) x 2 ? 5x ? 24 6 0 ? x ? 8 x + 3 6 в 5 > 2 ? log 3 x > 2; Задание Логическое следование 75 (г) x ? 5 x ? 9 6 0 ? ? x ? 5 < Ответы. (а) Например, если x = ?10, то |x| = | ? 10| = 10 > однако x = ?10 < 5; (б) например, при x = ?1 высказы- вательная форма x 2 = принимает значение И , а x 2 +10 = 7x значение Л ; (в) например, при x = 3,5 неравенство x 2 < x + принимает значение И , а неравенство x 2 + x < 12 значение Л . 3. (б, (в, гав, (га, (б, (в, (г. Истинны (в), (г ложны (а, (б |