дурколет. Лекция 5. Электроемкость. Конденсаторы. Задерновский Анатолий Андреевич

Название	Задерновский Анатолий Андреевич
Анкор	дурколет
Дата	04.05.2022
Размер	1.72 Mb.
Формат файла
Имя файла	Лекция 5. Электроемкость. Конденсаторы.pdf
Тип	Документы #511634

Задерновский Анатолий Андреевич
Заведующий кафедрой физики ФТИ РТУ МИРЭА, доктор физико-математических наук, профессор, zadernovsky@mirea.ru

•
Электроёмкость уединённого проводника
Если незаряженному проводнику сообщить заряд q , то этот заряд распределяется по его поверхности таким образом, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Поверхностная плотность зарядов будет зависеть только от формы проводника. Она велика в тех местах, где поверхность наиболее выпуклая (с малым радиусом кривизны), и значительно меньше в области плоских участков и впадин. Если проводнику, уже имеющему заряд q , сообщить еще заряд той же величины, то он должен распределиться по проводнику
точно
таким же образом
, как и первый. В противном случае он создаст в проводнике поле, отличное от нуля. В результате, поверхностная плотность заряда в каждой точке увеличится в два раза.
Коэффициент C называется электроёмкостью проводника и определяется только геометрическими
параметрами (размером и формой) тела, диэлектрической проницаемостью окружающей среды, и не
зависит от величины заряда.
В СИ за единицу емкости принят фарад (в честь М. Фарадея): фарад это емкость такого проводника, которому для повышения потенциала на 1 В, необходимо сообщить заряд в 1 Кл.
C
q


Таким образом, различные по величине заряды распределяются на удаленном от других тел уединенном проводнике таким образом, что отношение поверхностных плотностей заряда в двух произвольных точках проводника при любой величине заряда будет одно и то же. Отсюда вытекает, что потенциал

уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду q .
Коэффициент пропорциональности принято записывать как 1/C , то есть
Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в то же число раз поверхностной плотности заряда и напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства.
Следовательно, в такое же число раз возрастет потенциал проводника, численно равный работе сил поля при переносе единичного положительного заряда с поверхности проводника на бесконечность.

•
Электрическая ёмкость. Конденсаторы
Электрическая ёмкость проводника является показателем его способности накапливать и хранить электрический заряд. На уединённом проводнике хранить заряд не удобно. Вокруг заряженного проводника есть электрическое поле. Более удобным устройством для накопления заряда является конденсатор. Само название конденсатор происходит от латинского
“condensatio”

накопление. Простейший конденсатор состоит из двух близко расположенных друг к другу проводников (обкладок). На одной из них сосредоточен положительный заряд, а на другой

такой же по величине, но отрицательный. Чтобы на емкость конденсатора не влияли окружающие тела, обкладкам придают такую форму, при которой электрическое поле было бы все сосредоточено между ними. Это условие выполняется в случае, если обкладки имеют следующий вид:
1.
две большие плоские пластины – плоский конденсатор;
2.
два коаксиальных цилиндра – цилиндрический конденсатор;
3.
две концентрические сферы – сферический конденсатор.
•
Электроёмкость проводящей сферы (шара)
Зарядим металлическую сферу (шар) зарядом q . Этот заряд распределится равномерно на поверхности сферы
(шара). Потенциал, создаваемый поверхностными зарядами в центре сферы (шара) радиуса R будет равен
R
q
0 4
1



Такой же потенциал будет и во всех других точках сферы (шара). Видно, что 1 Ф — это емкость шара с радиусом
, что в 13 раз превышает радиус
Солнца и в 1413 раз — радиус Земли. Таким образом, емкость Земли составляет примерно 1/1413 Ф, то есть примерно 700 мкФ . Иными словами, 1 Ф — это огромная емкость. Чаще используются дольные единицы 1 мкФ = 10
-6
Ф , 1 нФ = 10
-9
Ф , 1 пкФ =
10
-12
Ф . Если сфера (шар) находится в диэлектрической среде с проницаемостью

, то потенциал уменьшается в

раз , а ёмкость увеличивается в

раз.
R
q
C
0 4




м
10 9
)
4
(
1 9
0 0




R

•
Электрическая ёмкость конденсатора
Под емкостью конденсатора понимают величину, пропорциональную заряду q на
положительной обкладке
и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками U , то есть
U
q
q
C



2 1


Разность потенциалов между обкладками конденсатора равна
Так же как и емкость уединенного проводника, емкость конденсатора измеряется в фарадах (Ф).
•
Ёмкость плоского конденсатора
Плоский конденсатор состоит из двух параллельных проводящих пластин площадью S, расстояние d между которыми много меньше их линейных размеров. Пусть между пластинами находится диэлектрик с проницаемостью

. Сообщим обкладкам конденсатора заряды +q и

q. Считаем, что все поле сосредоточено в зазоре между пластинами, и оно является однородным. Напряженность этого поля равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждой пластиной, то есть
S
q
Е
0 0





S
qd
U
0 2
1






Ed
d
d
U







2 1
2 1
2 1
r
E
r
E






Отсюда, согласно определению емкости конденсатора, получаем
U
q
q
C



2 1


d
S
С
0


d
S
С
0



Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора равна
•
Ёмкость цилиндрического конденсатора
Цилиндрический конденсатор представляет из себя два коаксиальных проводящих цилиндра с радиусами R
1
и
R
2
, вложенных один в другой. Пусть длина цилиндров L и пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью

. Предполагаем, что ширина зазора между цилиндрами много меньше их радиусов и длины.
Это дает возможность считать, что электрическое поле практически полностью локализовано в пространстве между цилиндрами.
1 2
0 0
0 2
1
ln
2 2
2 2
1 2
1 2
1
R
R
r
dr
dr
r
d
U
R
R
R
R
R
R

















r
E


Отсюда, согласно определению емкости конденсатора, получаем
U
L
U
q
q
C







2 1
)
ln(
2 1
2 0
R
R
L
С


Сообщим цилиндрам заряды +q и

q Напряженность электрического поля, создаваемого однородно заряженным цилиндром с линейной плотность заряда


=q/L , найдем из теоремы Гаусса
L
rL
D
d
Φ
S







2
)
(
S
D


r
D
E
0 0
2





r
D


2


Разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора равна
•
Ёмкость сферического конденсатора
Сферический конденсатор представляет из себя две концентрические проводящие сферы с радиусами R
1
и R
2
Пусть пространство между сферами заполнено диэлектриком с проницаемостью

. Сообщим обкладкам заряды
+Q и

Q . Очевидно, электрическое поле полностью локализовано в пространстве между сферами.
















2 1
0 2
0 2
0 2
1 1
1 4
4 4
2 1
2 1
2 1
R
R
Q
r
dr
Q
dr
r
Q
d
U
R
R
R
R
R
R





r
E


Отсюда, согласно определению емкости конденсатора, получаем
U
Q
Q
C



2 1


1 2
2 1
0 4
R
R
R
R
С



Напряженность электрического поля, создаваемого однородно заряженной сферой найдем из теоремы Гаусса
Q
r
D
d
Φ
S





2 4
)
(

S
D


2 0
0 4
r
Q
D
E




2 4 r
Q
D



•
Последовательное соединение конденсаторов
Конденсаторы часто соединяют в батареи. Если первой обкладке батареи конденсаторов сообщается заряд +q , то на ее второй обкладке появится индуцированный заряд

q . Поскольку эта обкладка соединена с первой обкладкой второго конденсатора и поскольку действует закон сохранения заряда, на ней появится заряд +q . В свою очередь, это приведет к появлению заряда

q на другой обкладке второго конденсатора и т. д.
В результате
все последовательно соединенные конденсаторы будут заряжены одинаково, причем батарее мы сообщили
только заряд q
Для общей емкости C всей системы конденсаторов получаем
Напряжение U на клеммах всей батареи конденсаторов равно
N
N
N
N
N
N
N
U
U
U
U
U




















1 2
1 1
1 2
2 1
1 0
0
)
(
)
(
)
(
)
(












N
N
N
N
N
N
C
C
C
C
q
U
q
U
q
U
q
U
q
U
U
U
U
q
U
С
1 1
1 1
1 1
2 1
1 2
1 1
2 1





















N
N
C
C
C
C
С
1 1
1 1
1 1
2 1








•
Параллельное соединение конденсаторов
В случае параллельного соединения конденсаторов, напряжение на батарее U равно напряжению на каждом
конденсаторе
Для общей емкости C всей системы конденсаторов получаем
N
N
N
N
C
C
C
C
U
q
U
q
U
q
U
q
U
q
C













1 2
1 1
2 1


Заряжая такую батарею, мы сообщаем ей заряд q , часть которого попадет на обкладки первого конденсатора, часть — на обкладки второго и т. д. Вследствие закона сохранения электрического заряда полный заряд батареи
q параллельно соединенных конденсаторов будет равен сумме зарядов отдельных конденсаторов
N
N
q
q
q
q
q






1 2
1

N
N
C
C
C
C
C






1 2
1


•
Потенциальная энергия системы неподвижных точечных зарядов
Рассмотрим сначала два заряда q
1
и q
2
, находящиеся на расстоянии r
12
друг от друга. Потенциальная энергия этой системы зарядов может рассматриваться двояко: (1 ) как потенциальная энергия заряда q
2
в электрическом поле заряда q
1
; или (2)
как потенциальная энергия заряда q
1
в электрическом поле заряда q
2
. По определению потенциала электростатического поля имеем
Теперь добавим к системе зарядов q
1
и q
2
третий заряд q
3
. Потенциальную энергию трех зарядов найдем, если к предыдущей формуле добавим потенциальную энергию заряда q
3
в электрическом поле зарядов q
1
и q
2
. То есть
12 2
0 1
1 1
4 1
r
q
q
q
W





;
4 1
12 1
0 2
2 2
r
q
q
q
W





)
(
2 1
4 1
4 1
2 1
2 2
1 1
12 1
0 2
12 2
0 1




q
q
r
q
q
r
q
q
W























23 2
13 1
0 3
12 2
0 1
4 1
4 1
r
q
r
q
q
r
q
q
W


)
(
2 1
4 1
2 1
3 3
2 2
1 1
23 2
13 1
3 23 3
12 1
2 13 3
12 2
1 0




q
q
q
r
q
r
q
q
r
q
r
q
q
r
q
r
q
q
W

































Ясно, что для произвольной системы точечных зарядов имеем


i
i
i
q
W

2 1

i

потенциал в точке нахождения заряда q
i
, создаваемый всеми остальными зарядами, кроме q
i

•
Энергия уединённого заряженного проводника
Рассмотрим уединенный проводник с зарядом q . Весь этот заряд распределен по его поверхности, и потенциал всех точек проводника одинаков

= const. Потенциальная энергия системы точечных зарядов этого проводника


i
i
i
q
W

2 1


i
i
q
W

2 1
С
q
С
q
W
2 2
2 2
2





•
Энергия заряженного конденсатора
Найдем теперь энергию конденсатора, то есть потенциальную энергию взаимного расположения зарядов на обкладках конденсатора. Пусть потенциал обкладки конденсатора с зарядом +q равен

1
, а потенциал обкладки с зарядом

q равен

2
Тогда энергия этой системы зарядов конденсатора будет равна
)
(
2 1
)
(
2 1
2 1
2 1








q
q
q
W
где мы приняли во внимание соотношение q = C

, которое является определением электрической ёмкости проводника C . где мы приняли во внимание соотношение q = CU , которое является определением электрической ёмкости конденсатора C .
С
q
CU
qU
W
2 2
2 2
2



•
Процесс зарядки конденсатора
Процесс возникновения зарядов на обкладках конденсатора можно представить так, что от одной обкладки последовательно отнимают очень малые порции заряда dq и перемещают на другую обкладку. При этом, совершается элементарная работа dA = Udq =(q/C)dq . Эта работа идет на увеличение энергии запасенной в конденсаторе, поэтому
С
q
qdq
C
A
W
q
2 1
2 0





•
Объемная плотность энергии электростатического поля
Фактически, энергия заряженных проводников или конденсаторов это энергия создаваемых ими полей. В каждом малом объеме пространства, пронизанного силовыми линиями поля, сосредоточена какая-то энергия.
Чтобы ее найти, запишем энергию плоского конденсатора таким образом, чтобы объем пространства между обкладками присутствовал явно.
Пусть между пластинами находится диэлектрик с проницаемостью

Напряженность поля плоского конденсатора E связана с разностью потенциалов U между обкладками и величиной зазора d соотношением
E = U/d . Выразим энергию плоского заряженного конденсатора через напряженность электрического поля где мы приняли во внимание, что V = Sd это объем пространства между пластинами конденсатора. Так как поле в плоском конденсаторе однородно, то энергия поля распределена в пространстве с плотностью
2 2
0
E
V
W




Мы получили формулу, значение которой выходит далеко за пределы задач о конденсаторах. В сущности, конденсаторы в этой формуле уже не видны: есть напряженность электрического поля, которая определяет плотность распределения энергии, в каждой точке пространства. Принимая во внимание выражение для индукции электрического поля D =

0
E перепишем полученную формулу также в виде
V
E
εε
Sd
d
U
εε
U
d
S
εε
CU
W
2 2
2 2
2 0
2 0
2 0
2










0 2
2 0
2 2
2
εε
D
ED
E
εε





•
Условие задачи
Найти емкость плоского конденсатора, пространство между обкладками которого заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d
1
и d
2
и с проницаемостями

1
и

2
. Площадь каждой обкладки равна S .
•
Решение задачи
Поместим на верхнюю пластину конденсатора заряд +q , а на нижнюю - заряд

q . Электрическую индукцию D
в пространстве между обкладками конденсатора найдем по теореме Гаусса. Принимая во внимание, что снаружи конденсатора электрического поля нет, а внутри конденсатора вектор электрической индукции направлен перпендикулярно его обкладкам, запишем для гауссовой поверхности, показанной на рисунке где

= q/S - поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора.
Напряженности электрического поля в слоях диэлектрика описываются выражениями
Разность потенциалов между пластинами равна U = E
1
d
1
+ E
2
d
2
. Поэтому для емкости конденсатора, по определению, имеем
При

1
=

2
=

приходим к известной формуле для плоского конденсатора
, где d = d
1
+ d
2
S
S
D
d
S






S
D


S
q
D



,
2 0
2 0
2 1
0 1
0 1
S
q
D
E
S
q
D
E












2 2
1 1
0
/
/



d
d
S
U
q
C



d
S
C
0



•
Условие задачи
Конденсатор емкости C
1
, заряженный до разности потенциалов U , подключили с помощью ключа K параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых C
2
и C
3
. Какой заряд

q протечет при этом по соединительным проводам?
•
Решение задачи
Вначале заряд первого конденсатора был равен Q = C
1
U . После замыкания ключа K этот заряд перераспределился между конденсаторами таким образом, что напряжения на первом конденсаторе и на подключенной батарее оказались одинаковыми. Обозначим новый заряд на первом конденсаторе через q
1
Заряды конденсаторов C
2
и C
3
одинаковы q
2
=
q
3
. Закон сохранения заряда даёт а равенство напряжений приводит к соотношению
,
2 1
q
q
Q


Решая эти уравнения совместно, получаем
1 1
3 2
2 3
3 2
2 1
1










C
C
q
C
q
C
q
C
q
;
1 1
1 1
1 3
2 1
3 2
1
















C
C
C
C
C
Q
q
1 1
1 1
1 1
3 2
1 3
2 1
1 2
C
C
C
U
C
C
C
C
Q
q












На конденсаторе C
2 не было заряда, но после замыкания ключа K появился заряд равный q
2
. Следовательно, по соединительному проводу протёк заряд
1 1
1 3
2 1
2
C
C
C
U
q
q




