Лекция 3_. Закон 1(Закон инерции)

• Название: Закон 1(Закон инерции)
• Дата: 13.01.2022
• Размер: 351.75 Kb.
• Имя файла: Лекция 3_.docx
• Тип: Закон; #330025

Лекция 3 Динамика материальной точки. Основные законы механики Ньютона. Задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной точки в декартовых и естественных координатах. Решение прямой и обратной задач динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. Принцип Даламбера. Общие теоремы динамики точки. Механическая система. Классификация сил, действующих на систему: силы внутренние и внешние, задаваемые и реакции связей. Центр масс. Свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс системы. Моменты инерции системы и твердого тела относительно плоскости, оси, полюса. Радиус инерции. Теорема Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей. Теорема об изменении количества движения системы точек в дифференциальной и конечной формах. Теорема об изменении кинетического момента системы точек. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек. Работа силы

В динамике изучаются механические движения материальных тел, происходящие во времени и пространстве, с учетом причин, вызывающих изменения этих движений. Пространство, в котором происходят движения, рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной и протекает одинаково во всех точках пространства. Пространство и время не зависят от свойств движущихся материальных объектов и называются абсолютными.

Закон 1(Закон инерции):

Изолированная материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения пока и поскольку приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Свойство материальных объектов сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения называется инертностью. Скалярная величина, являющаяся мерой инертности, называется массой. Системы отсчета, по отношению к которым выполняется первый закон динамики, называются инерциальными. Системы отсчета, по отношению к которым не выполняется первый закон динамики, называются неинерциальными.

С той или иной степенью точности и для решения практических задач различные системы отсчета могут приниматься за инерциальные. Для солнечной системы инерциальной можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые "неподвижные звезды" (гелиоцентрическая система). Для различного круга задач с достаточной для практики точностью можно рассматривать в качестве инерциальной системы отсчета систему, связанную с Землей, т.е. систему, имеющую начало в центре Земли, а оси направлены на ''неподвижные звезды'' (геоцентрическая система)..

Количеством движения МТ называется векторная величина, равная произведению массы МТ на скорость ее движения – .

Закон 2(Основной закон динамики):

Производная по времени от количества движения МТ равна приложенной к ней силе. . (1)

Если масса точки постоянна, то из соотношения (1) следует: (2)

т. е. произведение массы МТ на ее ускорение равно силе, приложенной к МТ.

Закон 3(Закон равенства действия и противодействия):

Две МТ действуют друг на друга с силами, которые равны по модулю и направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей эти МТ.

Закон 4(Закон независимости действия сил):

Если на МТ постоянной массы действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других и сообщает МТ такое ускорение, которое она сообщила бы, действуя отдельно.

Следовательно, если на МТ массы m действует система сил , то каждая сила сообщит точке ускорение . ( = 1,…, n) (3)

Суммарное ускорение, получаемое точкой от действия всей системы сил, будет: или . (4)

Из соотношения (4) следует, что система сил сообщает такое же ускорение, которое ей бы сообщила равнодействующая данной системы сил: . (5)

Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две задачи динамики точки

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи).

Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку.

На основании второго закона динамики (6)

с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения: , получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме: . (7)

Спроектировав соотношение (6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат:

, , ,

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси:

(8)

Спроектировав соотношение (6) на оси естественного трехгранника ( ) и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения:

, , ,

получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника : (9)

Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

С помощью уравнений (7)-(9) ставятся и решаются две основные задачи динамики материальной точки.

Первая (прямая) задача динамики материальной точки:

зная массу материальной точки и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на материальной точки силы.

Вторая (обратная) задача динамики материальной точки:

зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Для несвободной материальной точки обычно необходимо, зная массу материальной точки и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи.

Динамика несвободной материальной точки

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи. (1)

Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой линии

,

Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.

Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.

Связь называетсядвухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.



Пример

Материальная точка подвешена на стержне длины .

Уравнение связи имеет вид:



Связь называетсяодностороннейесли, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях.

П ример

Материальная точка подвешена на нити длины .

Уравнение связи имеет вид:



Принцип освобождаемости от связей

Связь можно отбросить заменив действие связи силой реакции связи. .

Здесь к активным силам, равнодействующая которых F , добавляется динамическая реакция связи R . Реакция R является пассивной силой, так как зависит от приложенных к точке активных сил, физических свойств связи и движения точки. Последнее определяет ее отличие от реакции связи в статике, что подчеркивается ее названием.

Реакцию связи R можно всегда разложить по двум направлениям на составляющие, одну из которых N направить по нормали к поверхности связи, определяемой (1), а другую — в плоскости, перпендикулярной к нормали. Если второй составляющей пренебречь, то поверхность можно считать абсолютно гладкой, а связь — идеальной. В этом случае реакцию связи представляют в виде , где X = N/grad(f) — скалярный коэффициент, называемый множителем Лагранжа (связи). Векторное уравнение движения несвободной точки с идеальной связью принимает вид

₍₂₎

В проекциях на оси декартовой системы координат получаем уравнения

,

, (3)

.

известные как уравнения Лагранжа первого рода.

Три дифференциальных уравнения (3) и уравнение связи (1) содержат четыре неизвестные функции, следовательно, решение возможно. Однако в декартовых координатах при произвольном выборе системы отсчета аналитическое решение задачи удается получить лишь для простейших связей первого порядка.

Относительное движение материальной точки

В о многих задачах динамики движение материальной точки рассматривается относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы отсчета.

Получим дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно подвижной системы отсчета.

- инерциальная система отсчета. - подвижная система отсчета.

,

где - сумма активных сил, - сумма сил реакции связи.

Согласно теореме Кориолиса

Перепишем дифференциальное уравнение следующим образом



Введем обозначения

- переносная сила инерции,

- кориолисова сила инерции.

С учетом этих обозначений мы получаем динамическую теорему Кориолиса (уравнения относительного движения).

Материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и силам реакции связей следует добавить кориолисову и переносную силу инерции.



Силы и являются поправками на неинерционность системы.

В проекциях на подвижные оси







Частные случаи относительного движения

1. Относительное движение по инерции

Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета прямолинейно и равномерно, то такое движение называется относительным движением по инерции.

, , следовательно



2. Относительное равновесие

При покое материальной точки относительно подвижной системы отсчета ее относительные скорость и ускорение равны нулю, т.е.

и , следовательно ускорение Кориолиса тоже равно нулю

Условие относительного равновесия имеет вид:



3. Инерциальные системы отсчета

Переносное ускорение в общем случае вычисляется по формуле

,

где - ускорение точки, принятой за полюс (начало координат); - угловая скорость вращения подвижной системы координат вокруг выбранного полюса; - угловое ускорение этого вращения ( ); - радиус-вектор движения точки относительно полюса.

Если подвижная система отсчета движется поступательно, прямолинейно и равномерно, то

,

и уравнения относительного движения имеют вид:

.

Подвижная система отсчета тоже инерциальна.

Система материальных точек

Пусть СМТ состоит из n МТ (В₁, В₂, …, В_n), массы которых соответственно m₁, m₂,…m_n.

В динамике СМТ вводится следующая классификация сил:

Внешними силамидля данной СМТназываются силы, с которыми действуют на нее объекты, не входящие в рассматриваемую СМТ.

Внутренними силамидля данной СМТ называются силы взаимодействия между МТ, входящими в рассматриваемую СМТ.

Обозначим через и соответственно равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на -ю МТ.



По закону равенства действия и противодействия внутренние силы, действующие на две произвольно выбранные МТ, входящие в СМТ, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны :

. (10)



Используя этот закон, получим два следующих свойства внутренних сил СМТ:

• 
  главный вектор всех внутренних сил, действующих на СМТ, всегда равен нулю:
  

; (11)

• 
  главный момент всех внутренних сил, действующих на СМТ, относительно произвольного центра всегда равен нулю:
  

. (12)

В справедливости соотношения (3) можно убедиться, подсчитав сумму моментов внутренних сил, приложенных к двум произвольно выбранным МТ, входящим в СМТ, относительно любого центра.

Центр масс СМТ. Моменты инерции СМТ

Пусть СМТ состоит из n МТ с массами , ,.…, .

Определение: Центром масс СМТназывается геометрическая точкаC, радиус-вектор которой определяется выражением: , (13)

где М – масса СМТ, которая определяется соотношением: . Спроектировав соотношение (1) на оси декартовой системы координат, получим формулы для координат центра масс СМТ: .

Моментом инерции СМТ относительно точки О – J_O называется сумма произведений масс МТ на квадраты их расстояний – до точки О: .

Моментом инерции СМТ относительно оси (например, оси z) – называется сумма произведений масс МТ на квадраты их расстояний – h_ до оси z: .

Моментом инерции СМТ относительно плоскости П – J_Пназывается сумма произведений масс МТ на квадраты их расстояний – d_ до плоскости П: .

Дифференциальные уравнения движения СМТ

На основании второго (основного) закона динамики в форме для каждой МТ можно записать:

(=1, 2, ..., n). (14)

Система (14) является системой n дифференциальных уравнений движения СМТ в векторной форме.

Теорема об изменении количества движения СМТ

Второй основной закон динамики для -й МТ, входящей в СМТ, с учетом классификации сил, действующих на нее, можно записать в форме: (=1, 2, ..., n).

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим: (15)

Используем формулу для главного вектора сил и учтем свойство внутренних сил:

, ,(16)

где – главный вектор всех внешних сил, – главный вектор всех внутренних сил.

Количеством движения СМТ называется геометрическая сумма количеств движений МТ, входящих в СМТ:

. (17)

Подставляя выражение (16) и (17) в соотношение (15), получим теорему об изменении количества движения СМТ в дифференциальной форме: (18)

Теорема: Производная по времени от количества движения СМТравна главному вектору внешних сил, действующихна СМТ.

Проектируя соотношение (5) на оси декартовой системы координат, получим:

, , . (19)

Из формулы (6) следует, что производная по времени от проекции количества движения СМТ на какую-либо ось декартовой системы координат равна сумме проекций на эту же ось приложенных к СМТ внешних сил.

Умножим обе части соотношения (18) на dt: .

Проинтегрировав это выражение, считая, что в начальный момент времени количество движения СМТ было равно , получим теорему об изменении количества движения СМТ в конечной форме:

. (20)

Здесь , – скорость движения -й МТ в начальный момент времени, а – импульс главного вектора внешних сил или сумма импульсов внешних сил, действующих на СМТ за промежуток времени t: .

Теорема: Изменение количества движения СМТ за конечный промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на СМТ, за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси декартовой системы координат эта теорема в конечной форме имеет вид:

, (21)

т.е изменение проекции количества движения СМТ за конечный промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на СМТ, за тот же промежуток времени.

Теорема о движении центра масс СМТ

Считая, что массы МТ постоянны, преобразуем формулу, определяющую количество движения СМТ, следующим образом: . (22)

На основании определения центра масс , поэтому: (23)

Подставляя соотношение (23) в (22), получим:

Таким образом, количество движения СМТ равно количеству движения, которое имел бы центр масс СМТ, если бы в нем была сосредоточена вся масса СМТ . (24)

Подставляя (24) в теорему об изменении количества движения СМТ

получим теорему о движении центра масс СМТ в векторной форме: (25)

Теорема: Центр масс СМТ движется как МТ, в которой сосредоточена вся масса СМТ и к которой приложены все внешние силы, действующие на СМТ.

Проектируя второе соотношение формул (4) на оси декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения движения центра масс СМТ в проекциях на оси декартовой системы координат:

(26)

Из теоремы о движении центра масс СМТ можно получить два следствия, аналогичные закону сохранения количества движения СМТ.

Теорема об изменении кинетического момента СМТ

Запишем теорему об изменении момента количества движения МТ для -й точки СМТ, учтя, что на нее действуют – равнодействующая всех внешних сил и – равнодействующая всех внутренних сил:

. (=1,2,...,n)

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим: (27)

Используя формулу для главного момента системы сил и учтя свойство внутренних сил, имеем:

, , (28)

где - главный момент всех внешних сил, а - главный момент всех внутренних сил относительно какого-либо центра.

Введем понятие кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра О.

Определение: Кинетическим моментом или моментом количества движения СМТ называется геометрическая сумма моментов количества движения МТ, входящих в СМТ, относительно того же центра:

. (29)

Подставив (28) и (29) в (27), получим теорему об изменении кинетического момента СМТ в следующем виде: . (30)

Теорема: Производная по времени от кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно того же центра.

Спроектировав соотношения (4) на оси декартовой системы координат с началом в центре О и учтя связь между моментами силы относительно точки и оси, получим:

(31)

Отсюда следует, что производная по времени от проекции кинетического момента СМТ на какую-либо ось равна проекции главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на эту ось или сумме моментов всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно этой оси.

Теорема об изменении кинетической энергии СМТ

Введем понятие кинетической энергии СМТ.

Определение: Кинетической энергией СМТ называется величина, равная сумме кинетических энергий входящих в нее МТ: , (32)

, –суммы элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ; , –соответственно суммы их мощностей;

, –соответственно суммы работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

С учетом принятых обозначений запишем три формы (две дифференциальных и одну конечную) теоремы об изменении кинетической энергии СМТ.

Теорема: Дифференциал кинетической энергии СМТ равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ. .

Теорема: Производная от кинетической энергии СМТ равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ. .

Теорема: Изменение кинетической энергии СМТ на ее конечном перемещении из одного положения в другое равно сумме работ приложенных внешних и внутренних сил, на том же перемещении.

.

Рассмотрим сумму элементарных работ всех внутренних сил, действующих на СМТ.

Выделим из СМТ две произвольные МТ В_ и B_, положение которых относительно неподвижного центра О определяется радиус-векторами . Обозначим через и ( ) силы взаимодействия между этими МТ и определим сумму элементарных работ этих сил (рис):





Из полученного соотношения следует, что элементарная работа внутренних сил, с которыми две точки СМТ действуют друг на друга, будет равна нулю только в случае , т. е. когда , что имеет место в случае НМС.

Таким образом, сумма элементарных работ всех внутренних сил НМС всегда равна нулю. Аналогичным образом можно доказать, что суммы мощностей всех внутренних сил НМС и их работ будут равны нулю. Учитывая это, на основании соотношений (4) – (6) для НМС можно записать: , , .

Потенциальное силовое поле и силовая функция МТ.Закон сохранения механической энергии

Среди сил, действующих на МТ, встречаются силы, зависящие только от положения этой МТ и времени.

Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на МТ действует определенная сила, зависящая от координат МТ и времени.

Силовое поле считается стационарным, если действующие силы не зависят от времени. Если же силы зависят от времени, то силовое поле называется нестационарным.

Предположим, что существует такая функция координат и времени U(х, у, z, t), частные производные которой по координатам равны проекции силы силового поля на соответствующие координатные оси, т. е.

. (1)

Определение: Функция U(х, у, z, t) называется силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле называется потенциальным или консервативным, сила же потенциального силового поля называется потенциальной или консервативной.

Примерами консервативных сил являются сила тяжести, сила упругости и сила всемирного тяготения.

При наличии силовой функции выражение для элементарной работы силы потенциального стационарного силового поля примет вид:

(2)

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном стационарном силовом поле равна полному дифференциалу силовой функции.

Полная работа силы на участке от точки В₀ до точки В можно выразить следующим образом:

(3)

где .

Следовательно, полная работа силы на каком-либо перемещении МТ равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой оно совершается, если силовая функция является однозначной.

Из (3) следует, что работа силы в потенциальном стационарном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю, если значение силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаково, т. е. силовая функция является однозначной.

В случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию МТ в рассматриваемой точке силового поля.

Определение: Потенциальной энергиейМТ – П в рассматриваемой точке В силового поля называют работу, которую совершают силы поля, действующие на МТ при перемещении ее из точки В в начальную точку В₀, т. е.

(4)

На основании введенных соотношений имеем:

. (5)

dA = dU = –dП, = U – U₀= П₀ – П. (6)

Так как силовая функция определяется с точностью до произвольной постоянной, то можно за счет выбора этой произвольной постоянной всегда достигнуть того, чтобы в точке В₀(x₀,y₀,z₀) силовая функция обратилась в ноль, т. е. ,

и тогда получим: П= –U. (7)

Для СМТ, состоящей из n МТ, в потенциальном стационарном силовом поле силовая функция имеет вид: U=U(х₁, y₁, z₁, х₂, y₂, z₂, ... x_n, y_n, z_n).

Проекции силы, действующей на -ю точку СМТ, можно представить в виде:

. (8)

Сумма элементарных работ всех сил, действующих на СМТ, определяется по формуле:

(9)

Таким образом, сумма элементарных работ сил, действующих на СМТ, потенциального, стационарного силового поля равна полному дифференциалу от силовой функции.

Если вычислить сумму работ сил, действующих на СМТ в этом поле при перемещении СМТ из начального положения (I), в котором имеется силовая функция U₀, в положение (II), в котором есть силовая функция U, то:

Определение: Потенциальной энергией СМТ – П в рассматриваемом положении называют сумму работ сил поля, действующих на СМТ, которую эти силы совершают при перемещении СМТ из рассматриваемого положения в начальное положение, т. е. , (10)

где U – значение силовой функции в рассматриваемом положении, U₀ – значение силовой функции в начальном положении.

Закон сохранения механической энергии МТ: При движении МТ в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.

Доказательство: Теорема об изменении кинетической энергии имеет следующий вид:

Если МТ движется в стационарном потенциальном силовом поле, то: А = П_О – П.

Следовательно, где h—постоянная величина.

Обозначая через Е полную механическую энергию МТ, состоящую из ее кинетической и потенциальной энергий, получаем:

. (11)

Закон сохранения механической энергии СМТ: полная механическая энергия при движении СМТ в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной

Доказательство: Теорема об изменении кинетической энергии СМТ имеет вид:

T – T₀ = .

Если СМТ движется в стационарном потенциальном силовом поле, то: = П₀ – П,

где П₀ и П – потенциальные энергии внутренних и внешних сил, действующих на СМТ в начальный и произвольный моменты времени. Следовательно,

Т – Т₀ = П₀ – П или T + П = T₀ + П₀ = h,где h – постоянная величина.

Обозначая через Е полную механическую энергию СМТ, имеем: E = T + П = h.

При движении МТ или СМТ в непотенциальном силовом поле, встречающемся в действительности, когда непотенциальность связана с действием сил сопротивления, механическая энергия изменяется, причем она всегда уменьшается на работу сил сопротивления.