очерк истории теории вероятности. Закон больших чисел Центральная предельная теорема Общие предельные распределения для сумм Закон повторного логарифма Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Общие представления
 Скачать 444.97 Kb.
|
|
35/(12? 2 ) = = 0.333 . . . = 0.3056 . . . = 0.2971 . . . = 0.2955 . . . Сильвестр отчетливо понимал что при вычислении геометрических вероятностей приходится брать отношение площадей или объемов общее мерA тех областей которые благоприятствуют событию ив которых помещаются всевозможные события Фактически так поступали и раньше Но при этом произносили другие слова которые или не имели определенного смысла или жене соответствовали производимым действиям Сравнив результаты вычислений для различных областей Сильвестр предложил найти те областиD для которых вероятность получения выпуклого четырехугольника достигает максимума и минимума Первые результаты принадлежат Крофтону и опубликованы в ранее указанной статье Он доказал что минимум достигается для круга Там же он высказал предположение что минимум достигается и для эллипса Это предложение было доказано лишь В Блашке @†orlesungen ¤u?er di'erenti—l qeometrie ! ferlinD IWPQAF Дельтейль показалD что максимальная вероятность формирования выпуклого четырехугольника достигается для треугольной областиF В учебной литературе широко известна задача о встрече СпрашиваетсяD когда она появилась и кто был ее автором При изучении многочисленной литературы моей ученице М Т Лориньо Перес удалось найти ответ на этот вопрос В книге Уайтворта Выбор и шансї @ghoi™e —nd ™h—n™e ! vondonD IVVTD ghF sssD pF PRP!PRQA была рассмотрена следующая задача Лица A и B независимо один от другого отправляются на прием в парке Лицо прибывает на прием в наудачу выбранный момент между Q и S часами пополудни а B " между R и U часами пополудни Каждый из них остается на приеме в течение часа Чему равна вероятность того что они окажутся на приеме одновременно хотя бы одно мгновениеc Задача была решена Уайтвортом обычным путем какой используется ив настоящее время Легко подсчитать что искомая вероятность равна Позднее эта задача перекочевывала из книги в книгу в качестве иллюстративного примера а также находила применения в задачах организации проE изводстваF НесомненноD что в веке на развитие проблематики геометрических вероятностей особое влияние оказал КрофтонF Он начал изучать пересечение случайными прямыми заданных выпуклых контуров Мы не станем излагать его результаты поскольку они вошли в курсы интегральной геометрии и монографии по геометрическим вероятностям а потому легко доступныF На необходимость совершенствования понятия геометрической вероятности несомненное влияние оказала книга Ж Бертрана @IVPP!IWHHA @g—l™ul de pro?—?ilitЎeF ! Ђ—risD IVWWAD в которой на хорошо подобранных примерах было показано что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики Играя на неопределенности терминологии казалось бы для одной и той же задачи ему удалось получить несколько различных ответов В качестве основной мишени им была избрана известная задача о проведении наудачу хорды внутри круга Само собой разумеется что критика Бертрана привлекла внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории веооятностейF В веке интерес к геометрическим вероятностям не ослабела выросD посколькуD помимо чисто математического интереса они приобрели и серьезное прикладное значение в физике биологии медицине инженерном деле и др Этот аспект геометрических вероятностей заслуживает специального рассмотрения 9. Основные теоремы теории вероятностей Мы обратимся теперь к следующему естественному вопросу когда и кто выделил в теории вероятностей основные ее теоремы " сложения и умножения и полной вероятности В конечном счете на этих простых результатах покоится вся теория вероятностей и ее многочисленные применения Именно поэтому представляет интерес выяснение процесса их формирования В книге Л Е Майстрова Теория вероятностейїD исторический очерк с TSA утверждается что в €†ss веке уже были известны теоремы сложения и умножения вероятностей которые широко применялись при решении задачїF Однако нам не удалось заметить нив переписке Ферма с ПаскалемD ни в трактате Гюйгенса ни формулировки этих теорем ни малоEмальски осознанного их использования Однако зачатки этих теорем можно проследить буквально с первых шагов теории вероятностей как математической наукиF Так в работах Паскаля можно усмотреть что он отчетливо понимал как следует подсчитывать число благоприятствующих шансов для события если нам известны шансы для несовместимых событий A j D составляющих событие AF Это конечно еще не теорема сложения но важный шаг на пути ее формулировки При решении задачи о разделе ставки Паскаль рассуждал следующим образом пусть игроку A для выигрыша игры недостает трех партий а игроку B " четырех Тогда для завершения игры достаточно шести партий Игрок А выигрывает если из этих шести партий он выиграет все шесть пять или четыре или три партии Таким образом число благоприятствующих шансов для выигрыша A игры оказывается равным 6 + C 5 6 + C 4 6 + C 3 6 = 1 + 6 + 15 + 20 = Это рассуждение Паскаль предложили в общем случае когда для окончания игры игроку A недостает m партий а игроку B " n партий В работах ЯF Бернулли и Н Бернулли дается отчетливая формулировка правила чисE ления вероятности противоположного события если известна вероятность прямого событияF При выводе формул получивших наименование формул БернуллиD ЯF Бернулли сознательно использовал правила сложения и умножения вероятностей но самих правил он не сформулировал Они в его рассуждениях присутствуют как бы неявноF Одно замечание Я Бернулли показывает что он отчетливо понимал особенности теоремы сложения для совместимых событий Вот это замечаниеX ѕЕсли два человека достойные смертной казни принуждаются бросить кости при условии что тот кто выбросит меньшее число очков понесет свое наказание а другой который выбросит большее число очков сохранит свою жизнь и что оба они сохранят жизнь если выбросят одинаковое число очков то мы найдем для ожидания одного UGIPF F F Но из этого нельзя заключить что ожидание другого равно SGIP жизни так как очевидно что обе участи одинаковы Другой также будет ожидать UGIPD что дает для обоих UGT жизни те больше целой жизни Причиной этого является то что нет ни одного случая в котором хотя бы один не останется живым а имеется несколько случаев когда они оба могут остаться в живыхїF Нет нужды добавлять к словам Я Бернулли что он находился рядом с предложениемD которое мы теперь записываем в следующем виде ? B) = P(A) + P(B) ? Впрочем если с современных позиций рассматривать работу Кардано ѕКнига об игре в костиїD тов главе €s† О соединении очковї можно в частном примере усмотреть этот же результат ноне для вероятностей а для числа шансов Он рассматривал число случаев выпадения при бросании двух костей хотя бы на одной кости одного очка Это число равно поскольку шестью различными способами может появиться I на первой кости @IDIAD @IDPAD @IDQA @IDRAD @IDSAD @IDTA и столькими жена второй Но случай при этом мы указываем дважды Так что различных случаев будет не IPD а лишь Однако как ни важны приведенные наблюдения мы не должны приписывать ни КарданоD ни Паскалю и Ферма ни Я Бернулли формулировку теоремы сложения вероятностей как важнейшего положения теории вероятностей Первая четкая и окончательная формулировка теоремы сложения вероятностей находится в работе Т Байеса @IUHP!IUTIAD носящей длинное название " Опыт решения задач по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера БайесаD члена Королевского общества Сообщено мистером Прайсом в письме Джону КентонуD магистру искусств члену королевского обществаїF Работа Байеса была зачитана на заседании Лондонского королевского общества PU декабря IUTQ г спустя два года после смерти автора В определении I работы содержится определение несовместимых событий Байес употребляет другой термин неплотные событияї @in™onsistentAFСогласно БайесуD несколько событий являются неплотнымиD если наступление одного из них исключает наступление другихїF Формулировка же теоремы сложения дается Байесом в предложении ID которое состоит в следующем Если несколько событий являются неплотными то вероятность того что наступит какоеEто из них равно сумме вероятностей каждого из нихїF В этом предложении мы видим четкую формулировку теоремы сложения вероятностей во вполне современной формеF Точно также теорема умножения вероятностей длительный период формировалась на рассмотрении частных примеров и на подсчете числа шансов благоприятствующих наступлению произведения двух или нескольких событий Такого рода подсчеты встречаются практически у всех предшественников Я Бернулли Я Бернулли широко использует эти правила при выводе своих знаменитых формул Широко использовал правила сложения и умножения вероятностей МонморF Однако формулировки теоремы умножения ни у кого из них не встречается Четкое выделение теоремы умножения было осуществлено лишь МуавромF Во введении к Доктрине шансовї вон определил важное понятие независимости случайных событий А именно он формулирует следующее положение Мы скажем что два события независимы когда каждое из них не имеет никакого отношения к другому а появление одного из них не оказывает никакого влияния на появление другогоїF Еще более определенно им дано определение зависимых событий А именно два события зависимы когда они связаны друг с другом и когда вероятность появления одного Из них изменяется при появлении другогоїF Эти определения Муавр снабдил простеньким примером Пусть имеются две кучки карт одной масти в каждой кучке от двойки до туза Тогда вероятность того что из каждой кучки наудачу удается вынуть по тузу будет равна 1/13 · 1/13 = 1/169F Мы имеем дело с двумя независимыми событиями Если же мы вынимаем две карты из одной кучки испрашиваем о вероятности того что при первом вынимании извлечем туза при втором " двойку то здесь вероятность первого события равна IGIQD а второго IGIPF Таким образом вероятность интересующего нас события равна уже 1/13 · 1/12 = Нам особенно важно привести сейчас следующую формулировку МуавE раX ѕF F F вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из них на вероятность того что другое должно появиться если первое из них уже появилось Это правило может быть обобщено на случай нескольких событийїF Мы видим таким образом что формулировку теоремы умножения вероятностей и введение понятия условной вероятности удалось осуществить только МуавруF Это им было сделано уже в IUIV г в первом издании его ѕДоктрины шансовїF О вероятности совместного наступления нескольких событий Муавр писал следующее ѕF F F надо обозначить одно из них как первое другое как второе и тFдF Тогда вероятность появления первого должна рассматриваться как независимая от остальных вторая E в предположении что первое произошло третье E в предположении наступления первого и второго и тFдF СледовательноD вероятность наступления всех событий равна произведению всех только что указанных вероятностейїF Далее Муавр отметил что разыскание условных вероятностей как правило представляет собой сложное занятиеF Общее положение Муавр продемонстрировал на решении ряда задачF Вот одна из них Пусть события AD B и C независимы в совокупности и x D yD z означают вероятности их наступления Тогда xyz есть вероятность наступления всех трех событий а 1 ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z) " вероятность наступления хотя бы одного из событий AD BD В упомянутой ранее работе Байеса содержится формулировка теоремы умножения вероятностей предложение QA X Вероятность того что наступят оба взаимосвязанные события есть соотношение получающееся от перемножения вероятности первого события на вероятность наступления второго в предположении что первое наступилоїF Мы уже видели что это предложение было четко сформулировано Муавром и поскольку произведение Муавра было широко известно БайесD несомненно заимствовал его у своего знаменитого предшественника Единственно в чем Байес пошел дальше Муавра " это в формулировке следствия о вычислении вероятности | A) по вероятностями Это предложение дало основание приписывать Байесу формулы носящие его имя В действительности у него их нет поскольку он не знал формулы полной вероятностиF РезультатD приписываемый БайесуD поEвидимомуD впервые получил современную формулировку у Лапласа в его Опыте философии теории вероE ятностейїF В главе Общие принципы теории вероятностейї он сформулировал принцип †sD который относится к вероятности гипотез или как писал ЛапласD вероятности причин Пусть некоторое событие A может произойти с одним из n несовместимых событий B 1 , B 2 , . . . , B n и только с нимиY эти события Лаплас называет причинами Спрашивается если известноD что событие наступило чему равна вероятность того что осуществилась и причина B i c Вот формулировка ответа данного Лапласом вероятность существования какогоEлибо из этих причин равна следовательно дробиD числитель которой есть вероятность события вытекающая из этой причины а знаменатель есть сумма подобных вероятностей относящихся ко всем причинам если эти различные причины рассматриваемые — prioriD неодинаково вероятны то вместо вероятности обытияD вытекающей из каждой причины следует взять произведение этой вероятности на вероятность самой причиныїF Легко понять что Лаплас словесно сформулировал известное правило Байесаї P(B i | A) = P(B i )P(A | B i ) n j=1 P(B j )P(A | Более того этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности которой сначала века широко пользовались в своих работах многочисленные математики работавшие в области теории вероятностейF Они понимали как использовать принцип заложенный в формуле полной вероятности но его не формулировалиF Мы видим таким образом что основные принципы действия с вероятностями вычленялись длительным путем Их многократно использовали при решении отдельных задачи использовали правильно ноне формулировали их в качестве особых предложений И потребовалось почти целое столетиеD чтобы после введения в науку понятия вероятности сформулировать для этого понятия систему правил действия с ним Как постоянно происходит в истории науки такие правила широко использовались фактически но потребности в их формулировании не ощущали Попутно при этом вводились и дополнительные понятия которые позволяли глубже вникать в природу вещей В нашем случае этими понятиям являются понятия несовместимости и независимости случайных событий 10. Задача о разорении игрока НесомненноD что задача о разорении игрока в развитии теории вероятностей играла серьезную роль " она позволяла оттачивать методы решения сложных вопросов ив какойEто мере является исходным пунктом для развития теории случайных процессов Действительно именно в этой задаче впервые начали изучать состояние системы в зависимости от времени Точнее " положение игроков после заданного числа партий Задача о разорении игрока была впервые сформулирована Гюйгенсом в книге О расчетах в азартных играхї см џS первой главы настоящего очерка задача SAF Этой задачей занимались многие выдающиеся математики прошлого " Я БернуллиD НF Бернулли МуаврD Лаплас и др Интересно отметить что Я Бернулли критиковал Гюйгенса зато что тот решали предлагал трудные задачиD но не в буквенной форме а в числовом виде и тем самым ограничивал возможности выявления общих закономерностейF Первые подходы к решению задачи о разорении игрока почти одновременно были предложены тремя математиками " П Монмором А Муавром и Н Бернулли @ITVU!IUSWAF Их результаты относились кг Задачи Гюйгенса в их формулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид игроки A и B имеют соответственно a и b франков и при каждой партии некоторой игры один из них выигрывает у другого I франк Вероятность выигрыша игрока A для каждой партии равна pD для игрока B вероятность выигрыша равна q = 1 ? pF СпрашиваетсяD чему равны вероятности p итого что игрок A выиграет соответственно игрок BA игру те игрок A выиграет все деньги B раньше чем B выиграет их у AAF Муавр опубликовал свои результаты в журнале Ђhilosophi™—l „r—ns—™tions за IUII г Он нашел что p a = (q/p) a ? 1 (q/p) a+b ? 1 , p b = (p/q) b ? 1 (p/q) a+b ? и что математическое ожидание числа N необходимых для завершения игры партий равно = bp a ? ap b p ? Ему же удалось найти вероятности p a,n и p b,n D что игрок A выиграет игру за n партий соответственно выиграет игру за n партий игрок BAF В современных обозначениях искомая формула имеет следующий вид a,n = t {p ts?b q ts i C i n (p n?b?2ts?i q i ? q n?s?2ts?i p i )} ? ? t {p ts?i q ts+i i C i n (p n?b?2ts?2a?i q i ? q n?b?2ts?2a?i Здесь введено обозначение s = a + bY суммирование распространяется нате значения tD при которых все показатели неотрицательны Вдобавок им был подробно рассмотрен случай когда a = В IUIH г формулы для p a,n D p b,n в случае p = q нашел МонморF Свои соображения он переслал Иоганну Бернулли который передал письмо своему племяннику Николаю Ответное письмо Николая Бернулли от PT февраля г содержало решение и для случая p = qF Это письмо Монмор опубликовал в IUIQ г в трактате Опыт анализа азартных игрї @ЂF wonmortD iss—i d9—n—lyse jeux Я Бернулли также рассматривал задачу о разорении игрока как в частных случаях для a = b = 2AD таки в общем случае При ее решении он следовал методу Гюйгенса и получил довольно далеко идущие результаты @для вероятностей p и p Рассмотрение решений предложенных Я Бернулли Н Бернулли МонE мором и МуавромD ясно показывают что все они владели приемами оперирования с вероятностями сложных событий Практически они безукоризненно точно использовали теоремы сложения и умножения вероятностейD а также формулу полной вероятности хотя в ту пору они еще не получили четкой формулировки Происходило накопление опыта и выделение тех правил которые постоянно необходимы при подсчете вероятностей сложных событий. Возникновение предельных теорем теории вероятностей На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея впервые высказанная и осуществленная Я Бернулли " рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра Конечно в первую очередь следует указать в этом плане на закон больших чисел в форме Я Бернулли Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в €†sssD таки в последующие столетияF Сам Я Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде Мы приведем его формулировку несколько позднееF Сейчас же отметим что и принятая им терминология отлична от современной и связана с демографией Так Я Бернулли использовал для обозначения испытаний при которых интересующее нас событие происходит слова ѕплодовитыйїD ѕфертильныйїD а для противоположных исходов " слово ѕстерильныйїF Теперь мы можем перейти к оригинальной формулировке теоремы Я Бернулли которую он ценили вынашивал по его словам свыше двадцати летF ѕПусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближенно как r/s или же это число относится к числу всех случаев как r/(r+s) или же как Последнее отношение находитсяD 7 ЯF Бернулли счел излишним говорить что t = r+sF Заметим также что r, s, t не фиксированы а могут принимать любые значения лишь бы отношение r/t имело заданное следовательно между (r ?1)/t и (r +1)/tF Нужно доказать что можно произвести столь большое число опытов что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше чем (r ?1)/tD и меньше чем + Ясно что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теE перьF Мы уже говорили что книга Искусство предположенийї Я Бернулли была широко известна многим математикам задолго до ее публикацииF В частности она была тщательно изучена его племянником Н БернуллиD который в IUHW г защитил диссертацию для получения ученой степени лиE ценциата прав под названием О применении искусства предположений в вопросах правїF Во второй главе О способе установления вероятности человеческой жизниїD исходя из таблиц ГраунтаD он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста Нам сейчас интересно отметитьD что он отметил факт подмеченный из изучения долголетних регистрации рожденийD что мальчиков рождается больше чем девочек При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождения девочек оказываетсяD как он считал равным IVXIUF Подробное изучение содержания этой главы показывает что Н Бернулли принимал вероятность рождения мальчика равной ми соответственно вероятность рождения девочки равной д = 17/35 ? Далее Н Бернулли рассмотрел пример когда имеется IR HHH рожденийF ТогдаD согласно формулам Я Бернулли имеет место равенство @µ означает фактическое число рождений мальчиков ? 7200| < 163) = P(7037 < µ < 7363) = 7362 i=7038 C i 14 000 p i q 14 Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая Приведенная формула позволяет вычислять вероятность того что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах Однако вычисления которые при этом необходимо произвести сложныF ИнтересноD что в точности этот пример рассмотрен Лапласом в Аналитической теории вероятностейї е изд с PVIAF В качестве искомого значения вероятности неравенства 7037 < µ < 7363 Лаплас указал величину В двух последних изданиях книги Муавра Доктрина шансовї был помещен перевод его статьи IUQQ г epproxim—tion —d summum terminonum finomii (a + b) n in serien exp—nsisF Согласно словам самого автора Я помещаю здесь перевод моей работы написанной IP ноября IUQQ года и сообщенной некоторым друзьям но никогда не публиковавшейсяї Доктрина шансовїD IUSTD с PRPAF В кратком введении Муавр отметил что для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членов биномиального распределения и что вычисления значение Отсюда следует что 1/t может быть сделано как угодно малым становятся громоздкими при больших значениях числа испытаний nF В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы Эта задача им была благополучно решена Основная трудностьD которая при этом возникла состояла в оценке факториала m! при больших значениях mF Муавру удалось доказать что имеет место асимптотическое равенство m! ? B ? me ?m m m D где B " постоянное При этом оказалось что ln B = 1 ? 1/12 + 1/360 ? 1/1260 + 1/1680 ? . . . Муавр нашел что приблизительно B ? 2.5074D однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику Он обратился со своей проблемой к Д Стирлингу @ITWP!IUUHAF Стирлинг с успехом разрешил вопрос и показал что B = ? 2? ? 2.50662 . . . F В связи со сказанным хотелось бы отметить что известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел следовало бы называть точнее формулой Муавра или самое меньшее " формулой Муавра!СтирлингаF Заметим дополнительно что Муавр впервые вычислили опубликовал таблицу функции ln n! для значений n от IH до WHHF Использовав найденную им формулу ѕСтирлингаїD Муавр первоначально выяснилD что в случае p = q = 0.5 средний член бинома (1/2 + 1/2) n асимптотически равен 1/ ? 2n?pq D а затем доказал локальную теорему носящую теперь его имя Доктрина шансовїD с PRQ!PRRAF То что Муавр начал со случая p = q = вполне естественно поскольку именно этот случай играет значительную роль в простейших задачах демографии Далее Муавр получил локальную теорему для p = 0.5 фактически в принятом теперь видеF Имея в руках локальную теорему Муавр без затруднений сформулировали интегральную теорему правда только для симметричных границF ВпрочемD интегральная теорема доказанная для симметричных границ без труда распространяется и на общий случай Он оценил важность выражения для теории и предложил для него специальное наименование " модульF Использовав метод приближенного интегрирования Ньютона!КотсаD Муавр вычислил для случая p = q = 0.5 вероятность 2 n ? ? n < µ < 1 2 n +Согласно его подсчетам она оказалась равной HFWSRPVF Теперь используя таблицы несложно проверить его расчеты и убедиться в том что допущенная им ошибка невелика только в четвертой значащей цифре табличное значение равно HFWSRSHAF Точно также он подсчитал вероятность 2 n ? 3 2 ? n < µ < 1 2 n + 3 Его результат " HFWWVURF Табличное значение с таким же числом значащих цифр " HFWWUQIF QV Муавр отметил что интегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности pD те для решения обратной задачи "задачи математической статистики. Контроль качества продукции В связи с переходом промышленности на массовое изготовление изделий за последние пятьдесятEшестьдесят лет резко увеличился интерес к вопросам проверки качества изделий входящих в принимаемую партию Появилась глубокая по содержанию и значительная по своим практическим применениям теория статистических методов приемочного контроля основанная на широком использовании теории вероятностейF Первым шагом относящимся к этому кругу идей поEвидимомуD следует считать одну из задач рассмотренных Т Симпсоном в книге Природа и законы случаяї @IURHAF Вот формулировка этой задачи имеется данное число вещей различного сорта " вещей первого n 2 " второго F F F F Наудачу берутся n вещей Найти вероятность того что при этом будет взято вещей первого сорта вещей второго и тFдF В настоящее время эта задача не представляет труда для студентов приступающих к изучению основ теории вероятностей В ту пору она была предметом серьезного научного трактатаF Спустя сто с небольшим лет к этой задаче вновь вернулся МВ Остроградский @IVHI!IVTPA в работе Об одном вопросе касающемся вероятноE стейї @IVRTAF В математическом отношении это произведение Остроградского не представляет большого интереса но глубокое понимание самой практической задачи заслуживает нашего внимания ПоEвидимомуD в этом отношении он имеет приоритет перед всеми исследователями Во всяком случае Симпсон практических следствий из своих подсчетов не делала Остроградский вычислили необходимые для практических применений таблицы Приведем подлинные слова Остроградского В сосуде имеются белые и черные шары общее количество которых нам известно номы не знаемD сколько из них какого цвета Мы извлекаем некоторое количество шаровD подсчитавD сколько из них белых и сколько черных снова кладем в сосудF Требуется определить вероятность того что общее число белых не выходит из наперед заданных пределов Или лучше сказать мы ищем зависимость между этой вероятностью и пределами о которых идет речьF Чтобы понять важность этого вопроса представим себя на месте тогоD кто должен получить большое число предметов причем должны выполняться некоторые условия и кто чтобы проверить эти условия должен на каждый предмет потратить некоторое время Перед армейскими поставщиками часто стоят такого рода задачи Для них шары содержащиеся в сосуде представляют получаемые предметы белые например " предметы приемлемые как удовлетворяющие определенным условиям а черные " неприемлемыеF Таким образом если бы вопрос который мы перед собой поставили был решен поставщик мог бы воспользоваться этим чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто очень утомительную механическую работу как например проверку большого количества мешков муки или штук сукнаїF Общее число шаров в урне известно но неизвестен ее состав Его и следует оценить по выборке взятой из урны наудачу Для этой цели Остроградский использует формулы БайесаF Однако его рассуждения базируются на одном предположении которое вызывает серьезные возражения поскольку в реальной практике не может встретиться Именно он предположилD что если n " общее число шаров в урне то одинаково вероятны все гипотезы о распределении среди них белых и черных шаров те что одинаково вероятны все следующие n + 1 предположения о числе белых шаров, 1, 2, . . . , n F В действительности ближе к истине предположение которое используется теперь в задачах приемочного статистического контроля качества Предполагается что имеется причина в силу которой каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью pF Для хорошо организованного производства p должно быть малыми практически неизменным Если же технологический процесс налажен плохо то вероятность p зависит от времени и может достигать большой величины Но очевидно что в этом случае статистический контроль не может принести пользы Если же p мало и постоянно то вероятность среди n изделий встретить m бракованных задается формулой Бернулли) = C m n p m q Статистические методы приемочного контроля получили особенно бурное развитие в годы Второй мировой войны поскольку было необходимо принимать огромные партии однородной продукции а проверять ее сплошь не было возможностей по ряду причин из которых укажем лишь наследующие для некоторых видов продукции Проверка равносильна уничтожению рабочих свойств изделия фотобумага взрыватели и тFдFAY для сплошной проверки требовалось такое количество рабочей силы и рабочего времениD что ни тони другое не могло быть обеспечено в условиях военного времени Нет возможности здесь перечислить даже основные этапы развития теории статистических методов приемочного контроля Большое число исследователей работали над различными проблемами этой тематики и внесли в ее развитие крупный вклад Из отечественных ученых заслуживают быть отмеченными АН Колмогоров В И Романовский С Х СираждиE новD Ю К Беляев и др В период Великой Отечественной войны IWRI! IWRS г огромное внимание было уделено разработке методов управления качеством продукции в процессе производства Это весьма важное направление работы поскольку оно должно непросто разбраковывать изготовленную продукцию но своевременно вмешиваться в производственный процесс и не допускать изготовления некачественной продукции Именно к этому и должно стремиться любое производство Итак для управления качеством нужно разработать методы которые позволяли бы поймать тот момент когда бракованная продукция еще не производится но возникает повышенная вероятность начала ее производстваF Идея статистического метода управления качеством в процессе производства состоит в том чтобы время от времени проверять небольшие партии продукции @S!IH штук только что сошедших со станка По результатам таких проверок судят о качестве наладки Эти проверки осуществляются не слишком часто чтобы не лихорадить переналадками оборудования производственный процесс и не слишком редко чтобы не пропустить момент его разладкиF Далее результаты наблюдений наносятся на так называемые контрольные карты которые позволяют судить что следует предпринимать после каждой серии таких наблюдений E прекращать работу для переналадки оборудования или же продолжить производственный процессF Если наряде производств первичное произведение замеров параметровD определяющих качество продукции допустимо и теперь оценивать вручную тона других производствах оно уже требует заметного усовершенствования и перехода к автоматизации замеров и обработки результатов измерений Дело в том что во многих случаях приходится иметь дело с огромной скоростью технологических операций Скорость настолько велика что пока оператор производит измерение параметров отобранных изделий автомат успевает изготовить сотни других изделий а прокатный стан Eпрокатать сотни метров продукции В результате при ручном измерении оказывается что запаздывает информация о наладке процесса а вместе с ней и управляющее воздействие Вот почему теперь предложены автоматыD которые замеряют необходимые параметры и сами выполняют математические операции необходимые для управления качествомF Методы приемочного контроля и статистические методы управления качеством оказались весьма эффективным средством упорядочения производства и экономии станочного времени материалов рабочей силы Экономический эффект от использования этих методов исчисляется миллиардами рублей долларов марок и тFдFAF ПоEнастоящему история статистических методов контроля и управления еще недостаточно изучена и нуждается в энтузиастахF Широта применения теории вероятностей вначале двадцатого века настойчиво требовала глубокого осмысления самих основ этой науки Наивные представления о случайном событии и его вероятности уже перестали удовлетворять запросы науки Вот почему ряд ученых " Э БорельD СF Н БернштейнD Р Мизес и другие предприняли серьезные усилия в пересмотре основ теории вероятностей В тексте книги мы познакомились с широко распространенным подходом к этой проблеме предложенным АF Н Колмогоровым в статье IWPU г и нашедшем завершение в его монографии Основные понятия теории вероятностейї @IWQQAF RI Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины. Развитие теории ошибок наблюдений Мы уже упоминали впервой главе о том что Галилео Галилей заложил основы теории ошибок измерений и ввел в рассмотрение ряд важных понятийD которые сохранили значение ив наши дниF Позднее под влиянием в первую очередь астрономических и геодезических наблюдений интерес к ошибкам измерений заметно возрос Знаменитый астрономEнаблюдатель Тихо Браге @ISRT!ITHIA обратил внимание на то что каждое отдельное измерение несет в себе возможную ошибку и точность измерений значительно повышается если произвести несколько измерений и взять из них среднее арифметическое Впрочем рекомендация пользоваться средним арифметическим для уточнения размеров была дана задолго до Тихо Браге Так согласно литературным данным водном древнеиндийском математическом трактате рекомендовалось при подсчете объема земляных работ делать измерения в нескольких местах и затем оперировать со средними арифметическими см Л Е Майстров Развитие понятия вероятностиїD с Казалось бы от И Кеплера @ISUI!ITQHAD сделавшего так много для формирования законов движения планет следовало ожидать повышенного внимания к методам обработки результатов наблюдений Но эти вопросы фактически остались в стороне от его интересов ион заметил только то что хороший наблюдатель производит измерения с ошибками ограниченной величины В этом плане интересны его слова относящиеся к Тихо Браге благость божья дала нам в лице Тихо столь точного наблюдателя что ошибка в восемь минут невозможна поблагодарим бога и воспользуемся этой выгодой Эти восемь минут которыми пренебречь нельзя дадут средство преобразовать всю астрономиюїF Первые попытки построить математическую теорию ошибок измерений принадлежат Р Котсу @ITVP!IUITAD Т Симпсону @IUIH!IUTIA и Д Бернулли @IUHH!IUVPAF ПредположенияD которые были высказаны указанными авторами о закономерностях распределения ошибок измерения были весьма различныF Котс считал что ошибки равномерно распределены в некотором отрезке, a] F Симпсон исходил из предположения что малые ошибки допускаются чаще чем большие и также ограничены по абсолютной величине некоторым числом aF Симпсон считал что ошибки подчинены треугольному распределению плотность которого равна H в отрезках от ?? дои от до +?Y в отрезке [?a, 0] ее уравнение будет x ? 2a 2 y = ?a и наконецD в отрезке [0, a] имеет уравнение x + 2a 2 y = a F Следует заметить что как КотсD таки Симпсон не рассматривали в сущности плотности распределения поскольку они считали что ошибки укладываются в арифметическую прогрессию сочень малой разностью и неопределенным числом возможных значенийF Симпсон для избранного им распределения доказал что среднее арифметическое дает лучшую точность чем каждое отдельное измерение Этому результату он придавал большое значение и опубликовал его в работе ѕО преимуществе выбора среднего из некоторого числа наблюдений в практической астрономииї @ЂhilosF „r—nsFD Значительный интерес представляет работа Д Бернулли Наиболее вероятное определение по нескольким расходящимся между собой наблюдениями устанавливаемое отсюда наиболее правдоподобное заE ключениеїD опубликованная в IUUV г в изданиях Петербургской Академии наук Эта работа интересна тем что в ней впервые был высказан и использован для оценки неизвестного параметра принцип максимального правдоподобия Д Бернулли начал свой мемуар с сомнений о целесообразности применения всеобще принятого принципа среднего арифметического В качестве плотности распределения он принял функцию определенную равенством y = R 2 ? (x ? Ї в котором параметр R известен а Ї должно быть определено по результатам наблюдений Заслуживает внимания тоD что Д Бернулли не обратил внимания наследующее обстоятельство интеграл от принятой им плотности распределения равен ? 2 R 2 иD следовательноD только при одном значении R может быть плотностью распределения вероE ятностейF К этой работе Д Бернулли был написан комментарий Л Эйлером @IUHU! IUVQAD в котором воEпервыхD критиковался метод максимального правдоподобия конечно тогда этого термина еще не было ив помине и воEвторыхD предлагалось отбрасывать наблюдения далекие от истинного значения параметра поскольку они мало вероятныF Следует отметить работы И Ламберта @IUPV!IUUUAD который в статьях и IUTS г изложил цели теории ошибок измерений кстати ему принадлежит и сам этот термин свойства ошибок оценку точности наблюдений и правила подбора кривых по наблюденным точкам содержащим случайные ошибки Позднее появилась работа Ж Лагранжа @IUQT!IVIQAD посвященная выяснению роли среднего арифметического при оценке истинного значения измеряемой величиныF Для П Лапласа @IURW!IVPUA теория вероятностей была не столько математической сколько естественнонаучной дисциплиной В связи сего занятиями астрономией он неизбежно должен был прийти к вопросам теории ошибок наблюдений и вместе стем заинтересоваться теорией вероятностейF Лаплас получил ряд важных результатов в теории ошибок наблюденийD которые вошли в практику обработки данных наблюдений Мы не станем здесь вдаваться в подробности его исследований поскольку для нас описание теории ошибок измерений не является самоцелью Нас интересует ее связи с развитием теории вероятностей В этом плане особый интерес представляют две идеи П Лапласа Первая из них вызвала к жизни значительное увеличение интереса к предельным теоремам для сумм независимых случайных величин Именно согласно Лапласу наблюденные ошибки измерений являются результатом суммирования очень большого числа элементарных ошибок Если эти ошибки равномерно малы то Лаплас предположил что распределение их суммы должно быть близко к нормальномуF Вторая идея касается оценки измеряемой величины по результатам x 1 , x 2 , . . . , x измерений В качестве оценки неизвестного значения a измеряемой величины Лаплас предложил брать то значениe €a = a(x 1 , . . . , x при котором обращается в минимум сумма n k=1 |x k ? a| F Оказывается что €a при этом равняется эмпирической медиане те тому значению xD слева и справа от которого расположено одинаковое число наблюденных значенийF Этот прием не получил в ту пору распространения поскольку вскоре был предложен другой метод приводящий к более простым результатам Разработка этого нового метода связана с именами Гаусса @IUUU!IVSSAD Лежандра и американского математика Р Эдрейна @IUUS!IVRQAF Их работы составили в теории ошибок наблюдений настоящую эпоху Гауссом и Лежандром был предложен и разработан метод наименьших квадратов Гаусс предложил его второй книге большого трактата Теория движения небесных тел вращающихся вокруг солнца по коническим сечениямї Лежандр же изложил свои идеи в работе Новые методы для определения орбит кометї @IVHTAD к которой было сделано специальное дополнение ѕО методе наименьших квадратовїF Сам Гаусс неоднократно писал что он пользовался этим методом начиная с IUWS г Гауссом и Эдрейном было показано что при некоторых весьма широких условиях плотность ошибок измерений имеет вид ?(?) Необходимо сказать что влияние Гаусса Лежандра и Эдрейна на развитие науки оказалось весьма различным Статья ЭдрейнаD опубликованная в малораспространенном американском журнале прошла практически незаE меченойF Работы же Гаусса и Лежандра почти мгновенно стали известны научному миру Ученые восприняли предложенный ими метод и начали систематически использовать его в своей практической работеF Большой вклад в дальнейшее развитие этой теории внес С Пуассон В частности Пуассон задался вопросом всегда ли среднее арифметическое дает лучший результат по сравнению с отдельным наблюдением Ответ оказался отрицательным Именно ему удалось указать распределение для которого этого правило ошибочно Плотность этого распределения равна p(x) = 1 ?(1+x 2 ) D ?? < x < Пуассон обнаружил что сумма двух независимых случайных величин столько что указанной плотностью распределения имеет с точностью до масштаба такое же распределение Далее он обнаружил что среднее арифметическое из независимых наблюдений над такой случайной величиной имеет в точности такое же распределение Через двадцать лет в IVSQ гFA ОF Коши @IUVW!IVSUA повторил эти результаты после чего указанное распределение получило наименование распределения Коши Пуассон же первооткрыватель этих результатов был забытF Позднее теория ошибок измерений привлекала внимание практически всех видных специалистов в области теории вероятностей ПЛ Чебышев и А А Марков @IVST!IWPPA и многие другие уделяли внимание как методу наименьших квадратов таки другим вопросам теории ошибок Теория ошибок оказала серьезное влияние на постановки задачи разработку методов математической статистики Теперь теория ошибок включается в качестве естественной части в математическую статистику. Формирование понятия случайной величины Мы неоднократно говорили о том что формирование научных понятий проходит длительный и сложный путь прежде чем войти во всеобщее употребление Как правило необходимое понятие еще не введено в научный обихода фактически им уже пользуются как при решении практических задач таки при выводе общетеоретических закономерностей Этот путь характерен и для случайной величины " основного понятия теории вероятностей и современного естествознания Введение этого понятия связано с именами многих ученых которые хотя и не использовали этого терминаD но фактически исследовали отдельные его свойстваF ДействительноD мы уже знаем что начиная с КотсаD Симпсона и Д Бернулли в €†sss веке начала развиваться теория ошибок наблюдений возникшая в первую очередь под влиянием астрономии Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ только что упомянутых ученых Он же ввел в обиход термин ѕслучайнаяї и систематическая ошибE каї измерения Вторая тесно связана с качеством изготовления прибораD мастерством наблюдателя условиями наблюдений Первая же зависит от многочисленных причин влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению от измерения к измерению Теперь мы ясно видим что ошибка измерения представляет собой случайную величину с какимEто неизвестным нам распределением вероятностейF Но с понятием случайной величины встречались уже Я БернуллиD НF Бернулли МонморD МуаврF В самом деле Я Бернулли рассмотрел число появлений интересующего его события в n независимых испытанияхF Для нас теперь это случайная величина способная принимать значения, 1, 2, . . . , n с вероятностями задаваемыми формулами Бернулли Н Бернулли Монмор и МуаврD исследуя задачу о разорении игрока также имели дело со случайной величиной " числом партий которые необходимы для разорения Муавр пошел еще дальше " он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей Однако никто из перечисленных ученых не заметил что в науку властно постучалась необходимость введения нового понятия " случайной величины Первый из них оставался на уровне схемы последовательности случайных событий остальные же ограничились той частной задачей которая передними стояла Для Муавра нормальное распределение было лишь аппроксимирующей функцией дающей хорошее приближение к точному значению искомых вероятностейF Мы говорили что первоначально считалось что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной но очень малой разностью Затем постепенно от этого предположения отказались и стали представлять себе что возможные значения принимаемые ошибками наблюдений заполняют целый отрезок вероятности возможных значений определялись посредством плотности распределенияF И если Д Бернулли в отношении плотности распределения вероятностей допускал еще определенные вольности то у Лапласа Гаусса Лежандра с плотностью распределения было уже все в порядке Это была неотрицательная функция интеграл от которой по всей прямой равен единице а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялся интегралу от плотности взятому поэтому отрезку Лапласу уже была известна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределения слагаемых В знаменитой книге Аналитическая теория вероятностейї Лаплас умело оперирует с плотностями распределения ставит и решает ряд интересных задач но нигде не вводит понятия случайной величины Он либо использует язык теории ошибок измерений либо язык математического анализа и не ощущает потребности в новом понятии теории вероятностейF Первая половина века принесла новые задачи которые нуждаются в понятии случайной величины Прежде всего " это исследования бельгийского естествоиспытателя А Кетле @IUWT!IVURAD заметившего что размеры органов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению Изучение уклонений снаряда от цели явилось предметом исследования многих ученых они также привели к выводу о нормальном распределении этой величины С середины века начались замечательные работы Д К Максвелла @IVQI!IVUWA и ряда других ученых по математической теории молекулярной физики газов И здесь снова нормальное распределение завоевало почетное местоF Заслуживает внимания постановка еще одной задачи Гауссом Он сформулировал ее PS октября IVHH г именно за этот день в его дневнеке под сделана соответствующая запись Через двенадцать лет он сформулировал ее в письме к Лапласу от QH января IVIP г Эта задача относится к интересному начавшему развиваться лишь в веке разделу математики " метрической теории чисел одновременно она имеет самое непосредственное отношение к изучению равномерно распределенных случайных величин В постановке задачи предоставим слово самому Гауссу В упомянутом письме к Лапласу он писал ѕF F F я вспоминаю любопытную задачуD которой я занимался уже IP лет назад но для которой я не нашел тогда удовлетворяющего меня решенияF Быть может Вы соблаговолите заняться ею несколько минут в этом случае я убежден Вы найдете более полное решение Вот она Пусть M "неизвестная величина заключенная между пределами H и ID для которой все значения или одинаково вероятны или же более или менее следуют данному закону предположено что она разложена в непрерывную дробь = 1/a (1) +1/a (2) +. . . F Чему равна вероятность того что отбросив в разложении конечное число членов до a (n) D следующая дробь 1/a (a) +1/a (n+1) +. . будет заключена в пределах от H до xc Я обозначаю ее через P (n, x) и предполагаю что для M все значения одинаково вероятны P (0, x) = xїF |