очерк истории теории вероятности. Закон больших чисел Центральная предельная теорема Общие предельные распределения для сумм Закон повторного логарифма Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Общие представления
 Скачать 444.97 Kb.
|
|
pF PWQD piorentin—D Возникает естественный вопрос почему же всеEтаки сумма IH оказывается более предпочтительной чем Wc Ответ заключается в следующем Тройки или другими словами числа получающиеся при выпадении трех костей стремя одинаковыми очками не могут получиться иначе как одним способом PF Тройки образующиеся из двух одинаковых и третьего отличного от них могут получаться тремя способами QF Те же которые получаются из трех различных очков могут получаться шестью способамиF Из этих положений мы легко выводим какими способами или лучше сказать при каких выходах трех костей могут получаться все числаї там жеD сF PWSAF В завершающей части работы Галилей привел следующую таблицуF IH W V U T S R Q TQI T TPI T TII Q SII Q RII Q QII Q PII Q PII I TPP Q SQI T SPI T RPI T QPI T PPI Q SRI T SPP Q RQI T QQI Q PPP I SQP T RRI Q RPP Q QPP Q RRP Q RQP T QQP Q RQQ Q QQQ I PU PS PI IS IH T Q I В верхней строке указаны значения суммы чисел выпавших очков Первые три цифры в каждой клетке указывают как может получиться сумма в соответствующем столбце четвертая цифра E число возможных различных случаев Например против тройки TQI указано T случаев вот они TQI " IQT " QIT " TIQ " ITQ " QTIF Комбинация QTID для примера означает что на первой кости выпали Q очка на второй " T и на третьей " IF W В таблице приведены результаты лишь для половины всех возможных сумм Вторая половина вычисляется в точности таким же образом В результате оказывается что сумме II благоприятствует PU различных возможностей IP " PSD IQ " PID IR " ISD IS " IHD IT " TD IU " Q и IV " С учетом этого сумма всех возможных вариантов выпадения трех костей равна 2 · (1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 + 27) = Заметим что Галилей в сущности повторил результаты полученные значительно раньше рядом предшественников " епископом ВиболдомD Ричардом де Форнивалем и рядом других Однако эта теперь такая простая для студента второго курса университета задача в ту пору была серьезным испытанием и для мыслителя столь высокого ранга как Галилей Вот что он сам писал поэтому поводу Чтобы выполнить данное мне поручениеD стоившее мне таких трудов изложу мои соображения в надежде не только разрешить указанное недоразумение но и указать путь к точнейшему изложению основания которые позволят осветить все особенности игрыї @там же с Заметим что и у Галилея как и у его предшественников рассуждения ведутся не над вероятностями случайных событий а над числами шансовD которые им благоприятствуютF Для теории вероятностей и математической статистики большее значение чем только что рассмотренная работа имеют его соображения по поводу теории ошибок наблюдений До него никто этим не занимался Таким образом все что он написал на эту тему ново для его времени и важно даже в наши дни Свои мысли и выводы он достаточно подробно изложил водном из основных своих произведений Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой и коперниковойї МЛ Согласно Галилею ошибки наблюдений являются неизбежными спутниками каждого измерения каждого экспериментального исследованияF ѕВ каждой комбинации наблюдений будет какаяEнибудь ошибка я думаюD что это неизбежно F F ї Диалог F F ї с PIRAF При этом ошибки могут быть двух типов систематические связанные прочно со способом измерений и с используемыми инструментами и случайные которые меняются непредсказуемым образом от одного измерения к другому Эта классификация сохранилась до нашего времени и широко используется во всех руководствах по теории ошибок измеренийF Случайные ошибки измерений обладают некоторыми характерными особенностями Их Галилей старательно выделили проанализировал ВоE первыхD малые ошибки встречаются чаще чем большие поэтому как правило в результаты измерений следует вносить лишь небольшие поправки Далее положительные ошибки встречаются также часто как и отрицательные Можно одинаково легко ошибаться как тем таки другим образомї там же с IPSAF Далее Галилей отметил что около истинного результата должно группироваться наибольшее число измерений Среди возможных мест истинное местонахождение надо думать будет то вокруг которого группируется наибольшее число расстоянийї там же с Эти исследования Галилея имеют принципиальное значение поскольку они положили начало новой научной дисциплине " теории ошибок наблюдений Эта теория несомненно сыграла важную роль в формировании теории вероятностей но еще большее значение она имела для развития математической статистики Это тем более так что теория случайных ошибок наблюдений в настоящее время рассматривается в качестве естественной задачи математической статистики. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей Обычно считают что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых " Б Паскаля @ITPQ!ITTPA и П Ферма @ITHI!ITTSAF От этой переписки сохранилось лишь три письма Паскаля от PW июля PR августа и PU октября ITSR г и четыре письма П Ферма одно письмо без даты и письма от W августа PW августа PS сентября ITSR г Самое первое письмо Б Паскаля утрачено и о его содержании можно судить лишь по ответу ФермаF В IWSH!IWSI г в связи с приближавшимся тогда летним юбилеем МF В Остроградского @IVHI!IVTPAD мне было поручено изучить архивы этого ученого хранящиеся в Государственной публичной библиотеке УССРF Среди рукописей нашелся фрагмент лист WHRAD явно относившийся к вводной лекции по теории вероятностей Из литературных источников известно что в IVSV г Остроградский прочитал в Михайловском артиллерийском училище двадцать лекций по теории вероятностей с целью развития кругозора слушателей и их научной инициативы Более того три из них даже были изданы Однако ни одной из них мне не удалось найти Тем интереснее было познакомиться с обнаруженным фрагментом который я считаю полезным привести здесь полностьюF ѕТеорию вероятностей должно отнести к наукам нового времени ибо настоящее ее начало не восходит дальше половины €†ss столетия ПравдаD некоторые предметы относящиеся к этой науке были известны во времена весьма отдаленные и постоянно делались расчеты основанные на продолжительности средней жизни известны были морские страхования знали число случайностей в азартных играх но только в самых простых найдены были величины ставок или закладов безобидных для игроков но подобные выводы небыли подчинены никаким правилам Однако же теорию вероятностей считают наукой нового времени и ее начало относят к первой половине €†ss столетия ибо прежде этой эпохи вопросы о вероятностях небыли подчинены математическому анализу и не имелось никаких точных общих правил для решения ихF ПаскальD аза ним Ферма геометры €†ss столетия по справедливости считаются основателями науки о вероятностях Первый вопрос относящийся к этой науке и довольно сложный решен Паскалем Вопрос о котором говорим был предложен Паскалю кавалером де Мере и состоял в следующем условии Два игрока начали игру состоящую изданного числа партийD положим QHEтиD розыгрыш каждой партии непременно выигрывается одним из игроков и тот из них кто выиграл бы прежде другого тридцать партий считался окончательно выигравшими вязл бы обе ставки внесенные вначале игры Но игроки согласились прекратить игруне окончив ее тFеF одному не хватало до выигрыша тридцати партий некоторого числа например трех партий а другому положим пятнадцати партий Внесенные ставки для безобидности конечно должны быть разделены между игроками так чтобы тот кому недостает до выигрыша большего числа партийD получил бы меньшую сумму а противник его большую именно безобидный раздел требует чтобы каждый игрок получил часть внесенной суммыD пропорциональную вероятности своего выигрыша Итак нужно найти эту вероятность Паскаль нашел ее а потом вопрос де Мере предложил ФермаF Последний немедленно нашел решение и даже для случая более сложного когда игра происходит не между двумя только а между произвольным числом игроковF ЗамечательноD что имя кавалера де Мере человека светского и не имевшего никакого преуспевания на поприще математических наук остается навсегда в истории этих наукїF Мы видим теперь что оценка данная роли Паскаля и Ферма Остроградским несколько завышена Впрочем такой же точки зрения придерживаются многочисленные историки науки Однако в переписке Паскаля с Ферма еще отсутствует понятие вероятности и оба они ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов Конечно у этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки которая как мы знаем отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени Оба они исходили из одной и той же идеиX раздела ставки в отношении пропорциональном как мы теперь сказали бы вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания ив весьма несовершенной форме теорем о сложении и умножении вероятностей Точнее сказать не вероятностей а шансов благоприятствующих тому или иному событию Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретикоEвероятностного характераF Второй шаг был сделан также Паскалем когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностейF Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам приведшим к теории вероятностей послужили встречи и беседы с одним из придворных французкого королевского двора " шевалье де Мере @ITHU!ITRVAF Де Мере интересовался философией литературой и одновременно был страстным игроком В этой страсти были истоки тех задач которые он предложил ПаскалюF Вот эти вопросы Сколько раз надо подбросить две кости чтобы число случаев благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестерок было большеD чем число случаев когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно Как нужно разделить ставку между игроками когда они прекратили игруне набрав необходимого для выигрыша числа очковc Де Мере претендовал что первую задачу он решил Однако при ближайшем рассмотрении в его рассуждениях легко обнаружить ошибку А именно водном из писем де Мере Паскалю содержится такая фраза Если водном случае есть один шанс изв единственной попытке ив другом случае один шанс из N 1 D то отношение соответствующих чисел есть N 0 : Таким образом n 0 : N 0 = n 1 : N 1 їF Обозначения и смысл этой фразы требуют пояснения В приведенном письме речь идет о следующем при бросании одной кости имеется различных исходов и выпадению шестерки благоприятствует один из них При бросании двух костей сразу выпадению шестерки на двух костях благоприятствует лишь один исход из N 1 = возможных При бросании одной кости n 0 = раз число благоприятствующих исходов для выпадения шестерки превосходит число благоприятствующих случаев ее невыE паденияF Символом обозначим число бросаний двух костей при котором число благоприятствующих случаев выпадения одновременно двух шестерок превзойдет число благоприятствующих случаев для их невыпадения ни разу Из правила де Мере вытекает что уже при PR бросаниях двух костей наступает интересующее нас событиеF В действительности правило де Мере ошибочно поскольку вероятность того что при четырех бросаниях одной кости ни разу не появится шестерка равна (5/6) 4 = и значит искомая вероятность равна ? 625/1296 = 671/1296 F В этом пункте де Мере оказался прав но при PR бросаниях двух костей вероятность ни разу не выбросить сразу две шестерки равна (35/36) 24 = 0.509 D а искомая вероятность хотя бы раз выбросить две шестерки сразу есть 1 ? (35/36) 24 = 0.491 F Легко понять что двадцати четырех бросаний еще недостаточно а нужно по меньшей мере двадцать пять бросаний двух костей чтобы вероятность выпадения сразу двух шестерок превосходила При изложении мы воспользовались современным языком и употребляли понятие вероятности Подход де Мере был обычным для того времени и ограничивался лишь подсчетом числа благоприятствующих тому или иному событию шансовF Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки Решение предложенное Паскалем в подробностях изложено в письме от PW июляX ѕВот примерно что я делаю для определения стоимости каждой партииD когда два игрока играют например натри партии и каждым вложено по пистоляF ПредположимD что один выиграл две партии а другой одну Они играют еще одну партию и если выигрывает первый то он получает всю сумму в пистоля вложенную в игру если же эту партию выигрывает второй то каждый игрок будет иметь по P выигранных партии и следовательно если они намерены произвести раздел каждый должен получить обратно свой вклад в QP пистоляF Примите же во внимание монсеньерD что если первый выиграет то ему причитается TRY если он проиграет то ему причитается QPF Если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел то первый должен сказать Я имею QP пистоля верных ибо в случае проигрыша я их также получил бы но остальные QP пистоля могут быть получены либо мной либо Вами случайности равны Разделим же эти QP пистоля пополамD и дайте мне кроме того бесспорную сумму в QP пистоляїF Далее Паскаль рассмотрел другой случай когда первый игрок выиграл две партии а второй ни одной и третий когда первый игрок выиграл одну партию а второй ни одной В обоих случаях рассуждения при решении подобны тем которые уже были проведены Ответы же предложенные Паскалем таковы в первом случае один игрок должен получить STD а второй " V пистолей во втором же " RR и Решение которое для задачи Паскаля предложил Ферма дошло до настолько по изложению которое содержится в письме Паскаля от PR августаF Письмо же Ферма с оригинальным текстом не сохранилось Пусть до выигрыша игроку A недостает двух партий а игроку B " трех партий Тогда для завершения игры достаточно сыграть еще максимум четыре партииF Их возможные исходы представлены в виде следующей таблицыX Партии I AAAA ABAA ABBA BBBA P AAAB BAAB BABA BBAB Q AABA BAAA BBAA BABB R AABB ABAB ABBB BBBB игра A после A после A после B после выиграна двух четырех трех трех или чеE игроком партий партий партий тырех партий В этой таблице символом A обозначен выигрыш соответствующей партии игроком AD символом B " игроком BF Номера партий идут по строкамF В первых одиннадцати исходах выигрывает игрок AD в последних пяти "игрок BF Таким образом ставка между игроками A и B должна быть разделена в отношении II к SF Иными словами игрок A получит IIGITD а игрок B " SGIT ставки Совершенно очевидно что Ферма также как и ПаскальD делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры Но этого понятия в их руках еще нет и они вынуждены искать иные способы выражения своих идей В результате они сами не замечают что их исходные позиции одинаковы Это отчетливо видно из письма Паскаля от PU октября в котором он писал Сударь я очень доволен Вашим последним письмом я любуюсь методом в отношении партийD тем более что я его хорошо понимаю он полностью Ваш ничего общего не имеет с моими легко приводит к той же самой целиїF В письме от PR августа Паскаль высказал сомнение в том что метод Ферма можно распространить на число игроков большее двух Однако Ферма показал что теми же рассуждениями можно решить задачу о разделении ставки и для случая трех игроков Это решение им было использовано в задаче о трех игроках когда до окончания игры игроку A недостает одной выигранной партии а игроками" по две Это решение вновь сопровождается таблицей смысл которой пояснять уже нет необходимости efffg ggggf eeefffgggeeeeeegf fffgf gggfg efgefgefgefgefgee fegff gefgg eeeeeeeeeeeeeeeee fffff В своем письме Паскаль отметил что Роберваль @ITHR!ITUSA спросил его зачем рассматривать продолжение игры до четырех партий в тех случаяхD когда уже ясно какой из игроков выигрывает игру Паскаль явно понималD что это необходимо для сохранения равновозможности всех перечисляемых случаев Так в первых четырех исходах первой таблицы игрок A выигрывает всю игру уже после двух партий Точно также в первых девяти исходах второй таблицы игрок A выигрывает игру после первой партии Тем не менее Ферма доводит таблицу до конца и рассматривает всевозможные случаи исхода четырех партий Этим самым Паскаль и Ферма избежали ошибки которую допустил в следующем столетии Даламбер когда подсчитывал число равновероятных случаев при бросании двух монетF При рассмотрении второй таблицы Паскаль допустил неточность в рассуждениях А именно он считал что из PU возможных исходов бесспорно благоприятствуют игроку A лишь IQD а исходы SD IID IW столбцов также как WD IS и PR благоприятствуют сразу и игроку A и игроку B как AD таки поэтому их следует брать с половинным весом В результате Паскаль предлагал делить ставку в отношении ITXSD SXSD SF Ошибка Паскаля нам теперь очевиднаF Паскаль одновременно с размышлениями над проблемами составившими содержание его переписки с Ферма разрабатывал вопросы комбинаторики Результатом этого явился Трактат об арифметическом треугольникеїD опубликованный в ITTS г и внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики В этом трактате имеется параграф в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки Правило предложенное Паскалем состоит в следующем пусть игроку A до выигрыша всей игры не хватает m партий а игроку B " n партий тогда ставка должна делиться между игроками в таком отношении m+n?1 : m?1 i=0 C i m+n?1 5. Работа X. Гюйгенса НесомненноD что на развитие теории вероятностей значительное влияние оказала работа €F Гюйгенса @ITPW!ITWSAF Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в ITSS г где он познакомился с рядом видных ученых и услышал от них сведения относительно задач о разделе ставки в азартных играх которые разрабатывались Паскалем и ФермаF ПоEвидимомуD ему стали известны и идеи которыми они руководствовались при решении Задачи Гюйгенса заинтересовали ион самостоятельно занялся размышлениями над подобными же вопросами Поскольку как он позднее писал в трактате О расчетах в азартных играхїD ни Паскаль ни Ферма не опубликовали разработанных ими методов ему пришлось самому искать пути решения Результатом явилась работа Гюйгенса опубликованная в ITST г в виде дополнения к книге его учителя Ф ван Схоутена ѕМатематические этюдыїF Схоутен настолько высоко оценил эту работу ГюйгенсаD что сам перевел ее на латинский языкF Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и IR предложенийF Эти предложения весьма различны по своему содержанию Первые три являются теми принципами на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения Предложения R!W посвящены решению задач связанных с безобидным делением ставки Предложения IH!IR содержат различные задачи связанные с бросанием костей В конце мемуара помещены S задач без решений которые Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений Их решения были им даны лишь в ITTS гF НесомненноD что первые три предложения составляют идейную основу всего сочинения Гюйгенса и поэтому приведем их полностьюF Предложение 1. Если я имею равные шансы получить a или bD то это мне стоит (a + Предложение 2. Если я имею равные шансы на получение aD b или то это мне стоит столько же как если бы я имел (a + b + Предложение 3. Если число случаев в которых получается сумма a D равно pD а число случаев в которых получается сумма bD равно qD то стоимость моего ожидания равна (ap + bq)/(p + Для нас ясно что этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины принимающей два или три значения Если использовать современные представления тов первых двух предложениях значения принимаемые случайными величинами равновероятны а в третьем предложении вероятность значения a равна p/(p + и вероятность значения b равна q/(p + q)F У Гюйгенса еще понятие вероятности не выделено ион все время оперирует с числами шансов благоприятствующих тому или другому событию Гюйгенс предпочел так сказатьD коммерческую терминологию и говорило стоимости за которую он готов уступить свое право на получение выигрыша Термин ѕожиданиеї был введен в употребление учителем Гюйгенса " Схоутеном " при переводеF Предложения I и P представляют собой ничто иное как версию задачи о разделе ставки Мы приведем текст Гюйгенса стем чтобы читатели убедились насколько близки его рассуждения к рассуждениям ПаскаляF ѕПредположимD что я играю против другого лица на то кто первым выиграет Q партии и что я уже выиграл P партии а он " IF Я хочу знать какая часть ставки причитается мне когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки F F Нужно заметить сначала что достаточно принять во внимание число партий недостающих той и другой стороне Так как верноD что если бы мы играли на то кто выиграет PH партий и если бы я выиграл партий а мой противник IVD то я имел бы такое же самое преимущество как ив изложенном случае где при трех партиях я выиграл две а он только одну а это потому что в обоих случаях мне недостает только одной партии а ему двух Затем чтобы вычислить часть причитающуюся каждому из нас нужно обратить внимание на то что произошло бы если бы мы продолжали игру Верно и то что выиграв партию я получил бы полностью сумму ставки которую обозначу aF Но если первую партию выиграет мой противник то наши шансы станут равными принимаю во вниманиеD что каждому из нас будет недоставать по одной партии значит каждый из нас имел бы право на a 2 D что согласно первому предложению эквивалентно сумме половин те 4 a D так что моему сопернику остается 4 a їF Разделение ставки между тремя игроками Гюйгенс рассмотрел в предложении VD когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии а второму и третьему " по две партии В предложении W он рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками но при произвольном состоянии игроков Общего выражения для решения этой задачи им дано не было ион изложил только принципы сведения общей задачи к частным случаямF Формулировки предложений IH!IR следует признать недостаточно четкими Их содержание полностью проясняется лишь при рассмотрении предложенных Гюйгенсом вопросов Приведем некоторые из нихF Предложение 10. Определить при скольких бросаниях можно обязаться выбросить одной костью шесть очковc КонечноD задача сформулирована весьма неопределенно Нам ясно что автору нужно понятие вероятности для точной формулировки его вопросаD а этого понятия еще нет Речь же идет о вероятности того что при n броE саниях @n = 1, 2, . . .A хотя бы раз появится на кости шестеркаF Решение Гюйгенса состоит в следующем при бросании имеется один шанс выкинуть T очков и S шансов получить другие грани Если разыгрывается сумма а то шанс получить эту сумму согласно предложению будет стоить (1 · a + 5 · 0)/6 = Тому кто предложил ему бросить кости остается 5a/6F Значит тотD кто играет партию водно бросание может ставить только I против SїF При двух бросаниях кости вычисления стоимости игры Гюйгенс проводит следующим путем Если T очков получается при первом бросании то бросающий получает а нона это у него имеется I шанс и имеется S шансов что это не произойдет Но тогда имеется еще второе бросание которое 4 ЗаметимD что это место выглядит убедительно лишь в предположении равносильности игроков Однако если из двух партий обе выиграл игрок AD то это наводит на мысль о том что он играет лучше чем игрок BF Если же A выиграл PH партий а B " IVD то представление об их равносильности становится более убедительнымF Позднее неоднократно рассматривались многочисленные задачи с учетом неравносильE ности игроков Такие задачи затем получали интерпретацию на языке физики и инженерного дела стоит ему согласно предшествующему вычислению a/6F Отсюда следуетD что игра должна стоить играющему (1 · a + 5 6 · a)/6 = ї Аналогичным путем Гюйгенс получает для трехкратного бросания кости стоимость игры состоящей в том что хотя бы раз выпадет грань с числом очков равную 91a/216F Далее он вычислил стоимость подобной игры при четырехкратном пяти и шестикратном бросании кости Результаты получились такими 671a/1296D 4651a/7776D В предложении II Гюйгенс рассматривает такую задачу Найти во сколько бросаний можно обязаться выбросить две шестеркиcї Для нас эта формулировка неопределенна Она должна быть сформулирована так если при бросании двух костей игрок выигрывает сумму aD то какую ставку он должен внести для участия в игре при безобидной игре c Легко подсчитать что цена игры при одном бросании должна стоить a/36D при двух бросаниях 71a/1296 итак далее Далее Гюйгенс сделал такое замечание ѕЯ нахожуD что тот кто играет при PR бросанияхD имеет еще легкую невыгоду и что можно принимать с выгодою партию играя только минимально при бросанияхїF Мы приведем теперь формулировки остальных трех предложений работы ГюйгенсаF Предложение 12. Найти такое число костей при котором можно обязательно выбросить две шестерки при первом бросанииc Предложение 13. Найти причитающуюся каждому из нас часть общей суммы при предположении что я бросил две кости один раз стем условиемD что если выпадет U очков то выигрываю я и что выигрывает мой противник если выпадает IH очков А если выпадает другое число очков то мы делим общую сумму поровнуF Предложение 14. Другой игроки я поочередно бросаем две кости при условии что я выигрываю как только я выброшу U очков ион выигрывает как только выбросит T очков и я предоставляю ему бросить первомуF Требуется найти отношение моих шансов и егоF Интересно отметить что в письма к Каркави от T июля ITST г Гюйгенс писал что предложение IR его трактата соответствует одной из шести задач ФермаD которые последний сообщил КаркавиF Для полноты картины мы сформулируем все пять задач предложенных Гюйгенсом читателям для самостоятельного решения Их решение он опубликовал лишь в ITTS г A и B играют двумя костями наследующих условиях A выигрываетD если он выбросит T очков B выигрывает если выбросит U очков Первым бросает A один раз затем B бросает дважды затем A бросает два раза и тFдFD пока ктоEнибудь не выиграет В каком отношении шансы A относятся к шансам B Ответ как IHQSS к IPPUTF PF Трое игроков берут IP фишек из которых R белых и V черных и играют на таких условиях первый вытянувший белую фишку побеждает тянет первым B вторым а затем CD потом опять A и тFдF В каком отношении находятся шансы одного против других QF A держит пари против BD что из RH карт по IH одинаковой масти он выберет такие что каждая будет различной мастиF Здесь величина шансов A против B определяется как IHHH к VIQWF RF Имеем как во второй задаче IP фишек из которых R белых и черных A держит пари против BD что в выборе U фишек вслепую он будет иметь Q белых Спрашивается в каком отношении стоят шансы A против Если Гюйгенс имел ввиду что будут вынуты точно Q белых фишки то результат QSXTRY если же по меньшей мере QD то RPXSUF SF A и BD каждый имеющий по IP монет играют тремя костями на условиях если A выбросит II очков то он должен дать B одну монету но если он выбросит IRD тогда B должен дать одну монету AF Тот игрок выигрываетD который первым получит все монетыF Здесь шансы A относятся к шансам B как PRR IRH TPS к PVP RPW SQT Последняя задача является ничем иным как разновидностью задачи о разорении игрокаF Спустя десять лет после кончины известного философа Б Спинозы @ITQP!ITUUAD в Гааге была опубликована анонимная работа состоящая из двух частей далеких друг от друга по содержанию Исследование о раE дугеї и Заметки о математической вероятностиїF Проведенные исследования подтверждают предположение о том что эти сочинения были написаны СпинозойF Во второй части работы содержалось решение первой задачи Гюйгенса и были приведены формулировки остальных четырех Нас должно заинтересовать то обстоятельство что в названии работы уже говорится о математической вероятности но хотя в самой работе вероятность не определяется и рассуждения ведутся над числом благоприятствующих событию случаевF Для дальнейшего нам полезно сделать следующее замечание В ITWP гF ДF Арбутнот @ITTU!IUQSA предпринял издание английского перевода книга Гюйгенса и к этому переводу он добавил ряд новых задач в том числе задачу иной природы Формулировка этой задачи такова на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед с ребрами находящимися в отношении a : b : cF Найти отношение шансов выпадения параллелепипеда гранями abD bc и К концу €†ss века завершался длительный период накопления первичных сведений о случайных событиях точно поставленных задачи подходов к их решению Многие выдающиеся умы занимались этими вопросами и с разных позиций подходили к количественной оценке возможности наступления случайного события Ферма фактически пользовался понятием математического ожидания использование которого для решения разнообразных задач было широко развито Гюйгенсом Паскаль Ферма и Гюйгенс использовали представления о теоремах сложения и умножения вероятностей и подошли вплотную к понятию вероятности однако его они не ввелиF Казалось бы что этот шаг " переход от рассмотрения числа возможных исходов благоприятствующих наступлению события к рассмотрению отношения этого числа к числу всех возможных исходов " был естествененF Однако никто этого шага не сделал Рассуждения благодаря этому были сложны и формулировки задач не очень точны И если бы исследователи того времени задали себе вопрос что возможнее при четырехкратном бросании кости хотя бы раз выбросить шестерку или при двадцатипятикратном бросании двух костей хотя бы раз выбросить на обеих костях шестерки они были бы вынуждены ввести классическое понятие вероятности и далее его использовать Однако этого в €†ss веке не произошло и введение в науку классического понятия вероятностей принадлежит лишь €†sss столетиюF Однако оно было исследованиями €†ss века хорошо подготовлено Период предыстории завершался и начинался период собственно истории теории вероятностей Для этого уже был создан достаточно прочный фундамент. О первых исследованиях по демографии В следующей главе мы узнаем что одним из толчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования Джона Граунта @ITPH!ITUSA и Вильяма Петти @ITPQ!ITVUA по демографии или как тогда говорили по политической арифметике Их работы наглядно продемонстрировали каким мощным орудием могут служить для изучения массовых явлений статистические наблюдения если их соответствующим образом обработать Их книги получили большое распространение старательно изучались учеными самых разнообразных направлений деятельности в том числе и математикамиF Первой работой с которой начинается история статистики как области научного знания следует назвать книгу Д ГраунтаD опубликованную в ITTP г под названием Естественные и политические наблюдения перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные над бюллетенями смертности По отношению к управлению религии торговле росту воздуху болезнями разным изменениям означенного городаїF Намнет нужды давать описание всего содержания этой книги но оттенить отдельные моментыD необходимые для дальнейшего следуетF Основная задача которая заинтересовала ГраунтаD состояла в указании метода который позволял бы установить с достаточной точностью возрастной состав населения города в результате наблюдений за возрастом умерших С этой целью им были проанализированы результаты PPW PSH регистрации смертей в Лондоне происшедших залет Среди этих смертей было отмечено UI IPR смерти детей от H до T лет Причины смерти были тщательно перечислены ГраунтомF Он специально отметил что отношение числа смертей детей от H до T лет к общему числу смертей за тот же период времени равное UI IPRGPPW PSHD приблизительно равняется IGQF Иными словами Граунт ввел представление о частоте события Для развития теории вероятностей это обстоятельство сыграло огромную роль как впрочем и его замечание ѕF F F мы хотели бы отметить что некоторые из случайностей имеют постоянное отношение к числу всех похоронї цитированная книгаD сF QPAF Здесь Граунт вплотную подошел к представлению о статистической устойчивости средних Он установил что для Лондона число рождений мальчиков к числу рожE дений девочек относится как IRXIQD что в среднем на каждые II семейств ежегодно умирают Q их члена что одна из PHHH женщин умирает от родовD что в среднем на каждые TQ покойника приходится SP новорожденных Тем самым численность населения Лондона пополняется систематически за счет провинции Он установил на основании таблиц смертности что в Лондоне на каждые IHH мужчин QR имеют возраст от IT до ST лет Так что по его данным в ту пору из IWW IIP жителей мужского пола TU TWR имели возраст от IT до ST летF Им была составлена первая таблица смертности которую мы теперь приведем из каждых IHH новорожденных доживает до лет QT лет IT TT лет Q IT лет RH RT лет IH UT лет I PT лет PS ST лет лет В этой таблице поражает огромная детская и юношеская смертностьX только TR7 в ту пору доживали долети только RH7 " до IT летF Граунт прекрасно понимал что точность его выводов тем больше чем больше наблюдений имеется для обработки Именно в связи с этим он отметил что недостаточно ограничиваться обработкой бюллетеней смертности только за одну неделю для получения полноценных выводов о составе наE селенияF Понятие частоты оказалось полезными его сразу подхватили другие авторы Так в небольшой книге В Петти Два очерка по политической арифметике относящиеся к людям зданиям больницам в Лондоне ПаE рижеїD вышедшей в ITVP г в Лондоне а через два года во французском переводе в Париже были даны сравнительные данные о смертности в госпиталях шарите 5 Парижа и Лондона Так водном из госпиталей шарите Парижа в течение года из PTRU больных скончались QQVD а в двух госпиталях Лондона из QPVI больных ушли из жизни RTIF Частоты госпитальной смертности для Парижа и Лондона оказываются соответственно равными и HFIRHF Петти не использовал десятичных дробей и обе частоты считал приблизительно равными IGUF Еще больший процент смертности оказался в парижском госпитале Божий домї @v9hotel dieuAD а именно в нем из SWI больных скончалось SQTHF Таким образом для этого госпиталя частота окончательного исцеления от всех болезней и печалей оказалась равной 491 ? 0.262 F Петти принимал ее за В этой же книге Петти установил что в Лондоне в среднем умирает один житель из QHD а в сельской местности " один из QUF Среди же членов парламента одна смерть приходится на SH человек Он также утверждалD что о численности населения города можно судить по бюллетеням смертности Так для примера в Лондоне было зарегистрировано PP QQI смертейF ЗначитD поскольку коэффициент смертности для Лондона равен IGQHD число жителей в этом городе должно быть близко к TTW WQHF 5 v— ™h—ritЎe E милосердие Так назывались больницы организованные церковью для бедняков Несомненно что работы ГраунтаD Петти и ряда их последователей представляют собой ничто иное как первые шаги в области математической стаE тистикиF Непосредственным продолжателем исследований начатых Граунтом и ПеттиD был знаменитый английский астроном Эдмунт Галлей В ITWQ г Галлей опубликовал в изданиях Лондонского королевского общества две статьи Оценка степеней смертности человечества выведенная на основании любопытных таблиц рождений и погребений города БреславляD с попыткой установить цену пожизненных рентї и Несколько дальнейших замечаний по поводу Бреславльских бюллетеней смертностиїF В основу этих статей были положены данные о движении населения Бреславля за ITVU!ITWI ггFD присланные по просьбе секретаря общества Генриха ЖюE стелля пастором Каспаром НейманомF Более Галлей к этим вопросам не возвращалсяF Одна из причин интереса Галлея к таблицам смертности состоит в томD что сами Граунт и Петти сознавали недостаточную обоснованность своих выводов поскольку у них отсутствовали численность населения и возраст умерших зачастую Кроме того в городах которые они изучали " Лондон и Дублин " был большой приток населения извне Это обстоятельство делает указанные города неподходящими в качестве стандарта для этой цели которая требует если это возможно чтобы население с которым имеют дело было совершенно закрытым те таким где все умирают там где они родились где нет никаких эмигрантов и иммигрантовї @ГаллейD первый мемуарAF По словам ГаллеяD бреславльские материалы не имеют указанных дефектовF На основании имевшихся у него данных Галлей составил таблицу смертности которую он рассматривал одновременно и как таблицу доживающих по возрасту лиц таки как распределение населения по возрасту Он ввел в науку понятие о вероятной продолжительности жизни как о возрастеD которого одинаково можно достигнуть и не достигнуть На современном языке это медиана длительности жизни Сам Галлей не вводил ни термина медиана ни термина вероятная продолжительность жизни В вычислениях Галлея можно заметить использование им принципов лежащих в основе теорем сложения и умножения вероятностей а также рассуждения близкие к формулировке закона больших чиселF Работы Галлея имели очень большое значение для развития науки и применений статистических исследований о народонаселении к вопросам страхования Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей. Возникновение классического определения вероятности Образование основных математических понятий представляет важные этапы в процессе математического развития Мы видели что до конца €†ss века наука таки не подошла к введению классического определения вероятности а продолжала оперировать только с числом шансов благоприятствующих тому или иному интересующему исследователей событию Отдельные попытки которые нами были отмечены у Кардано и у позднейших исследователей не привели к ясному пониманию значения этого нововведения и остались инородным телом в завершенных работах Однако в тридцатых годах €†sss столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребительными никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числа благоприятствующих событию шансов Кто же ввел это понятие и настолько ясно показал его необходимость чтобы в дальнейшем уже не возникло сомнения в его целесообразности для развития наукиc Мы должны заметить что введение классического определения вероятности произошло не в результате однократного действия а заняло длительный промежуток времени на протяжении которого происходило непрерывное совершенствование формулировки переход от частных задач к общему случаюF Внимательное изучение показывает что еще в книге €F Гюйгенса ѕО расчетах в азартных играхї @ITSUA нет понятия вероятности как числаD заключенного между H и I и равного отношению числа благоприятствующих событию шансов к числу всех возможных А в трактате Я Бернулли ѕИскусство предположенийї понятие это введено хотя ив далеко несовершенной форме но что особенно важно широко используется Что же произошло за те полстолетияD которое прошло между публикациями этих книг Что заставило Я Бернулли ввести в научный обиход классическое понятие вероятностиc НесомненноD что формулировка закона больших чисел осуществленная ЯF Бернулли сама по себе является достаточным для этого основанием Однако имеется и другое соображение которое несомненно оказало сильное влияние на ход мыслей ряда исследователей в том числе и Я БернуллиF Речь идет о работах Граунта и ПеггиD о которых было сказано в предыдущем параграфе Эти произведения решающим образом воздействовали на лучшие умытого времени и не было ни одного малоEмальски крупного математика который не изучал бы их и не находился под их воздействиемF 6 Часть четвертая этой книги переведена на русский языки с содержательными комментариями Я Бернулли О законе больших чиселїD М Наука IWVTD редактор ЮF В Прохоров Этого влияния не избежали Я Бернулли Произведения Граунта и ПетE ти убедительно показали преимущества понятия частоты перед понятием численности Именно понятие частоты те отношение числа наблюденийD в которых появляется определенное свойство к числу всех наблюденийD позволяет получить серьезные практические выводы тогда как рассмотрение численноетей оставляет исследователя в состоянии неопределенностиF Отсюда оставался лишь один шаг до введения понятия классической вероятности Заметим что выводы Граунта и Петти относительно устойчивости частоты некоторых событий подготовили почву и к формулировке закона больших чиселF В весьма несовершенной форме классическое определение вероятности у Я Бернулли появилось впервой главе четвертой части Искусства предE положенийїF Там он сказал следующие слова Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее как часть от целогоїF Далее было пояснение сказанного на примере который отчетливо показывает что Я Бернулли в данную им формулировку фактически вкладывал тот же самый смысл какой мы вкладываем в классическое определение вероятности Вот это пояснение Именно если полная и безусловная достоверность обозначаемая нами буквой ? или единицей ID будет для примера предположена состоящей из пяти вероятностей как бы частей из которых три благоприятствуют существованию или осуществлению какогоEлибо события остальные же неблагоприятствуютD то будет сказано что это событие имеет или QGS достоверностиїF При формулировке главного предложения в пятой главе четвертой части ЯF Бернулли вновь писал об отношении числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных Но при этом он не оговаривала предполагал само собой разумеющимся что эти случаи должны быть равновероятнымиF Наряду с этим отношением которое вошло в науку Бернулли предлагали другое " число благоприятствующих к числу неблагоприятствующихF В науке привилось только первое из этих отношений второе жене привилосьD быть может по той причине что оно изменяется от H до бесконечности а может быть по причине неаддитивности этих отношенийF Интересны рассуждения четвертой главы четвертой части сочинения ЯF Бернулли Он задал вопрос как определить вероятность случайного события если у нас нет возможности подсчитать числа всех возможных и благоприятствующих ему шансов Ответим был сформулирован следующим образом Но здесь нам открывается другая дорога для достижения искомого И то что не дано вывести — prioriD то по крайней мере можно получить — posterioriD те из многократного наблюдения результатов в подобных примерах F F Ибо если например при наблюдениях сделанных некогда над тремя сотнями людей того же возраста и сложения в каких находится теперь ТитD было замечено что из них двести до истечения десяти лет умерли а остальные остались в живых и дальше то можно заключить с достаточным основанием что имеется вдвое больше случаев Титу умереть в течение ближайшего десятилетия чем остаться в живых по истечении этого срока Этот опытный способ определения числа случаев по наблюдениям не нови не необыченїF Нам важно теперь подчеркнуть что в высказанных отрывках достаточно четко прослеживается мысль о статистическом определении вероятности Наверняка при этом Я Бернулли основывался и на работах Граунта и ПеттиF Таким образом в трактате Я Бернулли присутствуют обе концепции вероятности " классическая и статистическая Обе они изложены не очень четко но существенно то что они уже введены в рассмотрение и использованы Этим был сделан принципиальный шаг в науке о случае " введено в рассмотрение понятие вероятности случайного события как числа заключенного между H и IF Достоверному событию при этом приписывается максимально возможное значение вероятности единица а невозможному "минимальное " ноль Кроме того было ясно сказано что это число может быть определено двумя различными способами путем подсчета числа равновозможных случаев которые благоприятствуют событию и всех возможных случаев и вычисления их отношения или же путем проведения большого числа независимых испытаний и вычисления частоты событияF Можно считать что теория вероятностей с этого момента начала свою историю До этого же была предыстория которая подготовляла почву для формирования основных понятий и задач теории вероятностейF ЯF Бернулли обдумывал свое Искусство предположенийї долгие годыD по его словам по меньшей мере двадцать лет Но свет оно увидело лишь в IUIQ г восемь лет спустя после смерти автора Однако содержание этого произведения многие годы до его публикации уже было известно научной общественности по рукописи которая стала доступна многим Об этом говорится в частности в публикациях Фонтенеля и СоренаD посвященных заслугам покойного и вышедшим в свет соответственно в IUHS и IUHT годахF На эти публикации позднее ссылался П Монмор @ITVU!IUIWA в своей книге ѕОбзор анализа азартных игрї е изд ! IUHT г е изд ! IUIQ га также сделал подробный анализ содержания Искусства предположенийїF Таким образом трактат Я Бернулли оказывал влияние на развитие теории вероятностей задолго до его опубликования Об этом позднее мы скажем еще по другому поводуF Монмор в упомянутой книге использовал понятие вероятности и применил его к решению достаточно сложных задач В частности Монмор рассмотрели правильно решил следующую задачу имеется n предметовD пронумерованных числами от I до nF Спрашивается чему равна вероятность того что при последовательном вынимании этих предметов наудачу @без возвращения хотя бы один предмет будет вынут так что номер вынимания совпадет с присвоенным ему номером Эта вероятность оказалась равной 1 ? 1/2! + 1/3! ? . . . + (Мы знаем что этой задаче теперь придаются различные формулировкиF АF Муавр воспринял классическое определение вероятности данное Бернулли и вероятность события определил почтив точности так как это делаем мы теперь Он писал Следовательно мы строим дробь числитель которой будет число случаев появления события а знаменатель " число всех случаев при которых оно может появиться или не появиться такая дробь будет выражать действительную вероятность его появленияїF После этого определения Муавр привел в точности пример о котором мы упоминали при рассказе о вкладе Бернулли а именно если какоеEто событие имеет Q благоприятствующих шанса P неблагоприятствующихD дробное выражение QGS будет точно говорить о вероятности его появления и может рассматриваться как ее мераї Доктрина шансовїAF Обратим внимание на то что МуаврD как и Я Бернулли не оттенял то обстоятельство что шансы должны быть равновероятными Это замечание впервые было введено в определение классической вероятности лишь П Лапласом в его Аналитической теории вероятностейїF Лагранж об этом еще не задумывался и давал определение вероятности в точности по МуавруF ПоEвидимомуD на Лапласа повлияла дискуссия начатая Д9АламберомD который при решении задачи о вероятности выпадения при бросании двух монет герба на одной из монет и решки на другой определил ее равной IGQF Это он мотивировал темD что имеются лишь три возможности IA на обоих монетах выпадает герб на обоих монетах выпадает решка QA на одной монете выпадает герба на другой " решка. О формировании понятия геометрической вероятности Уже впервой половине €†sss века выяснилось что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений и возникают ситуации когда оно не действует а потому необходимо какоеEто естественное его расширение Обычно считают что таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж Бюффона @IUHU!IUVVAD в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение Это утверждение требует поправкиD поскольку исторически оно неверно Дело в том что задолго до рождения Бюффона появилась работа в которой фактически уже был поставлен вопрос о нахождении геометрической вероятности Правда в ту пору еще не было и определения вероятности В ITWP г в Лондоне был опубликован английский перевод книги Х Гюйгенса О расчетах в азартных играхїD выполненный Д Арбутнотом @ITTU!IUQSAF В конце первой части переводчик добавил несколько задач среди которых была сформулирована задача совсем иной природы по сравнению с теми которые были рассмотрены великим автором Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении ѕдля того чтобы она была решена теми кто считает такого рода проблемы достойными вниманияїF Задача предложенная АрбутнотомD состоит в следующем на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед с ребрами равными aD bD cF Спрашивается как часто параллелепипед будет выпадать гранью abc Сам Арбутнот не сделал даже попытки решения придуманной им задачи Это было осуществлено значительно позднее Т Симпсоном @IUIH!IUTIA в книге Природа и законы случаяї @IURHA D где задача была приведена под номером €€†ssF Идея решения предложенная СимпсономD состоит в следующем опишем около параллелепипеда сферу и спроектируем из центра на поверхность ее все ребра боковые грани и основания В результате поверхность сферы разобьется на шесть непересекаE ющихся областей соответствующих граням параллелепипеда Далее СимпE сон написал Нетрудно заметить что определенная часть сферической поверхности ограниченная траекторией описанной таким образом радиусомD будет находиться в таком же соотношении к общей площади поверхностиD как вероятность появления некоторой грани к единицеїF В том что было только что сказано в полной мере заключены принципы разыскания геометрических вероятностей вводится мера множества благоприятствующих событию случаев и берется ее отношение к мере множества всех возможных случаев В нашем случае полная мера сводится к площади поверхности шара Заметим что Симпсон ни слова не сказало физической интерпретации решения Ведь для того чтобы параллелепипед упал на плоскость определенной гранью необходимо чтобы его центр тяжести находился над ее проекцией на плоскость падения Однако в решении Симпсона это требование соблюденоF Введем для дальнейшего обозначения R 2 = a 2 + b 2 + c 2 D P ab D P bc D вероятности выпадения на какуюEто определенную грань соответственно abD bc D caF Вероятности выпадения на какуюEто из граней ab соответственно bc и caA должны быть увеличены вдвое Формулы о которых идет речьD должны быть таковы ab cR , P bc = 1 ? arctg bc aR , P ca = 1 ? arctg ca bR Бюффон дважды публиковал работы посвященные геометрическим вероятностям Первая его публикация на эту тему относится кг когда он сделал в Парижской академии наук доклад напечатанный под называнием ѕМемуар об игре франкEкаррої @Мемуар об игре прямо в клетку Позднее в IUUU г этот мемуар был целиком включен в Опыт нравственной арифметикиїD являвшейся дополнением к тому s† его Естественной истоE рииїF Цель которую ставил перед собой БюффонD состояла в том чтобы показать что геометрия может быть использована в качестве аналитического инструмента в области теории вероятностейїD в то время как до тех пор геометрия казалось малопригодной для этих целейїD поскольку для них использовалась только арифметика Игра франкEкарро состоит в следующем пол разграфлен на одинаковые фигуры На пол бросается монетаD ее диаметр 2r меньше каждой из сторон и монета целиком укладывается внутрь фигуры Чему равна вероятность того что брошенная наудачу монета пересечет одну или две стороны фигурыc Для определенности рассмотрим покрытие плоскости прямоугольниками со сторонами a и bD b > 2rD a > 2rF Легко подсчитать что площадь полосы между основным прямоугольником со сторонами параллельными сторонам основного на расстоянии r от каждой из его сторон и целиком расположенного внутри основного равна 2r(a+b?2r)F Легко понять что центр монеты попав внутрь малого прямоугольника не только не пересечет но даже не коснется сторон основного Значит вероятность того что монета пересечет по меньшей мере одну из сторон основного прямоугольника равна a+b?2r Вторая задача сформулированная и решенная БюффономD состоит в следующем плоскость разграфлена равноотстоящими параллельными прямыми На плоскость наудачу бросается игла Один игрок утверждает что игла пересечет одну из параллельных прямых другой " что не пересечетF Определить вероятность выигрыша каждого из игроков Решение этой задачи хорошо известно и нет необходимости приводить его здесь Менее известна задача Бюффона об игре когда игла бросается на плоскость разграфленную на квадраты В решении этой задачи Бюффон допустил ошибку позднее исправленную Лапласом Именно Бюффон считал что искомая вероятность равна 2r a?r ?a 2 D тогда как в действительности она равна После Бюффона задачи на геометрические вероятности стали систематически включаться в трактаты и учебники по теории вероятностей ТакD в знаменитую книгу Лапласа Аналитическая теория вероятностейї были включены и подробно рассмотрены все задачи БюффонаF Но Лаплас не счел нужным отметить откуда они были заимствованы и кто автор этих задач Следует отметить что терминология Лапласа далека от совершенства Так для примера он писал что ѕ8r равняется сумме всех случаев в которых игла пересекает одну или другую параллельные линииї и что равно числу всех возможных комбинацийїF Здесь 2r означает длину иглыD а a " расстояние между параллельными прямымиF Во второй задаче рассмотренной Лапласом плоскость разграфлена двумя системами параллельных прямых представляющих ничто иное как систему координатных линий на плоскости Расстояние между линиями первой системы равно aD второй системы " bF На плоскость бросается игла длины 2r @2r < aD 2r < bAF Чему равна вероятность того что игла пересечет хотя бы одну линию Решение предложенное Лапласом предполагаетD что дело идет о системах взаимно перпендикулярных прямых Это Лапласом не оговорено В результате вычисления " числа благоприятствующих и числа всех возможных случаевї " Лаплас определил что вероятность пересечения одной из линий брошенной иглой равна 4r В прекрасном для своего времени учебнике Основания математической теории вероятностейї @IVRTA В Я Буняковского @IVHR!IVVWA имеется довольно большой раздел посвященный геометрической вероятности В него включена задача Бюффона о бросании иглы и частный случай игры франкEкарроD когда плоскость разбита на равнобедренные треугольникиF С современных позиций терминология Буняковского далека от совершенства Пример такого словоупотребления мы сейчас и приведем ѕF F F иногда встречаются такие ситуации в которых число благоприятствующих стаE точностейD а равно и всех возможных бывает бесконечное Искомая вероятность определится тогда отношением этих двух бесконечных чисел F F їF Она будет числом конечными совершенно определеннымїF PV Серьезный шаг в развитии геометрических вероятностей связан с именами Ламе @IUWS!IVUHAD БарбьеD Д Сильвестра @IVIR!IVWUAD М КрофтонаD которые не только поставили новые задачи но и привлекли к их решению понятие меры множества пусть еще и на интуитивном уровне На базе их рассмотрений позднее возникла новая ветвь геометрии получившая наименование интегральной геометрииF В IVTH г Ламе на факультете наук Парижской нормальной школы прочитал курс лекций по геометрии В этом курсе он рассмотрел задачу БюфE фона о бросании иглы и применил ее к тому случаю когда центр иглы бросается наудачу в центр эллипса или правильного многоугольника Среди слушателей был БарбьеD обобщивший рассуждения Ламе на случай любого выпуклого контура В сущности Барбье не внес ничего нового в сам методF Он только заметил что рассуждения Ламе не связаны жестко ни с рассмотрением эллипса ни с правильными многоугольниками а легко обобщаются на любой выпуклый контурF Сильвестр первым после Бюффона расширил тематику задач на геометрические вероятности Им была предложена задача о четырех точках или задача СильвестраF Ее формулировка такова четыре точки взяты наудачу внутри выпуклой области Чему равна вероятность того что взяв эти точки в качестве вершин можно составить выпуклый четырехугольникc Сильвестр предложил следующее решение обозначим через A площадь выпуклой области Бросим в нашу область сначала три точки и построим по этим точкам треугольник Пусть его средняя площадь равна MF Бросим теперь наудачу четвертую точку Если она попадет внутрь треугольника то по этим четырем точкам выпуклого четырехугольника составить нельзя Но четвертую точку мы можем выбирать четырьмя различными способами следовательно при бросании четырех точек вероятность получить невыпуклый четырехугольник равна p = 4M/AF Отсюда заключаемD что вероятность получения при этом выпуклого четырехугольника равна ? 4M/A F Среднее значение M зависит от области в которую бросают точки Для некоторых выпуклых фигур значение M вычислено М Крофтон в статье ѕВероятностьїD опубликованной в Британской экциклопедии е издание т IWD с UVTD Эдинбург IVVSAD привел таблицу сославшись на работу ВольхаузаD из которой легко получить значения M для соответствующих выпуклых областейF вероятность треугольник параллеE правильный окружE лограмм TEугольник ность p 1/3 = 11/36 = 289/972 = |