очерк истории теории вероятности. Закон больших чисел Центральная предельная теорема Общие предельные распределения для сумм Закон повторного логарифма Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Общие представления
 Скачать 444.97 Kb.
|
|
В работе IWPU г С Н Бернштейн рассмотрел несколько более общую задачу имеется последовательность независимых случайных величин, ? 2 , . . . , ? n , . . относительно которых не предполагается ни существования дисперсий ни существования математических ожиданий Спрашивается когда можно подыскать такие постоянные B n > и A n D что функции распределения сумм сходятся к нормальному распределениюc Достаточные условия для этой задачи были найдены Бернштейном в той же работе IWPU г через восемь лет Феллер показал что эти условия не только достаточны но и необходимы в предположении что слагаемые равномерно малы в смысле теории вероятностейF В том жег независимо один от другого А Я Хинчин и П Леви в постановке С Н Бернштейна нашли необходимое и достаточное условие сходимости к нормальному распределению функций распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величинF Еще в IWPT г в специальном курсе по предельным теоремам А Я ХинE чин задал следующий вопрос имеется ли связь между законом больших чисел и центральной предельной теоремой Ответ был найден ДА Райковыми А А Бобровым которые доказали следующую теорему чтобы функции распределения сумм+ . . . + ? n ? A n B n SR принадлежащем выборе действительных постоянных B n > и A n сходились к нормальному распределению необходимо и достаточно чтобы суммы a 1 ) 2 + (? 2 ? a 2 ) 2 + . . . + (? n ? a были относительно устойчивы a n = ? ?? x dF n (x) D ? > 0 " произвольноF Исследование вопросов сходимости функций распределения к нормальному закону не окончились ив наши дни но теперь исследуются другие вопросы быстрота сходимости к предельному распределению сходимость случайного числа случайных слагаемых суммирование неравномерно малых случайных величин. Общие предельные распределения для сумм Естественный вопрос о том какие распределения вообще возможны в качестве предельных для сумм независимых случайных величин при условии что они примерно одинаковы по величине возник только в двадцатыеE тридцатые годы века Раньше во всей общности этот вопрос не возникалD хотя частные результаты поэтому поводу и появлялись В этом отношении заслуживает упоминания мемуар С Пуассона О вероятности средних результатов наблюденийїD в котором пользуясь аппаратом характеристических функций он вывел распределение суммы большого числа независимых ошибок наблюдений и рассмотрел распределение которое получило впоследствии название распределения Коши Для этого распределения Пуассон нашел плотность f (x) = 1 ?(1 + и доказал что оно обладает двумя следующими свойствами среднее арифметическое ошибок наблюдений распределенных по закону Коши имеет тоже распределение что и каждое слагаемое для этого распределения точность не повышается оттого что берется среднее арифметическое результатов нескольких наблюденийF Этот мемуар был опубликован в IVQP гF На тридцать лет позднее в IVSQ г в мемуаре О средних результатах наблюдений той же природы и о результатах наиболее вероятныхї О Коши получил характеристическую функцию для всех тех распределений для которых функция распределения суммы только на множитель при аргументе @коэффициент растяжения отличается от распределения отдельных слагаемых Коши нашел что все такие функции имеют вид f(t) = exp(?t µ ) D где" положительное число Позднее выяснилось что f(t) тогда и только тогда является характеристической функцией когда 0 < µ ? П Леви в книге g—l™ul des pro?—?ilitЎe @IWPSA в главе †s Экспоненциальные распределенияї построил первую теорию устойчивых распределений Эта теория естественно продолжала исследования О Коши уйдя от них далеко вперед Пусть F (x) " функция распределения и f(t) " ее характеристическая функция Распределение F (x) называется устойчивымD если при любых положительных постоянных и найдется такое положительное постоянное aD что выполняется равенство f (a 1 t) · f (a 2 t) = f (a В терминах случайных величин рассмотренный класс распределений обладает следующим характеристическим свойством если и ? 2 " независимые случайные величины с одними тем же распределением вероятностейD a 1 и a 2 " произвольные положительные числа то для каждой пары и найдется такое положительное число aD что сумма a 1 ? 1 + имеет такое же распределение как П Леви указал что для устойчивых распределений функция f(t) имеет вид exp[?c(1+i? t |t| |t| ? )] D где 0 < ? ? 2F П Леви также ввел понятие области притяжения устойчивого закона множество всех тех распределений F (для которых функции распределения независимых и распределенных поэтому закону случайных величин при соответствующем нормировании сходятся к данному устойчивому распределениюF В IWQS г А Я Хинчин пополнил понятие устойчивого распределенияD введенного П ЛевиD а именно он предложил называть устойчивыми те распределения для которых линейная форма a 1 ? 1 + при произвольных положительных постоянных и имеет такое же распределение как a? 1 + b D где a " некоторое положительное а b " вещественное постоянноеF Класс устойчивых в смысле Хинчина распределений оказался несколько шире класса П ЛевиF В IWQW г независимо друг от друга Б В Гнеденко и В Деблин нашли области притяжения устойчивых распределений Условия принадлежности области притяжения устойчивого закона очень просты и сводятся к поведению ѕхвостовї распределений " поведению исходного распределения при больших значениях аргументаF Основной результат принадлежащий П Леви и А Я ХинчинуD можно сформулировать так если ? 1 , ? 2 , . . . " последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин то суммы+ . . . + ? n ? принадлежащем выборе постоянных B n > и вещественных A n могут сходиться только к устойчивым законам распределения Каждый устойчивый закон является предельным для функций распределения сумм В заметке IWQT г П Леви и А Я Хинчин дали окончательное представление устойчивых распределений через логарифмы характеристической функции Чтобы функция ?(t) была характеристической функцией устойчивого распределения необходимо и до™таточно следующее ее представление ?(t) = i?t ? c|t| ? 1 + i? t |t| ?(t, ?) , ST где ?, ?, ?, c " вещественные постоянные @?1 ? ? ? 1D c ? 0D 0 < ? ? 2A и, ?) = tg ?? 2 , ? = 1, 2 ? ln |t|, ? = Этот результат полностью завершил исследования которые были начаты Пуассоном и КошиF Естественный вопрос о классе предельных распределений для сумм когда слагаемые могут быть распределены неодинаково был поставлен АF Я Хинчиным в письме к П ЛевиF Вскоре ответ был найден П ЛевиF По предложению А Я Хинчина этот класс распределений получил наименование класса LF На слагаемые суммы ? k /B n при этом естественно наложить требование каждое из слагаемых оказывает на сумму незначительное влияние Это требование можно представить так величины ? k /B n предельно постоянны те для них можно найти такую последовательность постоянных m nk D что равномерно относительно k @1 ? k ? nA для любого ? > выполняется соотношение m nk > ? ? при n ? Характеристическое свойство законов класса LD найденное П ЛевиD состоит в следующем чтобы функция ?(t) была характеристической функцией закона класса LD необходимо и достаточно выполнение следующего условия при каждом ? @0 < ? ? 1A имеет место равенство ?(t) = где f ? (t) " некоторая характеристическая функцияF На этом история вопроса не завершилась поскольку для полного завершения проблематики оставалось ответить еще на один вопрос поставленный Б В ГнеденкоF Каковы классы возможных предельных распределений если случайные величины ? 1 , ? 2 , dots, ? n , . . могут быть распределены только по k различным @1 ? k < ?A различным законам распределения, F 2 (x), . . . , F k (x) c Полное решение этой задачи было дано в IWUI гF АF А ЗингеромF В рассмотренном круге вопросов была изучена еще одна задача а что будет если рассматривать суммы @IA одинаково распределенных независимых слагаемых не по всем значениями а только по некоторой подпоследовательности Какие предельные распределения при этом могут встретитьсяc Этот вопрос был поставлен А Я ХинчинымY он же дал на него ответ класс возможных предельных распределений в только что указанном смысле совпадает с классом безгранично делимых распределений в IWQH г введенным итальянским математиком Бруно де Финетти и подробно исследованным АF Н Колмогоровым П Леви и А Я ХинчинымF Случайная величина называется безгранично делимой если для любого целого числа n ее можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных слагаемых Отсюда и название этих величинF В IWQQ г АН Колмогоров высказал гипотезу что если суммируются примерно равноправные независимые случайные величины то при увеличении числа слагаемых из распределения будут приближаться к безгранично делимым законами следовательно если распределения последовательных сумм будут сходиться к предельному этот предельный закон обязательно должен быть безгранично делимым В предположении что слагаемые имеют конечные дисперсии а дисперсии последовательных сумм ограничены эту гипотезу доказал ученик АН Колмогорова ГМ Бавли в IWQR г В полном объеме эта гипотеза была доказана А Я Хинчиным с привлечением довольно громоздких аналитических средств через три годаF Отправляясь от этой работы Б В Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин основанную на сравнительно легко доказываемом факте если суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному то можно построить последовательность безгранично делимых случайных величин функции распределения которых сближаются с функциями распределения сумм Эти безгранично делимые величины получили название сопровождающих Из этого предложения в качестве частных случаев получались теоремы Бавли и ХинчинаF Кроме того этот подход давал возможность совершенно прозрачно найти условия существования предельных распределений и условия сходимости функций распределения сумм к любому возможному предельному распределению В частности были найдены необходимые и достаточные условия для закона больших чисел для сходимости к нормальному распределению распределению Пуассона устойчивым распределениям Весь круг этих вопросов нашел отражение в монографии Б В Гнеденко и АН Колмогорова Предельные распределения для сумм независимых случайных величинї Большое число исследователей приступило к изучению предельного поведения сумм независимых случайных слагаемых в случайном числе Первоначально усилия были сосредоточены только на условиях сходимости к нормальному распределению и выполнимости закона больших чисел Позднее были поставлены вопросы о классе предельных распределений и об условиях существования предельного распределения Эту задачу удалось решить в условиях одинаковой распределенности и независимости слагаемых а также независимости индекса суммирования от слагаемых Заметим также что к самой постановке этих задач привели вопросы теории надежности и физики Основная теорема относящаяся к названной проблематикеD получила наименование теоремы переноса. Закон повторного логарифма От закона больших чисел взяла начало новая предельная закономерностьD получившая наименование закона повторного логарифма Эта теорема не ставит перед собой цели разыскания предельного распределения но зато переводит задачу рассмотрения последовательных сумм совсем в новую область а именно изучает поведение этих сумм всех вместе Мы вначале рассмотрим эту задачу для простейшего случая " для схемы Бернулли Это вполне естественно тем более что это соответствует историческому ходу исследованийF Обозначим через µ n число появлений события A в n независимых испытаниях и рассмотрим разности S n = µ n ? np F В IWHW г Э Борель дал обобщенную формулировку закона больших чисел показав что имеет более сильное утверждение а именно ? 0) = Через четыре года Ф Хаусдорф @IVTV!IWRPA доказал что имеет место еще более сильное утверждение а именно что при любом ? > 0 P(S n / ? n 1+? ? 0) = Год спустя Г Харди @IVUU!IWRUA и Дж Литвуд @IVVS!IWUUA обнаружили еще более сильное предложение согласно которому с вероятностью единица отношение |S n |/ ? n ln n остается ограниченным В IWPP г А Я Хинчин дал для роста сумм S n оценку S n = O( ? n ln ln n) F Через два года А Я Хинчин нашел окончательный результат Оказалось что sup n?? |S n | ? 2npq ln ln n = 1 = В IWPT г А Я Хинчину удалось распространить этот результат на случай схемы Пуассона те на случай последовательных испытаний с переменной вероятностью появления события Работа АН Колмогорова IWPW г значительно перекрывала результаты АF Я ХинчинаD которые являлись для нее простыми следствиями Этими словами мы не хотим преуменьшить значения работ А Я ХинчинаD поскольку открыть новую закономерность даже на простом случае заслуживает самой высокой оценкиF Пусть имеется последовательность ? 1 , ? 2 , . . взаимно независимых случайных величин имеющих математические ожидания a k = E? k и дисперсии b k = Var ? k Y B n = n k=1 b k D S n = n k=1 (? k ? a k ) F Если последовательность ? k удовлетворяет еще двум условиям при n ? ? IA B n ? ? Y PA |? n | < m n = o B n ln ln B n D то она удовлетворяет закону повторного логарифма те для нее выполняется соотношение sup n?? |S n | ? 2B n ln ln B n = 1 = Иными словами было высказано следующее утверждение в высказанных предположениях при любых положительных ? и ? можно указать столь большое целое число ND что вероятность того что хотя бы при одном n > N выполнится неравенство > (1 + ?) 2B n ln ln B n SW меньше ? и вероятность того что хотя бы для одного n > N будет выполнено неравенство > (1 ? ?) 2B n ln ln B n больше 1 ? Позднее задачей повторного логарифма занимались многочисленные исследователи " П ЛевиD В ФеллерD Зигмунд и МарцинкевичD ХартманD ТF А СарымсаковD В В Петров Б В Гнеденко и др Среди многих прекрасных результатов мы выделим лишь один если случайные величины одинаково распределены и имеют конечную дисперсию конечно отличную от нуля то это условие достаточно для выполнения закона повторного логарифма Как показал АИ МартикайненD этот результат допускает обE ращение 8 Аналогичная задача была поставлена для устойчивых распределенийD отличных от нормального При этом выяснилось Б В ГнеденкоAD что для любой неубывающей функции u(n) и для любого устойчивого закона с показателем ? @0 < ? ? 2A с вероятностью единица отношение lim sup равно H или бесконечности. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Понятие математического ожидания в самых начальных его элементах было введено в теорию вероятностей очень рано впервые оно появилось в известной переписке Паскаля с Ферма В более явной форме оно было введено Гюйгенсом Именно первые три предложения являются ничем иным как определением математического ожидания для случайных величин способных принимать два или три значения Как мы уже говорили впервой главе сам термин ожидание был предложен Схоутеном " учителем Гюйгенса Этот термин прижился и сохранился до нашего времени Нов ту пору этому термину придавался смысл ожидания той средней цены которую можно дать за приобретение случайной величины дающей выигрыш с вероятностью p 1 D выигрыш с вероятностью p 2 DF F F выигрыш x с вероятностью p Эта мысль красной строкой проходит ив книге Н Бернулли О применении искусства предположений в вопросах праваїF Он писал там что ѕправило это вычисления ожидания ! Б.Г.A тождественно стем с помощью которого обыкновенно отыскиваются среднее арифметическое нескольких данных величина также и стем правилом смешения на которое счел уместным сослаться мой дядяїF Далее он рассмотрел пример заимствованный из рукописи книги Я Бернулли Искусство предположенийїX ѕЕсли 8 Обращение закона повторного логарифма для случайного блуждания Теория вероятностей и ее применения ! IWVHF ! Т PSD вып PF ! С QTR!QTTF TH три кружки пива ценой по IQ смешиваются с P кружками ценой по VD то после перемножения Q на IQ и P на V получится общая цена всех кружек " SSD что дает путем деления на число всех кружек те SD среднюю цену одной кружки смеси равную IIF Такова же должна быть согласно правилуD и оценка величины ожидания чегоEлибоD что будет иметь Q случая пои случая по ї Заметим что сказанное является ничем иным как повторением правил Гюйгенса Заслуживает внимания не только то что Н Бернулли рассмотрел ожидание для случайных величин принимающих не только два или три значения но и большее число значений но и нечто совсем новоеD а именно сравнение формулы для вычисления математического ожидания с правилом вычисления координат центра тяжести системы материальных точек Вот подлинные слова Н Бернулли из той же книгиF ѕЕще более заслуживает быть отмеченным особое и исключительное совпадение наблюдающееся между этим правилом и тем которое рекомендуется для нахождения центра тяжести нескольких грузов действительноD ведь сумма моментов те сумма произведений весов на соответствующие расстояния от какойEлибо данной точки деленная на сумму весов показывает расстояние от центра тяжести те той точки по отношению к которой подвешенные грузы находятся в равновесии точно также и та средняяD которая получается согласно настоящему правилу является так сказатьD центром тяжести всех вероятностей который их так уравновешивает что нита ни другая из них отклоняясь в ту или другую сторону от среднейD не перевешивают друг друга В целях соблюдения такого же равновесия в сомнительных и темных делах наши юристы придерживаются обычно сеE рединыїF Для €†sss века обращение к математическому ожиданию было нехарактерным Все внимание привлекало понятие вероятности случайного события В энциклопедии науки о вероятностях " знаменитой книге П Лапласа ѕАналитическая теория вероятностейї " нет определения математического ожидания и тем более правил действий с ним Возможно это связано с темD что Лаплас не рассматривали понятия случайной величины вместо этого он изучал ошибки наблюдений плотности их распределений и даже вывели использовал формулу для плотности суммы двух независимых ошибокF ПравдаD при этом он не говорило том что рассматривались независимыеD поскольку другие и не изучалисьF Казалось бы создание и развитие теории ошибок наблюдений должно было стимулировать развитие числовых характеристик случайных величин @которые в ту пору еще назывались ошибками измерений Однако этого не случилось Впрочем для нормального распределения были введены понятия истинного значения и точности наблюдений было известно каких вычислять по плотности распределения Таким образом для этого частного случая уже была известна формула для вычисления математического ожидания и дисперсииF Обратим внимание на то что вначале века нормальное распределение затмило собой все остальные поскольку с ним столкнулись в теории ошибок наблюдений и казалось доказали в работах Гаусса и Лежандра что распределение ошибок наблюдений должно быть нормальным С ним же столкнулись в теории стрельбы Бельгийский биолог Кетле давал многочисленные свидетельства того что ив биологии нормальное распределение играет центральную роль Остальные распределения потеряли интерес о них попросту не думали Несомненно в связи с этим никто и не помышляло доказательстве теорем относительно математических ожиданий и дисперсий поскольку для нормального распределения все уже было известно В связи со сказанным интересно заметить что в книге ПЛ Чебышева Опыт элементарного анализа теории вероятностейї М IVRSA понятия случайной величины математического ожидания и дисперсии даже не упоминаютсяF Однако в курсе лекций по теории вероятностей который систематически он читал в Петербургском университете Чебышев говорит о величинах имея ввиду случайные величины их математическом ожидании и дисперсииF Более того в этих лекциях записанных eF wF Ляпуновым переписанных у него АН Крыловым и изданных в IWQT г в издательстве АН СССР было сказано что оно понятие математического ожидания имеет большее значение на практике чем сама вероятность потому что на основании ее у нас составляется суждение о том что мы можем ожидать перед появлением известного событияї с ISWAF Само это утверждение не очень понятноD ноD несомненно Чебышев имел ввиду какоеEто определенное замечательное свойство математического ожидания ПоEвидимомуD свою роль сыграла и формулировка закона больших чисел в форме ЧебышеваF Заслуживает пристального внимания то обстоятельство что в этих записках лекций имеется доказательство и формулировка теорем о математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин Там же он привели вывод своего знаменитого неравенства При этом он предполагал как нечто самоочевидное что речь идет о независимых величинах Следует отметить что сам факто том что дисперсия суммы равна сумме дисперсийD имеется и использован Чебышевым в статье О средних величинахїF Там же впервые встречается и неравенство Чебышева Следует отметить что в распространенных учебниках А Пуанкаре и Ж БертранаA конца прошлого века и начала текущего столетия вообще нет теорем о математическом ожидании и дисперсииF Естественно спросить себя когда же стал известен факт что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий всегда а не только при независимых слагаемых Пока на это можно лишь ответитьD что в учебнике Чубера @IWHVA и переиздании книги А Пуанкаре @IWIPA такой теоремы нет а в знаменитом для своего времени учебнике Исчисление вероятностейї @IWIQD IWPRA строго доказываются и теорема о математическом ожидании произведения и о математическом ожидании суммы со специальным упоминанием о том что она верна не только для независимых величинF В заключение мы должны сказать что история понятий математического ожидания и дисперсии изучена совершенно недостаточно Мы видим что основы понятия математического ожидания возникли одновременно с понятием вероятности но выделены основные его свойства были очень поздно " TP только во второй половине €s€ ! начале столетия Неясно в какой мерена понятие дисперсии влияла уже существовавшее понятие момента инерции Впрочем заслуживает внимания и исследование истории становления и развития теории случайных величин То что изложено в настоящей главе может считаться лишь первым приближением к истории этого важного раздела научных знаний Глава 4. К истории теории случайных процессов. Общие представления Понятие случайного процесса принадлежит нашему столетию и связано с именами АН Колмогорова А Я ХинчинаD ЕЕ СлуцкогоD Н Винера @IVWR!IWTSAF Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей но также в естествознании инженерном деле экономике организации производства теории связи Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстроразвивающихся математических дисциплин Несомненно что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикойF €€ век не мог удовлетвориться тем идейным наследием которое было получено им от прошлого Действительно в то время как физика биолога инженера интересовал процесс те изменение изучаемого явления во времени теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства изучавшие стационарные состояния Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца начала века не имела ни разработанных частных схем ни тем более общих приемовF А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов В исследованиях датского ученого А К Эрланга была начата новая важная область поисковD связанных с изучением загрузки телефонных сетей Число абонентов изменяется во времени случайно а длительность каждого разговора обладает большой индивидуальностью И вот в этихEто условиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способности телефонных сетейD коммутационной аппаратуры и управляющих связью систем НесомненноD что работы Эрланга оказали значительное влияние не только на решение чисто телефонных задач но и на формирование элементов теории случайных процессов в частности процессов гибели и размноженияF Во втором десятилетии века начались исследования динамики биологических популяций Итальянский математик Вито Вольтерра разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений Первоначально ив этой теории применялись исключительно идеи процессов и гибели и размножения Собственно именно от задач биологии и пошло наименование этого очень частного типа случайных процессовF Представим себе что мы задались целью проследить за движением какойEнибудь молекулы газа или жидкости Эта молекула в случайные моменты сталкивается с другими молекулами и меняет при этом направление движения и скорость Состояние молекулы таким образом подвержено случайным изменениями представляет собой ничто иное как случайный процесс Это процесс определяется шестью параметрами тремя координатами и тремя компонентами скорости Многие физические явления для своего изучения требуют умения вычислять вероятности того что определенная доля молекул успеет за заданный промежуток времени перейти из одной области пространства в другую Например если приведены в соприкосновение две жидкости то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую Происходит диффузия Как быстро происходит процесс диффузии по каким законами когда образующаяся смесь становится практически однородной На эти и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии базирующаяся на использовании теории случайных процессов Очевидно что подобные же задачи возникают в химииD когда приступают к изучению процессов химических реакций Какая часть молекул уже вступила в реакцию какая особенность протекания реакции со временем когда реакция практически уже закончиласьc Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада Суть его состоит в том что атомы радиоактивного вещества распадаются превращаясь в атомы другого элемента Распад каждого атома происходит мгновенно подобно взрыву с выделением некоторого количества энергии Многочисленные наблюдения показывают что распад отдельных атомов происходит в случайно взятые моменты времени и расположение этих моментов если количество распадающегося вещества не превосходит некоторого определенного критического предела не зависят друг от другаF Для изучения процесса радиоактивного распада весьма важно определить вероятность того что за определенный промежуток времени распадается то или иное число атомов Формально если задаться целью выяснения только математической стороны явления аналогично происходят многие другие процессы обрывы нитей в прядильной машине число броуновских частицD оказавшихся в данный момент в определенной области пространства вызовы от абонентов поступающие на телефонную станцию и тFдF Теория броуновского движения исходящая из теоретикоEвероятностных предпосылок была разработана в IWHS г двумя известными физиками МF Смолуховским @IVUP!IWIUA и А Эйнштейном @IVUW!IWSSAF Позднее высказанные ими идеи использовались неоднократно как при изучении физических явлений таки в различных инженерных задачах В частностиD именно сих работ как впрочем и с работ ЭрлангаD начался широкий интерес к процессу Пуассона Впрочем сам Пуассон ввел в рассмотрение только распределение Пуассона и о процессе Пуассона даже не мечтал но он заслужил того чтобы его имя произносилось и при рассмотрении случайных процессов связанных сего распределением Это не единственный случайD когда в честь того или другого исследователя новым понятиям присваиваются их имена хотя до этих понятий они и не доходили Теперь широко распространены гауссовские случайные процессы хотя сам Гаусс о них не имел никакого представления да и само исходное распределение задолго до его рождения было получено МуавромD Лапласом и др В теории же ошибок измерений одновременно с Гауссом к нему пришел также ЛежандрF Попытка изучения средствами теории вероятностей явления диффузии была предпринята в IWIR г двумя известными физиками " М Планком @IVSV!IWRUA и ФоккеромF Н Винер в середине двадцатых годов при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение процессы удовлетворяющие следующим условиям функция распределения разности ?(t 0 + t) ? не зависит от начального момента однородность во времени приращения процесса ?(t) за непересекающиеся промежутки времени i , t в конечном числе взаимно независимы независимость приращений величины ?(t 0 + t) ? нормально распределены со средним значением равными дисперсией Мы должны упомянуть еще о двух важных группах исследований начатых в разное время и по разным поводам ВоEпервыхD это работы А А МарE кова @IVST!IWPPA по изучению цепных зависимостей ВоEвторыхD работах ЕF Е Слуцкого @IVVH!IWRVA по теории случайных функций Оба эти направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал и необходимость построения теории как бы носилась в воздухе Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ высказанных в них идей и результатов и на его базе осуществить необходимый синтезF В IWQI г была опубликована большая статья АН Колмогорова Об аналитических методах в теории вероятностейїD а через три года работа АF Я Хинчина Теория корреляции стационарных стохастических процесE совїD которые следует считать началом построения общей теории случайных процессов Впервой из этих работ были заложены основы теории марковских процессов а во второй " основы стационарных процессов Они были источником огромного числа последующих исследований среди которых следует отметить статью В Феллера К теории стохастических процессовї @IWQTAD давшую интегроEдифференциальные уравнения для скачкообразных марковских процессовF Обе только что упомянутые основополагающие работы содержат не только математические результаты но и глубокий философский анализ причин послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов Приведем с целью ознакомления с этим аспектом исследований довольно большой отрывок из введения к работе АН КолмогоE роваF ѕЖелая подвергнуть математической обработке явления природы или социальной жизни необходимо предварительно эти явления схематизироE ватьY дело в том что к исследованию процесса изменения некоторой системы математический анализ применим лишь в том случае если предположить что каждое возможное состояние этой системы может быть вполне определено с помощью известного математического аппарата напримерD при помощи значений принимаемых известным числом параметров такая математически определимая система есть не сама действительностьD но лишь схема пригодная для описания действительностиF Классическая механика пользуется лишь такими схемами при которых состояние y системы для момента времени t однозначным образом определяется ее состоянием x в любой предшествующий момент t 0 Y математически это выражается формулой y = f(x, t 0 , Если такая однозначная функция существует как это всегда предполагается в классической механике то мы говорим что наша схема есть схема вполне детерминированного процесса К числу вполне детерминированных процессов можно было отнести и те в которых состояние y не вполне определяется заданием состояния x для единственного момента времени tD существенным образом зависит еще от характера изменения этого состояния перед моментом tF Однако обычно предпочитают избегать такой зависимости от предшествующего поведения системы для чего расширяют само понятие состояния системы в момент времени t и соответственно этому вводят новые параметрыF 9 Вне области классической механики наряду со схемами вполне детерминированных процессов часто рассматриваются и такие схемы где состояние системы в некоторый момент времени обуславливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния y в некоторый последующий момент t > t 0 F Если для любых заданных t 0 D t > и x существует определенная функция распределения вероятностей для состояния y D мы говорим что наша схема есть схема стохастически определенного процесса В общем случае эта функция распределения представляется в виде P(t 0 , x, t, A) D причем A обозначает некоторое множество состояний а есть вероятность того что в момент t окажется реализованным одно из состояний AD принадлежащих этому множествуїF Но не общефилософское содержание является основным достоинством этой работы АН Колмогорова В ней были заложены основы теории случайных процессов без последействия и получены дифференциальные уравнения прямые и обратные которые управляют вероятностями перехода В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последействия подробное развитие которой позднее было дано В Феллером и В М ДубровскимF В настоящее время теория марковских процессов превратилась в большую и разветвленную главу математической науки которая получила огромное число различных применений в физике инженерном деле геофизике химии и ряде других областей знанияF Построение основ другого класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено А Я Хинчиным в упомянутой нами работе Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляцийF Эта работа послужила основанием для последующих исследований Г КрамераD ГF ВальдаD АН Колмогорова и многих других ученыхF В процессе развития теории случайных процессов произошло разделение близких понятий Если случайная величина ?(t) или вектор (? 1 (t), . . . , Хорошо известный пример применения этого метода мы имеем при описании состояния некоторой механической системы не только координатами ее точек но также и компонентами их скоростей со значениями на числовой прямой зависит от одного вещественного параметра tD то принято говорить о случайном процессе ?(t)F При этом как правило параметр t носит название времени Если время принимает дискретную последовательность значений t 1 , t 2 , . . . D то говорят не о случайном процессе а о случайной последовательности Если же случайная величина ? или вектор зависит не от одного а от нескольких параметров то ее называют случайным полемF Со случайными полями столкнулись раньше всего в биологии и геофизике а затем оказалось что практически все области знания приводят к необходимости рассмотрения наряду со случайными процессамии случайных полей Рассмотрим примеры Обозначим через ?(t, x, y, z) плотность воды в океане Эта величина изменяется от одной точки к другой и от одного момента времени к другому Как показывают многочисленные наблюденияD ? можно рассматривать как случайное полеF Рассмотрим изменение силы и направления ветра Для каждого момента времени и каждой точки пространства сила ветра f(t, x, y, z) является скалярной величиной а направление ветра ?(t, x, y, z), ?(t, x, y, z), ?(t, x, y, z) "случайным вектором Это типичный пример скалярного и векторного поE лейF Число примеров случайных полей относящихся к различным областям знания можно продолжать практически неограниченноF В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями когда эта наука еще не создана а исследователи рассматривают отдельные задачи которые относятся к ее компетенции Так было с арифметикой и геометрией алгеброй и теорией чисел С таким же положением мы сталкиваемся ив теории случайных процессов Этой теории еще не было не было и свойственных ей понятий не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины во времени а отдельные задачи в этом направлении уже изучались Для примера еще Н Бернулли МонE мор и Муавр занимались задачей о разорении игрока и состоянии игроков после n партий Это типичная задача теории случайных процессов в которой число сыгранных партий играет роль времени Такая же ситуация складывается и с задачей Лапласа перекладывания шаров из урны в урну и подсчета содержания урны после n перекладыванийF Всегда новое рождается в недрах старого и со временем вырастает из становящихся тесными рамок уже установившихся представлений и понятий В результате появляется необходимость выделения специальной области научных исследований Первоначально же отдельные новые задачи решаются в рамках старых представлений как правило специальными приемами создаваемыми для каждой задачи Но время еще не созрело для выделения соответствующей новой ветви научного знания Требуется иногда длительный срок чтобы первоначальные идеи и отдельные задачи сформировались и дали начало новой теории со своими постановками проблем и методами исследованияD позволяющими продвинуться по пути познания явлений окружающего нас мираF Теория вероятностей имеет богатую и поучительную историю Она наглядно показывает как возникали ее основные понятия и развивались методы из задач с которыми сталкивался общественный прогресс История теории вероятностей еще далека от совершенства и требуется систематическая работа для того чтобы восстановить пройденный путь и воздать должное ее создателям При этом мы увидим как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию как создание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистических представлений к более широким стохастическим концепциям тем самым открывая новые возможности для глубоких заключений о природе вещейF Теория вероятностей продолжает бурно развиваться в ней появляются новые направления исследований " оптимальное управление случайными процессами теория мартингаловD теория просачивания случайные операторы вероятностные закономерности на алгебраических и топологических структурах Эти направления представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес Практически исторический очерк ограничивается во времени сороковыми годами века и только отдельные замечания относятся к более позднему времени Я надеюсь на то что вопросы истории теории вероятностей заинтересуют некоторых читателей и им удастся существенно дополнить настоящий очерк в ряде направлений |