очерк истории теории вероятности. Закон больших чисел Центральная предельная теорема Общие предельные распределения для сумм Закон повторного логарифма Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Общие представления
 Скачать 444.97 Kb.
|
|
Очерк истории теории вероятностей ? Б. В. Гнеденко Содержание 1. Первые данные 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья 5 3. Исследования Галилео Галилея 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 5. Работа X. Гюйгенса 6. О первых исследованиях по демографии 7. Возникновение классического определения вероятности 8. О формировании понятия геометрической вероятности 9. Основные теоремы теории вероятностей Задача о разорении игрока Возникновение предельных теорем теории вероятностей Контроль качества продукции Развитие теории ошибок наблюдений Формирование понятия случайной величины 45 ? Гнеденко Б В Курс теории вероятностей Учебник ! Изд е перераб и доп ! МFX НаукаF Гл ред физмат лит IWVVF ! RRV с Закон больших чисел Центральная предельная теорема Общие предельные распределения для сумм Закон повторного логарифма Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Общие представления Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события. Первые данные Сейчас уже трудно установить кто впервые поставил вопрос пусть ив несовершенной форме о возможности количественного измерения возможности появления случайного события Ясно одно что малоEмальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительного времени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей В течение долгого периода исследователи ограничивались рассмотрением разного рода игр особенно игр в кости поскольку их изучение позволяет ограничиваться простыми и прозрачными математическими моделями Однако следует заметить что многие отлично понимали то что позднее было прекрасно сформулировано Христианом Гюйгенсом ѕF F F я полагаю что при внимательном изучении предмета читатель заметит что имеет дело не только с игрой но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теорииїF Мы увидим что при дальнейшем прогрессе теории вероятностей глубокие соображения как естественнонаучного таки общефилософского характера играли большую роль Эта тенденция продолжается ив наши дни мы постоянно наблюдаем как вопросы практики " научной производственной оборонной " выдвигают перед теорией вероятностей новые проблемы и приводят к необходимости расширения арсенала идей понятий и методов исследованияF На первом этапе изучения случайных явлений внимание ученых было сосредоточенна трех задачах IA подсчет числа различных возможных исходов при бросании нескольких костей PA раздел ставки между игрокамиD когда игра прекращена гдеEто посередине QA определение числа бросаний двух или нескольких костей при которых число случаев благоприятствующих выпадению на всех костях одинаковых граней например ѕшестерокїA хотя бы при одном бросании было большим чем число случаев когда это событие не появится ни разуF Число различных исходов при бросании трех игральных костей было определен в WTH г епископом Виболдом из города КамбрэF Он считал что таких исходов ST он не принимал во внимание то обстоятельство что данное число очков может появиться на любой из трех костей Бросанию трех костей Виболд придал религиозную трактовку " с появлением каждого набора трех чисел он связал одну из ST добродетелей Описание правильных подсчетов было дано в €s веке летописцем БалдерикусомD а появилось оно в печати лишь в ITIS гF Попытка подсчитать число исходов при бросании трех игральных костей включая и перестановки имеется в поэме Ричарда де Форниваль @IPHH!IPSHA he vetul—D написанной в промежутке от IPPH дог В части поэмы посвященной играми спорту имеются следующие рассуждения Одинаковое число очков на трех костях можно получить шестью способами Если число очков на двух костях совпадает а на третьей от него отлично то мы имеем QH способов поскольку одна пара моя быть выбрана способами а третье число лишь пятью Если очки на всех костях различны то мы имеем PH способов потому что QH раз по R равно IPHD но каждая возможность появляется T способами Таким образом существует всего ST возможностейF Одинаковые числа очков на всех костях можно получить только единственным способом одинаковые числа очков на двух костях а третье отличное от них " тремя способамиїF Хотя в тексте явно указано лишь число случаев по Виболду @STAD но фактически Ричард де Форниваль полностью подготовил подсчет общего числа равновероятных случаев при бросании трех костей а именно 6 · 1 + 30 · 3 + 20 · 6 = 216 F Далее Форниваль привел таблицу в которой вычислены числа способов которыми может быть получена данная сумма очков на всех трех костях Мы приведем эту таблицу в укороченном видеF Сумма Число Сумма Число Сумма Число способов способов способов IV I T IS IH W IP PS R IU Q U IR IS IH II PU S IT T V В первых двух столбцах приведены суммы очков на трех костях а в третьем столбце " число различных случаев при которых реализуется эта сумма Все подсчеты выполнены без ошибок да и рассуждения проведенные автором вполне логичны и даже можно сказать современны в нашем смысле слова Это обстоятельство заслуживает быть отмеченным поскольку эти же самые подсчеты через двести с лишним лет были выполнены неправильно А именно в IRUU г Бенвенуто Д9Имола издал в Венеции Божественную комедиюї ДантеD снабдив ее комментариями В комментарии к †s части ѕЧистилищаїD в которой говорится об игроке в кости Д9Имола произвел подсчеты шансов Согласно его рассуждениям сумма очков при бросании трех костей равная QD RD IU и IVD может получаться одним единственным способом Ошибка Б Д9Имола очевидна и ее нет нужды комменE тироватьF Заслуживает специального упоминания одна из первых математических книг начала эпохи итальянского Возрождения написанная Лукой Пачоли @окF IRRS!окF ISIRA и носившая наименование Сумма знаний по арифметике геометрии отношениями пропорциональностиїF Написана эта книга была в IRVU г но издана лишь через семь лет в Венеции Поскольку задачи Луки Пачоли сыграли определенную роль в формировании интереса к теории вероятностей мы приведем их формулировку В разделе необычных задачї в упомянутой книге были помещены две следующие Компания играет в мяч до TH очков и делает ставку в PP дуката В связи с некоторыми обстоятельствами игра прекращена до ее окончания причем одна сторона в этот момент имеет SHD другая E QH очков Спрашивается какую часть общей ставки должна получить каждая сторона Трое соревнуются в стрельбе из арбалета Кто первым достигнет лучших попаданий тот выигрывает Ставка IH дукатов Когда первый получил R лучших попадания второй QD а третий PD они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо Спрашивается какой должна быть доля каждогоc Пачоли предложил решение которое позднее многократно оспаривалось поскольку оно было признано ошибочным А именно он предложил делить ставку пропорционально числу выигранных партий Таким образом впервой задаче решение Пачоли таково первый должен получить ставки те IQDUS дуката а второй QGV ставки те VDPS дуката Во второй же задаче согласно ПачолиD первый должен получить R и RGW дуката второй и QGW дуката и третий P и PGW дуката. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья НесомненноD что существенное продвижение в решении первичных задач теории вероятностей связано с именами итальянских ученых Дж Кардано @ISHI!ISUSA и Н Тарталья @окF IRWW!ISSUAF В рукописи Книга об игре в коE стиїD датированной самим Кардано ISPT г но изданной лишь в ISTQ г были решены многие задачи связанные с бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков Он правильно подсчитал числа различных случаев которые могут произойти при бросании двух и трех костей Словесные формулировки при этом достаточно сложны Вот для примера что он писал в главе €s О бросании двух костейїX При бросании двух костей возможны T случаев по два одинаковых числа и IS случаев выпадения разного числа очков те считая и двойные QHF Следовательно всего возможно QT случаевїF Под двойными выпадениями он понимает выпадение на двух костях очков получаемых перестановкой НапримерD двойным к случаю выпадения на первой кости P очков а на второй S будет выпадение S очков на первой кости и P на второйF Кардано указал далее число возможных случаев появления хотя бы на одной кости определенного числа очков Таких случаев оказалось IIF Заслуживают упоминания слова КарданоX число это меньше чем число случаев отсутствия данного числа очков По отношению к общему числу случаев при бросании двух костей оно составляет больше одной шестой и меньше одной четвертиїF Здесь у Кардано ошибка нужно было сказать меньше одной трети поскольку IIGQT не меньше а больше Это место заслуживает пристального внимания поскольку Кардано дважды предложил рассматривать отношение которое теперь мы называем классическим определением вероятности А именно IGT " это вероятность появления заданного числа очков при бросании одной кости а IIGQT "вероятность получить хотя бы на одной кости грань с заданным числом очков Означает ли это что Кардано решил рассматривать вместо чисел благоприятствующих шансов вероятности случайных событий те ввел в рассмотрение классическое определение вероятности Судя по всему это было озарение только для данного примера ПоEвидимомуD Кардано хотел выяснить вопрос что чаще происходит " при бросании одной кости выпадение заданного числа очков или же при бросании двух костей выпадение этого числа очков хотя бы на одной кости Ответ был найден и на этом Кардано успокоился Единичное наблюдение он не сделал основой для общего заключения В результате он не заметил что стоял на пороге введения важного понятия для всего дальнейшего развития большой главы математики да и всего количественного естествознанияF Этот вывод подкрепляется тем что в следующей главе в которой рассматривается бросание трех костей Кардано уже не обращается к отношению числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных Все усилия Кардано затратил на подсчет числа возможных случаевF В тринадцатой главе О сложных числах как до шести таки свыше и как для двух таки для трех костейїD Кардано вновь возвратился к рассмотрению отношений числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев Однако и здесь Кардано не заметил что он находился на грани введения важного для науки понятия Вот его подлинные словаX ѕДесять очков в сумме " Б. Г может получиться из двух пятерок и из шестерки и четверки Последнее сочетание возможно при этом в двух видахF Таким же образом девять очков может получиться из пятерки и четверки и из шестерки и тройки так что это составляет IGW всей серии 1 и две девятых ее половины Восемь же очков получается из двух четверок из Q и S и из и PF Всего же S возможных случаев составляет приблизительно IGU часть из всей серии FFF U очков составляется из T и ID из S и PD из R и QF ВсегоD стало быть имеется T возможных случаев составляющих IGT всей серииF А T получается по такому же расчету как и VY S " как WY R " как IHY Q "как II и P " как IPїF Вновь Кардано оперирует фактически классическим понятием вероятности ноне замечает его значения для изучаемых им задач Рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее чисто арифметически как доля случаев чем как характеристика возможности появления случайного события при испытанииF В главе €s имеется одно предложение которое рядом автором трактуется весьма широко хотя как мы сейчас увидим его формулировка достаточно неопределенная Вот эти слова КарданоX Целая серия игр не дает отклонения хотя водной игре это может случиться F F при большом числе игр оказывается что действительность весьма приближается к этому предE положениюїF Ссылаясь на это место В В Бобынин 2 сделал далеко идущий вывод этот закон больших чисел " Б. Гуже с достаточной ясностью был выражен в €†s столетии Карданом в его статье he ludo —le—eF Позднее 1 Под серией Кардано принимал всевозможные исходы те QT при бросании двух костей и PIT при бросании трех костейF 2 Бобынин В В Яков s Бернулли и теория вероятностей Мат образование E IWIRF ќ RF T О в книге посвященной КарданоD писал что этот последний формулировали использовал закон больших чисел в рудиментарной формеF Вполне возможно что мнение Оре имеет некоторые основания но следует заметить что формулировка Кардано весьма неопределеннаF В той же книге Кардано приблизился к определению безобидной игрыD что видно из следующего предложения заимствованного из этой книгиX ѕИтакD имеется одно общее правило для расчета необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов которыми могут появиться данные выпадения а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений приблизительно в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок для того чтобы игра шла на равных условияхїF Однако мнение ряда авторов относительно того что в этом месте Кардано приблизился к классическому определению понятия вероятности мне представляется ошибочнымF Задача Пачоли о разделе ставки до окончания игры интересовала также и КарданоF В книге Практика общей арифметикиїD изданной в ISQW гFD Кардано привел ряд критических замечаний в связи с решением ПачолиF Он указал на то что ПачолиD предлагая делить ставку пропорционально числу уже выигранных партий никак не учитывает как много партий еще нужно выиграть каждому из игроков Согласно мнению КарданоD если s "число партий которое следует выиграть аи" числа фактически выигранных партий первыми вторым игроками то ставка должна делиться между игроками в отношении + 2 + . . . + (s ? q)) : (1 + 2 + . . . + (s ? Как мы увидим позднее решение предложенное Карданом в общем случае ошибочно и лишь в некоторых весьма частных случаях оно приводит к правильному результатуF К задаче о разделе ставки вновь вернулся Н Тарталья в книге Общий трактат о мере и числеїD которая была опубликована в ISST году Его подход изложен в џPH книги озаглавленном Ошибка брата Луки из БоргоїF Критические замечания Тарталья верны и имеют под собой серьезный здравый смысл Вот его слова Это его правило мне не кажется ни красивым ни хорошим потому что если бы одна из этих сторон имела IHD а другая вообще не имела никакого очка то действуя по такому правилу получилось быD что одна сторона имеющая указанные IH очков должна была бы взять всеD а другая не получила бы ничего что было бы совершенно лишено смыслаїF Для первой задачи Пачоли с измененным условием Тарталья предложил следующее решение первый игрок набравший IH очков должен получить воEпервыхD половину всей ставки и воEвторыхD (10?0)/60 всей ставкиD или PPGT дуката те всего IR и PGQ дуката а второй U и IGQ дукатаF Мы увидим что решение предложенное ТартальяD также ошибочно Но следует согласиться стем что трудно было бы требовать от него самого yF g—rd—noF „he g—m?ling s™holerF E Ђrin™etonD IWSQF U и его предшественников правильного решения поскольку в науке для этого еще не было выработано необходимых понятий " понятия вероятности и математического ожидания Следующее замечание Тарталья убедительно показывает что они сам не доверял своему решению Вот эти словаX ѕРазрешение такого вопроса является скорее делом юриспруденции чем разума так что при любом способе решения этой задачи найдутся поводы для споров но тем не менее наименее спорным как мне кажется будет следующее F F ї Далее он предложил делить ставку по такому правилу отклонение выигрыша от половины ставки должно быть пропорционально разности выигранных партий В только что приведенном примере в котором игра шла до шестидесяти очков и ставка равнялась PP дукатам первый игрок выиграл IH партий а второй " HD доли игроков согласно предложению Тарталья таковыX 14 и 2/3 = 11 + (10 ? 0)/60 · и 11 + (0 ? 10)/60 · 22 = 7 и В ISSV г была опубликована книга Г Ф Певероне Два коротких и легких трактата по началам арифметики и основам геометрииїF В этой книге без указания предшественников была рассмотрена задача а разделе ставки Формулировка задачи такова два лица A и B играют в мяч до выигрыша одним из них IH партий В тот момент когда игрок A выиграл партий а игрок B " WD они решили прекратить игру Как следует разделить ставку между игрокамиc Певероне предложил разделить ставку в отношении I к TD те игроку A отдать IGU ставки а игроку B " TGU ставки Это решение неправильноF Легко подсчитать что A должен получить IGVD а игрок B " UGV ставкиF В тоже время он дал правильное решение в двух случаях когда игроки A и B выиграли по W партий а также в случае когда игрок A выиграл партий а игрок B " W партий. Исследования Галилео Галилея Мы видим что уже в €†s веке возникли задачи чисто вероятностного характера и упорно разыскивались подходы к их решению Это неизбежно приводило к необходимости развития с одной стороны комбинаторных методов ас другой стороны " к поиску тех понятий в терминах которых было бы можно описывать возникающие ситуации Ошибки допущенные одними исследователями подмечались другими Эти другие предлагали свои способы решения которые в свою очередь подвергались критическому анализу Постепенно вырабатывались подходы которые позднее становились основой новой теории и во всяком случае позволяли решать отдельные задачиF Заслуживает внимания вклад в этот прогресс известного естествоиспытателя ученого широких интересов и взглядов " Галилео Галилея @ISTR! ITRPAF Его работа О выходе очков при игре в костиїD увидевшая свет только в IUIV г была посвящена подсчету числа возможных случаев при бросании трех костей Число всех возможных случаев Галилей подсчитал самым простыми естественным путем " он возвел T число различных возможностей при бросании одной кости в третью степень и получил 6 3 = 216 D что неоднократно непосредственным подсчетом получалось и ранееF Далее Галилей подсчитал число различных способов которыми может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костях очковF ЯсноD что эта сумма может принимать любое значение от Q до IVF При подсчете Галилей пользовался полезной идеей " кости нумеровались первая вторая третья и возможные исходы записывались в виде троек чиселD причем на соответствующем месте стояло число очков выпавшее на кости сданным номером Эта простая мысль для своего времени была весьма полезной Приведем теперь подлинные слова Галилея ѕF F F хотя W и IP получаются в результате стольких же комбинаций как IH и IID и вследствие этого должны были бы признаваться равноценными мы видим тем не менее что в результате продолжительных наблюдений игроки все же считают более выигрышными IH и IID чем W и IPF Совершенно очевидно что W и мы говорим о них имея ввиду также IP и IIA получаются из того же числа комбинаций W из ID PD T ! ID QD S ! ID RD R ! PD PD S ! PD QD R ! QD QD QD те из шести троек а IH из ID QD T ! ID RD S ! PD PD T ! PD QD S ! PD RD R ! QD QD R и ни при каких других сочетаниях кроме этих шестиї @qF q—lileiD yper—D tF €s†D |