СхБернуллиБиномиальное. Закон распределения
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
2 Тест для студентов Тест имеет 6 вопросов и 5 вариантов ответа, из которых только один правильный. Вопрос 1. Ответ: A B С D E Вопрос 2. Ответ: A B С D E Вопрос 3. Ответ: A B С D E Вопрос 4. Ответ: A B С D E Вопрос 5. Ответ: A B С D E Вопрос 6. Ответ: A B С D E Студент случайным образом выбирает ответы. Требуется изучить закон распределения количества правильных ответов. 3 Закон распределения Случайная величина Х = {количество правильных ответов}. Она принимает семь значений с некоторыми вероятностями: Количество правильных ответов Х 0 1 2 3 4 5 6 Вероятность p p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 4 Найдем вероятности Какова вероятность, что будет два правильных ответа? p 2 = Вероятность правильного ответа в одном вопросе равна 0,2. Всего правильных ответов два. Остальные четыре ответа неправильные. (0,2) 2 ·(0,8) 4 Еще учитываем количество способов выбора двух правильных ответов из шести. С 2 6 · 5 Вычисляем… После вычислений получим вероятность двух правильных ответов. 6 Вычисляем дальше… Вероятность трех правильных ответов: 7 Закон распределения Заполняем таблицу распределения случайной величины: Количество правильных ответов Вероятность 0 0,262 1 0,393 2 0,246 3 0,082 4 0,015 5 0,002 6 0,0001 8 Гистограмма распределения Строим гистограмму распределения случайной величины: Распределение случайной величины 10 Схема испытаний Бернулли Схема Бернулли – схема проведения испытаний, которая предполагает соблюдение следующих условий: (1) Проводится определенное фиксированное количество испытаний. (2) Испытания являются независимыми, то есть результат одного не зависит от исходов других. (3) В каждом испытании могут произойти все возможные исходы, которые классифицируются в терминах двух категорий: «успех» и «неуспех». (4) Вероятности исходов должны быть постоянны для каждого испытания. 11 Обозначения Вероятность «успеха» в одном испытании Вероятность «неуспеха» в одном испытании Общее число испытаний Число успехов в n испытаниях Вероятность k успехов в n испытаниях 12 Для задачи все условия соблюдены (1) Проводится фиксированное количество испытаний – шесть. (2) Все испытания независимы, поскольку правильный ответ на один вопрос не зависит от ответа на любой другой вопрос. (3) В каждом испытании ответ может быть правильным или неправильным (успех-неуспех). (4) Для каждого испытания имеется пять возможных исходов, один из которых правильный. Вероятность правильного ответа в каждом испытании составляет 1/5 (или 0,2). Тем самым, вероятности постоянны для каждого испытания. 13 Вычисление вероятностей Метод 1. Применение формулы В биномиальном распределении вероятности могут быть вычислены по формуле: 14 Вычисление вероятностей Метод 2. Применение таблицы Мы можем находить вероятности в таблице биномиального распределения. Показано, как находить значения вероятностей для нашей задачи. 15 Вычисление вероятностей Метод 3. Применение компьютера Пример нахождения значения вероятности в EXCEL: 17 Биномиальное распределение Случайная величина, равная количеству успехов при проведении испытаний по схеме Бернулли, имеет биномиальное распределение. 18 Свойства биномиального распределения Является дискретным (конечное число значений). Похоже на нормальное (bell-shaped - колоколообразное) 19 Находим математическое ожидание По формуле: Можно преобразовать. Тогда получим: 20 Числовые характеристики Математическое ожидание: Дисперсия: Стандартное отклонение: 21 Новые обозначения Математическое ожидание: Дисперсия: Стандартное отклонение: 22 Пример с билетами Математическое ожидание: Дисперсия: Стандартное отклонение: 23 Пример с билетами Число правильных ответов на шесть вопросов теста с пятью вариантами ответа в каждом представляет собой случайную величину со средним значением 1,2 и стандартным отклонением 0,98. 25 Call-центр В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от клиентов, которым требуются услуги телемастера. 1. Какова вероятность, что в течение часа поступит ровно 4 звонка? 2. Какова вероятность, что более чем один клиент позвонит в течение часа? 3. Какова вероятность, что за два часа позвонят ровно 6 клиентов? 26 Распределение Пуассона Распределение Пуассона есть распределение дискретной случайной величины, которая равна числу успехов в определенном интервале. Интервал может измеряться временем, расстоянием, площадью, объемом или другими единицами измерения. 27 Формула для вероятностей Вероятности распределения Пуассона находятся по формуле: 28 Числовые характеристики Математическое ожидание: Дисперсия: Стандартное отклонение: 29 Call-центр В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от клиентов, которым требуются услуги телемастера. 1. Какова вероятность, что в течение часа поступит ровно 4 звонка? 30 Call-центр В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от клиентов, которым требуются услуги телемастера. 2. Какова вероятность, что более чем один клиент позвонит в течение часа? 31 Call-центр В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от клиентов, которым требуются услуги телемастера. 3. Какова вероятность, что за два часа позвонят ровно 6 клиентов? 32 Бомбы второй мировой войны При анализе попаданий снарядов V-1 вся территория Южного Лондона была поделена на 576 зон площадью 0,25 км 2 . Всего произошло 535 попаданий бомб. В предположении, что зона выбрана случайно, какова вероятность двойного попадания? Как много зон будет поражено дважды? 33 Характеристика распределения Среднее значение попаданий в зону: € µ = 535 576 = 0,929 34 Вероятность двукратного попадания Вычислим по формуле распределения Пуассона: 35 Сколько зон будет поражено дважды Мы ожидаем, что из 576 зон дважды будут поражены: 576 · 0,170 = 97,9 зон 36 Теория подтвердила практику ЧИСЛО СНАРЯДОВ ВЕРОЯТНОСТЬ ОЖИДАЕМОЕ ЧИСЛО ЗОН ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ЗОН 0 0,395 227,5 229 1 0,367 211,4 211 2 0,170 97,9 93 3 0,053 30,5 35 4 0,012 6,9 7 5 0,002 1,2 1 37 Вывод Распределение Пуассона очень полезно для прогнозирования результатов, связанных с массовыми явлениями случайного характера. 39 Приближение биномиального закона Распределение Пуассона используется для приближения биномиального распределения, когда число испытаний n велико, а вероятность p мала. Требуется выполнение двух условий: 1. n ≥ 100 2. np ≤ 10 40 Игровые автоматы в дешевых магазинах Предположим, вы ежедневно играете на одном том же автомате утром один раз и ожидаете выпадения трех единиц: 111 Какова вероятность выиграть в течение года точно один раз? 41 Решение В году 365 дней: n = 365 Имеется только один выигрыш из 1000: p = 1/1000 Оба условия выполнены: n ≥ 100 365 > 100 np ≤ 10 365·1/1000 < 10 Пользуемся приближением биномиального закона. 42 Решение Вычисляем среднее: и затем вероятность: |