Математическая моделььдвижения ЛА. Закон управления и расчет передаточных чисел
 Скачать 3.9 Mb.
|
|
A 1 = a 1 + a 4 + b 1 A 2 = a 1 a 4 + a 2 + b 1 (a 1 + a 4 ) + b 2 b 7 − a 6 b 6 A 3 = b 1 (a 1 a 4 + a 2 ) + b 2 (b 4 − b 6 + a1b 7 ) − a 6 (a 4 b 6 + a 2 b 7 ) A 4 = b 4 (a 1 b 2 − a 2 a 6 ) Условием устойчивости такой системы в соответствии с критерием Рауса- Гурвица 1 является: A 1 > 0, A 2 > 0, A 3 > 0, A 4 > 0, R = A 1 A 2 A 3 − A 2 3 − A 2 1 A 4 > 0 Рассчитаем эти величины для каждого из режимов: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 А1 4 9 16 2,2 9,5 2,7 5 5,17 1,3 2,32 2,5 0,8 А2 9,7 41 99 5,4 57,7 8 23,4 27,7 4,57 10 12 3,28 АЗ 18,3 187 686 6,4 282 14,7 66 82 3,6 14 17,4 1,5 А4 0,63 2 7 0,3 3,7 0,21 1 1,17 0,07 0,2 0,19 0,03 R 366 35300 6 · 10 5 37 74765 107 3355 5004 8,5 128 234 1,8 Из таблицы видно, что на всех режимах полета движение по крену устой- чиво. 4.2 Анализ управляемости Условие устойчивости является необходимым, но не достаточным для со- вершения полета, т. к. устойчивый ЛА может оказаться плохо управляемым. Рассмотрим динамические характеристики управляемости по крену. Показателем управляемости по крену является T γ = 1 b 1 - постоянная вре- мени при движении ЛА по крену при нулевом угле скольжения. Для получения хорошей управляемости ЛА на отклонение элеронов надо, чтобы самолет реагировал на это отклонение только изменением угла кре- 1 Коэффициенты многочлена положительны. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны ∆ 1 > 0, . . . , ∆ n > 0. Поскольку ∆ n = a n ∆ n −1 , то можно записать ∆ n > 0 как A n > 0. 9 на, причем угловая скорость крена ω x достаточно быстро достигала бы уста- новившегося значения, пропорционального отклонению элеронов. Быстрота достижения угловой скоростью ω x установившегося значения определяется угловым ускорением: ˙ ω x = b 3 (1 − e 1 T˙γ ) δ эmax при δ эmax = ±25 ◦ Поэтому показатель управляемости представляют в виде графика зависи- мости b 3 δ эmax (T γ ) Исследуем управляемость по показателю, приведенном на рис 1.2. Рис. 1.2 - Показатель управляемости по крену Этот показатель связывает с оценками летчиков величины угловых уско- рений ЛА при максимальном отклонении элеронов и постоянной времени T γ 10 Рассчитаем для каждого из режимов величины T γ и b 3 δ эmax при δ эmax = 25 ◦ = 0, 44рад. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 T γ 0,32 0,14 0,08 0,56 0,14 0,5 0,26 0,26 0,96 0,57 0,55 1,6 b 3 δ эmax 7,7 22,5 14,7 4,3 10,1 8,5 7,5 7 3,9 4,3 5,3 1,8 Из таблицы и графика видно, что первые 11 режимов попадают в область приемлемой управляемости, а 12-й - в область удовлетворительной. 4.3 Закон управления и расчет передаточных чисел АП крена с интегральным законом управления при сервоприводе с жест- кой обратной связью (ЖОС). Закон управления имеет вид: δ э = µω x + i γ + ν t ∫ 0 ( γ − γ зад )dt (1.5) Где µ , i, ν - передаточные числа АП. Математическую модель движения системы „ЛА-АП γ ” можно предста- вить следующим образом: ω ′ x = −b 1 ω x − b 3 ( µω x + i γ + νξ γ ′ = ω X ξ ′ = γ − γ зад (1.6) Чувствительным элементом системы, измеряющим ω x , является ДУС. 11 Рис. 1.3 - Структурная схема системы ЛА-АП крена Передаточная функция замкнутой системы “ЛА-АП γ ” на управляющее возмущение имеет вид: Φ γ γзад (p) = ν b 3 p 3 + (b 1 + µ э b 3 )p 2 + ib 3 p + ν b 3 (1.7) В качестве эталонной системы примем систему третьего порядка с крат- ными корнями характеристического уравнения: Φ э (p) = k э (p + λ э ) 3 = λ 3 э p 3 + 3 λ э p 2 + 3 λ э p + λ 3 э В форме Вышнеградского передаточные функции Φ γ γзад (p) и Φ э (p) запи- сываются как: Φ γ γзад (p) = 1 Ω 0 p 3 + (b 1 + µ э b 3 ) Ω 0 p 2 + ib 3 Ω 2 0 p + 1 Φ э (p) = 1 Ω 0 (p 3 + 3p 2 + 3p + 1) где Ω 0э = | λ э | 12 Полагая, что λ 2 э = Φ 3 0э = Ω 3 0э = ν э b 3 b 1 + µ b 3 Ω 0 = 3; i э b 3 Ω 2 0 = 3 получим µ э = 3 Ω 0 − b 1 b 3 ; i э = 3 Ω 2 0 b 3 ; ν э = Ω 3 0 b 3 Учитывая, что для системы третьего порядка Ω 0 = 6/t рег , получим: µ = 18 − b 1 ·t рег b 3 ·t рег [c] i = 108 b 3 ·t 2 рег ν = 216 b 3 ·t 3 рег [ рад c ] (1.8) На всех режимах проведем расчет каждого передаточного числа для t = 2c и t = 5c с целью выбрать общее значение каждого из µ , i, ν . При этом отрицательные значения полагаем равными нулю. Расчеты приведены в таблице 1.3. 13 Таблица 1.3 - Значения µ , i, ν для разного времени регулирования № реж. µ t=2 , c µ t=5 , c i t=2 i t=5 ν t=2 , рад c i t=5 , рад c 1 0.335 0.0284 1.53 0.245 1.53 0.0982 2 0.0328 0 0.527 0.0844 0.527 0.0338 3 0 0 0.806 0.129 0.806 0.0516 4 0.737 0.185 2.76 0.442 2.76 0.177 5 0.0773 0 1.18 0.189 1.18 0.0755 6 0.354 0.0729 1.41 0.225 1.41 0.09 7 0.306 0 1.59 0.254 1.59 0.102 8 0.319 0 1.7 0.272 1.7 0.109 9 0.898 0.289 3.05 0.488 3.05 0.195 10 0.735 0.186 2.74 0.439 2.74 0.176 11 0.598 0.148 2.25 0.36 2.25 0.144 12 2 0.71 6.43 1.03 6.43 0.411 Для передаточного числа µ : Рис. 1.4 - Передаточное число µ в зависимости от высоты 14 Из таблицы видно, что данные имеют достаточно большой разброс, и их сложно аппроксимировать кусочно-линейной функцией. Поэтому значения передаточных чисел необходимо корректировать. 4.4 Описание метода расчета Для коррекции передаточных чисел АП в зависимости от режимов полета ЛА используем следующую методику. Переходная функция системы „ЛА-АП” H(x, y, z) является функцией несколь- ких переменных, а именно параметров АП. Тогда полный дифференциал этой функции запишем как dH(x, y, z) = H x (x, y, z) ∆x + H y (x, y, z) ∆z + H z (x, y, z) ∆z (1.9) где H x (x 1 , . . . , x k ) = ∂ H(x 1 , . . . , x k ) ∂ x i — частная производная по i-й перемен- ной. k - максимальное количество параметров АП, i = 1, k Предлагаемая методика заключается в определении допустимых с точки зрения качества управления „нарушений” в строгих соотношениях между но- минальными значениями параметров АП, т.е. величин ∆ µ , ∆ ν , ∆i. Пусть ∆(t) – заданная точность при выводе системы „ЛА-АП” на задан- ную координату управления при единичном управляющем возмущении. Пе- реходная функция H i j (t) будет удовлетворять требованиям технического за- дания, если на заданном i-м режиме полета при j-м времени регулирования соблюдается условие ∆(t) ≥ H н i j (t) − H a i j (t) где H н i j (t) и H a i j (t) - переходные функции системы с номинальными и ап- проксимированными параметрами соответственно; 15 Решение удобнее проводить в частотном пространстве, поскольку в этом случае поставленная задача может быть сведена к решению типовой задачи линейного программирования. 4.4.1 Расчет передаточных чисел и допустимых отклонений Основная идея алгоритма состоит в том, что в качестве времени регули- рования задан некоторый временной диапазон [t рег min ;t рег max ], что позволяет варьировать значения параметров АП для различных значений t per из этого диапазона. Определение этих пределов и есть главная задача, поскольку на их основании на последнем этапе можно будет синтезировать единый закон управления для всей области полета. В частотной области в качестве характеристик переходного процесса вы- ступают две функции: A( ω ) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и φ ( ω ) - фазово-частотная характеристика (ФЧХ). Принципиально эти харак- теристики могут быть представлены в аналитическом виде при известной пе- редаточной функции системы самолет – АП. Однако наряду с аналитическим методом расчета функций чувствитель- ности возможно применение и численных методов, целесообразность приме- нения которых обоснована следующими соображениями: — передаточная функция системы представляет из себя довольно сложное выражение и разработчик вынужден при любом изменении структуры ее корректировать, что создает излишние сложности при разработке едино- го автоматического алгоритма расчета — погрешность численного метода относительно аналитического невелика Для определения функций чувствительности частотных характеристик ис- пользован метод численного дифференцирования, т.е. применены следую- щие формулы: 16 ∂ A( ω ) ∂ l = A( ω , l + ∆l) − A( ω , l − ∆l) 2 ∆l ∂φ ( ω ) ∂ l = φ ( ω , l + ∆l) − φ ( ω , l − ∆l) 2 ∆l где l - переменная, по которой производят дифференцирование; ∆l - некоторое небольшое приращение переменной l, величина которого не должна превышать нескольких процентов от величины самой переменной. В качестве эталона оптимизации выбирают так называемый «опорный ре- жим» работы системы на некотором фиксированном режиме полета, к па- раметрам движения которого будут приближены параметры движения всех остальных режимов полета за счет изменения параметров АП. Выбор опор- ного режима осуществляют исходя из следующего: — время регулирования (срабатывания) системы на опорном режиме долж- но соответствовать t рег min , т.к. основное требование к системе - макси- мальное быстродействие; — значения параметров АП на опорном режиме x r оп должны быть техниче- ски реализуемыми и минимальными по их значениям, т.к. варьирование параметров на расчетном режиме производят в сторону увеличения, т.е. x r ном ≥ x r рас ≥ x r оп — перерегулирование на опорном режиме должно соответствовать ТЗ Главным критерием при расчетах являются допустимые отклонения ам- плитудной ∆A доп (АЧХ) и фазовой ∆ φ доп (ФЧХ) частотных характеристик пе- реходной функции, в качестве которых приняты ∆A доп = 0, 05 и ∆ φ доп = −0,1 В общем случае увеличение ∆A доп влияет на увеличение перерегулирова- ния, а ∆ φ доп – времени регулирования. При переходе в частотное пространство кроме переменных ∆ µ , ∆ ν , ∆i по- 17 являются, вследствие допустимости варьирования времени регулирования в пределах [t рег min ;t рег max ], еще две переменные: ∆ ω тек и ∆A тек Поскольку необходимо определить максимально допустимые отклонения значений параметров АП от их расчетных значений на каждом режиме поле- та, то записываем линейную форму вида: F = max( ∆ µ + ∆ ν + ∆i) и систему уравнений для решения задачи методом линеиного программи- рования: A µ 0 ( ω ) · ∆ µ + A ν 0 ( ω ) · ∆ ν + A i 0 ( ω ) · ∆i + A ω 0 ( ω min ) · ∆ ω тек = ∆A доп φ µ 0 ( ω ) · ∆ µ + φ ν 0 ( ω ) · ∆ ν + φ i 0 ( ω ) · ∆i + φ ω 0 ( ω min ) · ∆ ω тек = ∆ φ доп ∆ µ ≤ µ min − µ 0 ∆ ν ≤ ν min − ν 0 ∆i ≤ i min − i 0 ∆ ω тек ≤ ∆ ω доп (1.10) где A j 0 ( ω ) - амплитудные функции чувствительности (частные производ- ные) по j-й переменной; µ min , ν min , min - передаточные числа каждого режима, соответствующие t рег. min ; µ 0 , ν 0 , 0 - передаточные числа опорного режима, со- ответствующие t рег. min ; ∆A доп ≤ 0,05 В результате решения этой задачи линейного программирования для n −1 режимов полета самолета, получают для каждого из них допустимые откло- нения параметров АП от их номинальных значений. Тогда на каждом режиме полета вместо j ном допустимо реализовывать значение параметра j кор = j ном − ∆ j, что может существенно упростить ап- проксимацию законов коррекции параметров АП. 18 Предложенная методика легко поддается алгоритмизации, что позволяет написать пакет программ для ПЭВМ, исходными данными для которого бу- дут формулы расчета передаточных чисел и математическая модель движе- ния системы „ЛА-АП”, a выходным результатом — зависимость передаточ- ных чисел от какого-либо параметра движения ЛA. 4.4.2 Реализация методики Реализация алгоритма состоит из следующих шагов: 1. Рассчитывают передаточные числа для при t рег. min и t рег. max 2. Выбирают опорный режим, на котором передаточные числа АП техни- чески реализуемы, причем скорректированные значения передаточных чисел для остальных режимов должны быть больше опорных. 3. Строят для опорного режима амплитудные и фазовые частотные характе- ристики при номинальных параметрах, соответствующих t рег. min и t рег. max Для фиксированного значения сдвига по фазе вычисляют ω min , ω max и ∆ ω доп = ω max − ω min , определяют функции чувствительности системы A ω 0 ( ω min ) и φ ω 0 ( ω min ) по частоте и принимают функцию чувствительности по пере- менной ∆A тек ( ω ) равной нулю. 4. Находят A ω 0 ( ω min ) и φ ω 0 ( ω min ) 5. Находят величины ∆ µ i = µ i min − µ 0 min , ∆ ν i = ν i min − ν 0 min , ∆i i = i i min − i 0 min 6. На всех режимах кроме опорного для случая t рег. min определяют для µ , ν , i амплитудные и фазовые функции чувствительности и находят на интер- вале ω min . . . ω max их максимальное по модулю значение с учетом знака. 7. Задают допустимые отклонения амплитудной и фазовой частотных ха- рактеристик. 19 |