Законы постоянного тока
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
: B B B ¢ + = r r r 0 (110) 5.6.1. Намагниченность . Для описания процесса намагничивания вещества вводят количественный параметр – вектор намагниченности J r . По определению V P J N i mi D = å D =1 r r , (111) где mi P r – магнитный момент й молекулы, образующей вещество (образец V D – физически бесконечно малый объем, содержащий DN суммируемых моментов mi P r Если воспользоваться определением среднего момента молекулы по объему V D : N P P N i mi m D >= < å D =1 r r , то n P V N N P V P J m mk k mk × > =< D D D = D = å å r r r r , где V N n D D = – концентрация молекул. Мы будем следовать последнему определению 1) считаем, что все молекулы обладают одинаковым магнитным моментом > < m P r ; 2) намагниченность рассчитываем по формуле n P J m × > =< r r (112) 5.6.2. Классификация магнетиков. Известно, что молекулы (атомы) вещества содержат электроны, вращающиеся вокруг атомных ядер. Вращающейся электрон создает магнитный момент (отрицательный. Кроме Рис. 69 того, собственным (спиновым) магнитным моментом обладают все частицы (электроны, протоны и нейтроны, входящие в состав атомов. В зависимости от числа этих частиц (подробнее об этом мы узнаем из четвертой части курса) молекула (атом) может либо обладать магнитным моментом, либо не обладать (нулевой момент. Если молекулы обладают магнитным моментом, то между ними имеется взаимодействие, пытающееся упорядочить (выстроить определенным образом) эти моменты. Процессу упорядочения магнитных моментов препятствует тепловое движение молекул колебания и вращения относительно узлов кристаллической решетки. Если энергия взаимодействия моментов преобладает над энергией теплового движения, то магнетик даже в отсутствие внешнего магнитного поля является упорядоченным (например, ферриты, ферромагнетики) – моменты в таком образце выстроены определенным образом, образец намагничен. Если же энергия взаимодействия мала по сравнению с энергией теплового движения, то моменты ориентированы хаотически – намагниченность равна нулю. Такие неупорядоченные магнетики называют парамагнетиками. Наконец, те молекулы, которые не обладают магнитным моментом, формируют в отсутствие внешнего поля образец с нулевой намагниченностью, а при включении магнитного поля в них индуцируется (наводится) магнитный момент, направленный всегда против внешнего поля. Последний тип магнетика называют диамагнетиком. Сказанное иллюстрируется рис. 70. Заметим, что в отсутствие внешнего магнитного поля для ферритов и ферромагнетиков 0 ¹ D >= < N J P m r r , а для пара и диамагнетиков 0 >= < m P r 5.6.3. Магнитная восприимчивость . Для однородных пара и диамагнетиков во всем диапазоне используемых в экспериментах магнитных полей величина среднего магнитного момента пропорциональна индукции внешнего поля 0 0 B P m m r r m c >= < , упорядоченный магнетик ферромагнетик) неупорядоченный магнетик парамагнетик) диамагнетика) внешнего поля нет (В) б) внешнее поле есть (В) Рис. 70 где c m – так называемая молекулярная магнитная восприимчивость – параметр, описывающий "легкость, с которой приданном поле у молекулы появляется > < m P r Заметим, что для парамагнетиков 0 > m c , а для диамагнетиков 0 < В силу определения (112) для диа и парамагнетиков 0 0 B n n P J m m m c × = > =< r r (113) Вводя параметр n m × = c c – магнитную восприимчивость вещества, получим 0 0 B J r r m c = (140) 5.6.4. Молекулярные токи Наглядно картину намагничивания диа и парамагнетиков можно представить, вводя (следуя Амперу) так называемые молекулярные токи (рис. 71) – под действием внешнего поля 0 B r в молекулах наводятся молекулярные токи i m , приводящие к появлению магнитных моментов у молекулу парамагнетиков направление этих токов таково, что > < m P r направлен параллельно 0 B r ; – у диамагнетиков – > < m P r противоположен 0 B r можно воспользоваться правилом буравчика. В каждой точке однородного магнетика любой молекулярный ток компенсируется направленным навстречу молекулярным током соседней молекулы (результирующей молекулярный ток внутри магнетика равен нулю. Исключение составляют те молекулярные токи, которые выступают на боковую поверхность образца – в результате формируется ток намагничивания (риса) парамагнетик б) диамагнетик Рис. 71 Рис. 72 Для однородного образца цилиндрической формы картина совпадает с картиной формирования поля в длинном соленоиде (рис. 73). Именно ток намагничивания является причиной возникновения магнитного поля намагниченного образца B¢ r 5.6.5. Циркуляция B r в присутствии магнетика. Для связи B¢ r с намагниченностью J используем аналогию с соленоидом, для которого l N I B C 0 m = , где I – ток, протекающий по обмотке, N – число витков, уместившихся на длине l соленоида. Для случая магнетика m i I = – молекулярный тока число молекул, уместившихся на отрезке длиной l, проведенном параллельно оси образца n l S N × × = , где S – площадь, ограниченная молекулярным током, l S × – объем магнетика, содержащий интересующее нас число молекул N. Итак, ( ) n S i l n l S i B m m × × = × × × = ¢ 0 0 m Но, ( ) > =< m m P S i , а J n P m = > < , то есть å ò = k i Г d B 0 m r r , причем в алгебраическую сумму токов входят как токи проводимости (I k ), создающие внешнее поле ( 0 B r ), таки токи намагничивания ( нам i ), создающее поле B¢ r . Для определения последних необходима информация о строении молекул (нужно уметь рассчитать i m – молекулярный токи структуре магнетика (для определения i m – тока намагничивания. 5.6.6. Вектор напряженности магнитного поля H r Для преодоления в практических расчетах этих трудностей в физике используют вектор напряженности магнитного поля H r аналогично использованию вектора электрического смещения D r при расчете электрического поля в присутствии диэлектрика J B H - = 0 m r r (114) J B 0 m = ¢ Если учесть, что направления B¢ r и J r связаны с направлением протекания молекулярных токов правилом буравчика (см. рис. 68), то становится ясно, что B¢ r и J r для однородного образца) параллельны J B r r 0 m = ¢ (115) а) магнетик б) соленоид Рис. 73 5.6.7. Магнитная проницаемость вещества. Теперь легко получить связь между результирующим полем B r и внешним полем 0 B r для однородного магнетика J B B B B r r r r r 0 0 0 0 m + = ¢ + = , что с учетом 0 0 B J r r m c = дает ( ) 0 0 0 1 B B B B r r r r c c + = + = Величину ( c + 1 ) обозначают буквой m : c m + = 1 , и называют магнитной проницаемостью вещества 0 B B r r m = (116) m показывает , во сколько раз магнитное поле в присутствии магнетика больше поля в его отсутствие. Теорема о циркуляции H r Если перед нами поставлена задача рассчитать поле B r в присутствии магнетика, то можно воспользоваться теоремой о циркуляции вектора B r Рассмотрим циркуляцию H r по произвольному замкнутому контуру ò ò ò - = Г d J Г d B Г d H r r r r r r 0 По теореме о циркуляции B B B ¢ + = r r r 0 : ò ò ò ¢ + = Г d B Г d B Г d B r r r r r r 0 Но для однородного магнетика J B r r 0 m = ¢ и, следовательно, ò ò ò ò - + 1 = Г d J Г d J Г d B Г d H r r r r r r r r 0 Так как å ò = k I Г d B 0 0 m r r , где I k – й ток проводимости, то å ò = k I Г d H r r (117) Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H r по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, пересекающих поверхность, натянутую на данный контур. Замечание Несмотря на то, что результат (117) получен для случая однородного магнетика, он справедлив всегда (не только для однородного магнетика. В случае однородного магнетика и только для этого случая) можно получить связь между H r и 0 B r . Действительно, для однородного магнетика 0 0 B B r r m = и 0 0 B J r r m c = , то есть ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 m c m m m c m m B B B B H одн r r r r r = - = - = 5.6.9. Связь векторов B r и H r Таким образом, при расчете циркуляции H r мы должны учитывать только токи проводимости. Если бы была установлена связь между B r и H r , то задача об определении B r в присутствии вещества решалась бы следующим образом 1) используя только токи проводимости, рассчитываем циркуляцию вектора H r , которая (как ив случае циркуляции B r ) для задач со специальной симметрией позволяет найти модуль H H = r ; 2) используя связь между B r и H r , находим B r – индукцию результирующего магнитного поля в присутствии вещества. Эту связь (между B r и H r ) мы установим (как и раньше) для случая однородного магнетика для простоты, но будем помнить, что она верна всегда. Так как 0 B B r r m = , то из 0 0 m B H r r = следует m 0 B H r r = или H B r r m m 0 = (118) Суммируем (для памяти) полученные результаты в таблице 5.6.9. Таблица 5.6.9. Однородные магнетики Произвольный случай å ò = k I Г d H r r å ò = k I Г d H r r H B r r m m 0 = H B r r m m 0 = 0 B B r r m = , 0 0 B J r r m c = , 0 0 m B H r r = не выполняются Пример Найти магнитное поле прямого тока, окруженного магнетиком, в виде цилиндра радиуса R, ось которого совпадает стоком (рис. 74). Магнитная проницаемость магнетика равна Решение. 1) Применим теорему о циркуляции вектора H: I r H Г d H = × = ò p 2 r r , r I H p 2 = 2) Используем связь между B r и H r : H B m m 0 = , что дает ï ï î ï ï í ì < = > = при 2 ; при 2 0 0 R r r I B R r r I B p m m p Мы видим, что при переходе границы магнетика модуль B r испытывает скачок. Замечание Кажущаяся простота решения задач с использованием вектора H r и соотношения (118) связана с использованием заданных (табличных) значений m – магнитной проницаемости, полученных в результате многочисленных кропотливых экспериментов с разными магнетиками. Если вспомнить, что n m × + = + = c c m 1 1 , то становится ясно, что в этих Рис. 74 таблицах собраны экспериментальные данные и о строении молекул (параметр m c ) и о структуре магнетика (параметр n). 5.6.10. Микроскопическое рассмотрение магнетиков. Итак, для решения задач определения магнитного поля в присутствии вещества нам нужно знать параметры или 1 - = m c ). 5.6.10.1. Диамагнетики. Рассмотрим электрон, вращающийся вокруг ядра атома. Электрон образует токи соответствующий магнитный момент (орбитальный магнитный момент, см. рис. 75. Так как заряд электрона отрицательный, то направление протекания соответствующего тока противоположно направлению движения электрона. По этой же причине противоположны направления механического момента импульса L r и магнитного момента me P r При помещении атома в однородное магнитное полена момент me P r начинает действовать момент сил, пытающийся развернуть me P r по полю 0 B r . Поведение электрона при этом описывается основным уравнением динамики вращательного движения [ ] 0 B P dt L d me r r r × = (119) Заметим, что w × = 2 r m L e , а 2 r e S I P me p n × = × = , где m e – масса электрона, r – радиус орбиты – частота обращения электрона w 2 = – угловая скорость движения электрона. При этом e m m e L P 2 = , или L m e P e me r r 2 - = мы учли, что заряд электрона отрицателен. Запишем теперь (119) в виде [ ] 0 2 B P m e dt P d me e me r r r - = или [ ] 0 2 B L m e dt L d e r r r - = Т.к. при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, то [ ] ú û ù ê ë é = - m e me e P B m e B P m e r r r r , 2 , 2 0 0 или [ ] ú û ù ê ë é = - L B m e B L m e e e r r r r , 2 , 2 0 0 Решив это уравнение, мы узнаем как ведет себя магнитный момент m P r или L r ) в магнитном поле 0 B r Найдем решение по аналогии, зная, что определение скорости вращающейся материальной точки дается уравнением [ ] r dt r d r r r w = Но последние уравнения с точностью до обозначений ( me P r r r ® или L r ), B m e e r r 2 ® w ) совпадает с интересующим нас уравнением для me P r или L r ). Следовательно, совпадают и их решения (см. рис. 76). Рис. 75 [ ] r dt r d r r r w = ï ï î ï ï í ì ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é = L B m e dt L d P B m e dt P d e m e me r r r r r r , 2 , 2 Решение радиусвектор r r вращается (прецессирует) вокруг направления w r с частотой Решение вектор e m P r или L r ) вращается (процессирует) вокруг направления 0 B r с частотой 0 2 B m e e L = w Рис. 76 Итак, мы видим, что под воздействием магнитного поля векторы L r и me P r прецессируют (эта прецессия орбитального момента носит название прецессии Лармора – ларморова прецессия. Электрон получает дополнительную угловую скорость, совпадающую по направлению с направлением 0 B r 0 2 B m e e L r r = w , что соответствует дополнительному, индуцированному току (прецессионный ток e L L m B e e i p p w 2 2 0 2 = = (120) Этот ток создает дополнительный магнитный момент, направленный противоположно полю B r диамагнитный момент 0 2 2 4 B m r e P e me r r p p - = Если до включения поля 0 B r моменты me P r электронов, входящих в атом были скомпенсированы (атом диамагнетика не обладает в отсутствие поля магнитным моментом, то после включения 0 B r каждый из N электронов, входящих в атом, дает свой вклад me P r в результирующий диамагнитный момент атома dia m P r : å = - = N i e i dia m B m r e P 1 0 2 2 4 r r (121) Вспомнив, что 0 0 B P m dia m r r m c = , получаем для диамагнитной восприимчивости атома å = - = N i e i m m r e 1 2 2 0 4 m Если ввести в рассмотрение средней квадрат радиуса орбиты N r r i å >= < 2 2 , то получим следующее выражение для диамагнитной восприимчивости атома e m m N r e 4 2 2 0 > < - = m Умножив c m на концентрацию атомов, получим выражение для восприимчивости диамагнетика n m N r e e dia × > < - = 4 2 2 0 m Для типичных значений параметров 20 2 10 - >@ < r м 2 , 40 @ N получаем значение 6 5 10 10 - - ¸ - @ dia c , что вполне согласуется с опытом. Магнитная проницаемость чуть меньше 1: ( ) 6 5 10 10 1 - - ¸ - @ dia m 5.6.10.2. Парамагнетики. Магнитные моменты молекул парамагнетика при 0 0 = B ориентированы хаотически ив сумме дают нулевую намагниченность образца. При включении поля 0 B r моменты начинают прецессировать вокруг линии поля 0 B r , и, если бы не было взаимодействия между молекулами, то намагниченность оставалась бы нулевой. Однако при каждом акте взаимодействия с соседними молекулами при наличии поля 0 B r момент молекулы m P r немного меняет ориентацию, приближаясь по направлению к направлению 0 B r в новом положении магнитная энергия B P E m маг r r - = момента m P r в поле 0 B r становится немного меньше энергии, соответствующей исходной ориентации. Этому (релаксационному) механизму упорядочения противодействует тепловое движение (колебания и вращения, которое ведет к разупорядочению моментов m P r . Параметром, характеризующим борьбу этих двух процессов (упорядочения и разупорядочения, является отношение величины магнитной энергии B P m к средней энергии теплового движения kT: T k B P x B m = Здесь, КДж постоянная Больцмана, T – абсолютная температура. С ростом упорядочения, естественно, растет средний магнитный момент > < m P , растет намагниченность J, причем, как показывает опыт, для значительной части парамагнетиков хорошо выполняется зависимость Рис. 77 Рис. 78 |