Законы постоянного тока
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
ГЛАВА 4. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 4.1. Закон Ома для однородного участка цепи. Открытый Омом экспериментально закон гласит ток, протекающий по однородному проводнику, пропорционален напряжению (разности потенциалов) между его концами (рис. 44). Итак, в соответствии с законом Ома U R I × = 1 , (70) где R 1 – коэффициент пропорциональности. Входящий в коэффициент пропорциональности параметр R носит название сопротивления участка цепи (измеряется в Омах А В Ом 1 1 1 = ). Обычно на схемах сопротивление участка цепи обозначается прямоугольником (риса подводящие к нему ток "соединения" (тонкие линии) полагаются не обладающими сопротивлением, то есть "соединения, пропускающие ток I без напряжения между своими концами (все точки одного "соединения" имеют одинаковый потенциал. 4.2. Сопротивление однородного участка цепи. Из закона Ома следует, что I U R = . Но l E U × = – разность потенциалов между концами участка цепи, где Е напряженность поля в проводнике, обеспечивающая протекание тока. С другой стороны S qnV jS I × = = . Следовательно, S l jS El R r = = (71) Здесь, j E = r – постоянный для данного проводника параметр, называемый удельным сопротивлением проводника. Примечание Постоянство j E = r следует из того факта, что сопротивление R входит в коэффициент пропорциональности в законе Ома, который не зависит ни оттока, ни от напряжения. Измеряется r в Ом×м ( l RS = r , мОм мм Ом × = × = 2 ] [ r ). S – площадь поперечного сечения проводника l – длина участка цепи (проводника) Рис. 44 Рис. 45 4.3. Закон Ома в дифференциальной форме. Выражение j E = r называют дифференциальной формой закона Ома в скалярной форме. Если учесть, что направление вектора j r плотности тока и напряженности поля E r в проводнике совпадают, то этому закону можно придать векторную форму E j r r = × r (72) Включим в этот закон микроскопическое определение плотности тока V qn j r r = : E V qn r r Оказывается, в проводнике скорость направленного перемещения зарядов V r пропорциональна E r : E E qn V r r r m r = × = 1 (73) Здесь m qn 1 = – так называемая подвижность носителей тока (зарядов, с В мВ см м E V × = × × = = 2 ] [ ] [ ] Таким образом удельное сопротивление r действительно параметр, характеризующий материал проводника r qn 1 = , или m s r qn = = 1 , (74) где r s 1 = – удельная электропроводимость (электропроводность) проводникам См мОм, Ом сименс См 1 1 1 = º 4.4. Электрическое поле проводника стоком. В процессе протекания тока по однородному проводнику ни внутри проводника, ни на его поверхности не могут образоваться избыточные электрические заряды. Действительно, для постоянного тока справедливо соотношение 0 = ò S d j r r В силу закона Ома E j r r s = , то есть 0 = ò S d E r Для однородного проводника s = const, следовательно 0 = ò S d E r r s , что в силу 0 ¹ s для реального проводника в случае произвольно поверхности, по которой производится интегрирование, дает 0 = ò S d E r r То есть сумма зарядов внутри поверхности по теореме Гаусса равна нулю. Примечание Если нарушается однородность проводника ( s перестает быть константой, тона поверхности проводника могут появиться избыточные заряды. Рис. 46 Таким образом, при протекании постоянного тока по однородному проводнику, имеется электрическое поле внутри проводника ив силу непрерывности тангенциальной касательной) составляющей) на его поверхности и вблизи нее (рис. 46). 4.5. Обобщенный закон Ома. Электрические силы E q F r r = ( 0 > q ) действуют на заряд таким образом, чтобы он переходил из области с высоким электрическим потенциалом в область с более низким потенциалом. Но, если ток течет по замкнутой цепи (контуру, тов этом контуре обязательно есть участок, где заряды переходят из области с низким потенциалом в область с высоким потенциалом. Заставить двигаться заряды таким образом могут только силы не электрической природы, так называемые "сторонние" силы. Сказанное иллюстрируется рисунком 47. Сторонние" силы – это, например, магнитная сила (сила Лоренца), или силы, действующие на заряд в областях контакта проводников, находящихся при разных температурах (на действии этих сил основана работа термоэлементов, это могут быть силы, возникающие при контакте разнородных проводников (аккумуляторы, гальванические элементы. На рис. 47 на заряд q, находящийся в точке A, действует электрическая сила, заставляющая q перемещаться по контуру к точке B, имеющей более низкий потенциал A B j < j . Но чтобы заряд перемещался по замкнутой цепи на участке ВА на него должна действовать "сторонняя" сила, заставляющая заряд идти от В к А при B A j > j 4.5.1. Дифференциальная форма обобщенного закона Ома. Для количественного описания "сторонних" сил вводят вектор напряженности поля "сторонних" сил ст E r , численно равный "сторонней" силе , действующей на единичный заряд. При таком описании испытывающий действие как "сторонних, таки электрических сил заряд находится в результирующем поле ст рез E E E r r r + = , где E r – напряженность электрического поля вцепи, а плотность тока пропорциональная результирующей напряженности ст рез E E E j r r r r + = = r (75) илист) Уравнения (75) и (76) выражают так называемый обобщенный закон Ома в дифференциальной (локальной) форме. 4.5.2. ЭДС на участке цепи. Часто встречающийся случай – протекание тока вдоль тонких проводов. При этом направление вектора j r совпадает по направлению с элементом длины провода l d r в любой точке цепи (вектор l d r направлен вдоль оси провода в сторону протекания тока. Рассмотрим участок контура между точками 1 и 2 (ток течет от 1 к 2), см. рис. 48. Проинтегрируем функцию, описанную уравнением (76), от 1 до 2: Рис. 47 Рис. 48 ( ) ò ò ò ò + = + = 2 1 2 1 2 1 2 1 l d E l d E l d E E l d j ст ст r r r r r r r r r r . (77) Так как l d j r r || , то jdl l d j = r r Умножив и разделив левый интеграл в (77) на S – площадь сечения провода, получим ( ) 12 2 1 2 1 2 1 IR dR I IdR S dl jS = = = ÷ ø ö ç è æ ò ò ò r , (78) где dR S dl = r – сопротивление элемента провода длинной dl, сечением S; ò = 2 1 12 dR R – сопротивление участка цепи 1–2. Первый интеграл справа в (77) – это разность потенциалов между точками 1 и 2: 2 1 2 1 12 j - j = = ò l d E U r r (79) Второй интеграл – это так называемая электродвижущая сила (ЭДС) на участке 1–2: ò = 2 1 12 l d E ст r r e (80) Замечание Если "сторонние" силы действуют в направлении протекания тока, то 0 12 > e , если – в обратном направлении, то 0 12 Объединяя (78), (79) и (80), получим 12 12 12 e + = × U I R (81) Последнее равенство является интегральной формой закона (76). Важную роль при анализе электрических цепей имеет частный случай закона (81), примененного к замкнутой цепи, для которой 2 1 j = j для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают I R П , (82) где П – полное сопротивление замкнутой цепи – алгебраическая сумма ЭДС в данной замкнутой цепи. 4.6. Закон ДжоуляЛенца. 4.6.1. На заряд, переносимый по однородному участку цепи при протекании тока, действует кулоновская сила. E q F C r r = Однако, если бы на q действовала только F C , то этот заряд двигался бы с ускорением. Но это – не так, заряд q движется с постоянной (в среднем) скоростью E V r r m = см. (73)). Это значит, что на него действует еще одна сила (сила сопротивления со стороны кристаллической решетки, в точности равная по величине силе E q r : qE F сопр = Сила сопротивления совершает работу, приводящую к выделению теплоты (нагреванию кристаллической решетки, то есть проводника. В единицу времени сопр F совершает работу, равную мощности силы сопротивления 2 E q E F V F P сопр сопр C m m = × = × = В любом малом объеме проводника DV содержится V n N D × = зарядов q (носителей заряда, поэтому в DV за счет силы сопр F в единицу времени выделяется количество теплоты DP: V E n q N P P C D × = × = D Отношение V P D D дает плотность мощности, выделяемой в проводнике 2 nE q V P w m = D D = (83) Если учесть, что s m = n q , а j qnV E qn = = m , то формулу (83) можно переписать в виде 2 2 j jE E w r s = = = . (84) Последние соотношения выражают закон ДжоуляЛенца в дифференциальной форме (все три формы записи закона эквивалентны. 4.6.2. Закон ДжоуляЛенца для однородного участка цепи. Если нас интересует мощность, выделяемая при протекании тока на однородном участке сопротивлением R, то нужно w – плотность мощности умножить на объем участка цепи l S V об × = , где S – площадь поперечного сечения l – длина участка цепи. ( )( ) U I El jS Sl jE P R × = = × = , (85) где I – ток, протекающий по сопротивлению R участка цепи U – напряжение на сопротивлении R. Случай замкнутой цепи. Для случая замкнутой цепи мощность, выделяемую вцепи, можно рассчитать, умножив (82) на I: I I R П 2 (86) Слева стоит тепловая мощность, выделяемая на всех элементах замкнутой цепи (включая источник сторонних сил, который при протекании по цепи тока тоже нагревается 2 0 2 2 I r RI I R П + = , (87) где R – сопротивление внешней по отношению к источнику цепи r 0 – внутреннее сопротивление источника ЭДС I I R П 2 – полная мощность, развиваемая источником 2 RI – мощность, выделяемая во внешней цепи (полезная 2 0 I r – мощность, теряемая в источнике ЭДС. Замечаение: Заметим, что введенное в (87) сопротивление источника ЭДС r 0 может быть выделено в законе Ома для замкнутой цепи ( ) e = + I r R 0 или 0 r R I + = e (88) 4.7. Правила Кирхгофа. Расчет разветвленных цепей постоянного тока можно существенно упростить, если воспользоваться так называемыми правилами Кирхгофа, являющихся следствиями уже рассмотренных законов. 4.7.1. Первое правило Кирхгофа Оно является следствием из уравнением непрерывности (18) при условии, что при протекании постоянных токов заряды в узлах цепи не должны изменяться (не должны меняться потенциалы узлов, то есть при условии 0 = dt dq : 0 = ò S d j r r (89) Интеграл (89) – это ток, протекающий через поверхность, охватывающую узел (рис. 49), то есть 0 3 2 1 = - + - = ò I I I S d j r r (90) Знаки в (90) выбраны в соответствии со знаками скалярного произведения S d j r r см. 2.1.3). Итак, правило Кирхгофа гласит алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи постоянного тока равна нулю. 4.7.2. Второе правило Кирхгофа. Если в разветвленной цепи выбрать произвольный замкнутый контур, то алгебраическая сумма произведений тока вот дельных участках на сопротивление этих участков равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в данном контуре) Знаки отдельных слагаемых в суммах выбираются следующим образом 1) если направление протекания тока I i по iму участку контура совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура, то соответствующее (iое) слагаемое берется со знаком "+"; 2) если ЭДС, действующая нам учестке контура "способствует" протеканию тока в выбранном положительном направлении обхода контура, то соответствующее слагаемое ( e i ) берется со знаком "+". Иллюстрацию (и доказательство) этого правила проведем для некоторого контура разветвленной цепи, содержащего четыре участка (рис. 50). Положительное направление обхода контура 1–2–3–4 выберем почасовой стрелке (см. рис. 50). Запишем обобщенный закон Ома (81) для каждого из участков цепи 1 2 1 1 1 e + j - j = - R I 2 3 2 2 2 e + j - j = R I 3 4 3 3 3 e + j - j = R I 4 1 4 4 4 e + j - j = R I Сложив эти уравнения получим 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1 e e e e - + - = + + + - R I R I R I R I , то есть второе правило Кирхгофа. Замечание При описании разветвленной цепи число уравнений, соответствующих правилам Кирхгофа должно совпадать с числом неизвестных параметров (чаще всего токов в отдельных участках. При этом Рис. 49 Рис. 50 1) число независимых уравнений типа (90) (I правило) равно N – 1, где N – число узлов в разветвленной цепи 2) число независимых уравнений типа (91) (II правило) равно наименьшему числу разрывов, которые необходимо сделать, чтобы ликвидировать все контуры в разветвленной цепи. 4.8. Переходные процессы в электрических цепях. Рассмотренные выше законы (законы постоянного тока) во многих случаях могут быть применены и к цепям с изменяющимися во времени токами, если только изменение тока происходит не слишком быстро. Слова "не слишком быстро" в данном случае означают, что мгновенное значение тока I(t) в момент времени t практически одинаково для всех поперечных сечений цепи. В случае "быстрых" (высокочастотных) изменений тока мгновенные значения I(t), вообще говоря, могут в разных сечениях цепи различаться (даже по знаку. Не слишком быстро" (медленно) изменяющиеся токи называют квазистационарными (см. рис. 51). Именно к квазистационарным токами можно применить законы постоянного тока, если под I в них понимать мгновенное значение тока I(t). 4.8.1. Разряд конденсатора через сопротивление. Предварительно заряженный до напряжения u 0 конденсатор емкостью Св момент времени t = 0 начинает разряжаться через сопротивление R. (см. рис. 52). Несмотря на то, что с момента t = 0 цепь "замыкается" ключом Кл, сточки зрения протекания постоянного тока она разомкнута конденсатор не пропускает постоянных ток. Поэтому рассмотрим эту схему как участок цепи АВ (от положительно заряженной обкладки до отрицательной, см. рис. 53. В соответствии с обобщенным законом Ома (см. формулу (84) в п. 4.2.3.): Квазистационарный ток Высокочастотный тока) момент времени а) момент времени Рис. 51 Рис. 52 Рис. 53 AB B A RI e + j - j = Поскольку ЭДС на участке цепи отсутствует ( 0 = AB e ), а C B A U = j - j – напряжение на конденсаторе, то RI U C = , (92) причем C q U C = , где q – заряд конденсатора. Ток, текущий от положительно заряженной пластины A связан с зарядом на этой пластине q уравнением непрерывности (см. (18)): dt dq dS j I - = = ò r (93) Перенося в (92) слагаемое RI влево и деля все слагаемые нас учетом (93) получим 0 1 = + q RC dt dq (94) Мы получили то, что в математике называют линейным однородным дифференциальным уравнением первой степени. Его решение ищут в виде t Ae q l = , где A и l некоторые константы, которые нам нужно будет определить. После дифференцирования t Ae q l = по t, подстановки полученного выражения в (94) и сокращения на t Ae получаем так называемое характеристическое уравнение уравнения (94) 0 1 = + RC l , откуда RC 1 - Одна константа определена l 1 1 - = - = RC , где RC = t – так называемая постоянная времени для нашей цепи. Для определения А используем начальное условие – "конденсатор был заряжен до напряжения U 0 ", то есть в начальной момент времени t = 0 заряд на конденсаторе был равен C U q × = 0 0 Подставляя в выражение для заряда RC t Ae q - = t = 0, получаем A q = 0 , так как 1 0 = e Получили решение уравнения (94) в виде RC t RC t e C U e q t q - - × = = 0 0 ) ( . (95) Если нас интересует ток на участке цепи АВ, то используем связь I и q (уре непрерывности RC t RC t e R U e RC q dt t dq t I - - = = - = 0 0 ) ( ) ( (96) На рис. 54 показаны графики зависимости q и I от времени. Заметим, что за время, равное постоянной времени RC = t значение заряда и тока уменьшается враз (те. почтив раза, 72 , 2 @ e ). 4.8.2. Заряд конденсатора через сопротивление. Рис. 54 Чтобы зарядить конденсатор, его нужно подключить через сопротивление (это сопротивление необязательно должно быть включенным в цепь резистором, это может быть и просто сопротивление подводящих проводов) см. рис. 55. По сравнению с предыдущим случаем с момента t = 0 на участке цепи начинает действовать ЭДС (направление протекания тока мы выбрали таким, чтобы в обобщенный закон Ома ЭДС вошла со знаком "+"). Имеем (обощенный закон Ома) (см. рис. 56): e + j - j = B A RI , (95) При таком выборе направления I dt dq I = , то есть ток обуславливает увеличение заряда q. Заметим также, что напряжение на конденсаторе A B C U j - j |