Законы постоянного тока
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
= j - j = - + С учетом сделанных замечаний из (95) получим+ - = C U dt dq R или R q RC dt dq e = + 1 (96) Уравнение (96) в отличие от (94) является неоднородным – в правой части не нуль. Общим решением неоднородного уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного (какогонибудь, хотя бы угаданного) решения неоднородного уравнения ) ( ) ( неднор част н однор общ q t q t q + = ) ( t q однор общ нам известно из п. 4.5.1: RC t однор общ Ae t q - = ) А частное решение неоднородного легко угадать C q неднор част н e = . Действительно, при подстановке C q неднор част н e = в (96) получим тождество, так как 0 = dt dq неднор част на неднор част н e e = = 1 , то есть 1 неоднор част неоднор част н q RC dt dq + всегда равно правой части (96). Таким образом, общее решение уравнения (96) имеет вид C Ae t q RC t e + = - ) ( Постоянную А находим, используя начальное условие 0 ) 0 ( 0 = º q q , ведь до t = 0 конденсатор не был заряжен. Итак, 0 ) 0 ( = + = C A q e , откуда C A e - = , и мы имеем решение нашего уравнения (96) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - = - RC t e C t q 1 ) ( e . (97) Рис. 55 Рис. 56 Так как в нашем случае dt dq I = , то RC t RC t e R e RC C t I - - = = e e 1 ) ( .(98) Графически решения (97) и (98) представлены на рис. 57. Замечание Законы постоянного тока применимы и к цепям, содержащим индуктивности, лишь бы ток был квазистационарным. Рассмотрение этой задачи мы отложим до изучения понятия индуктивности и ЭДС самоиндукции. (см. Гл. 6). Рис. 57 ГЛАВА 5. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ (МАГНЕТОСТАТИКА) 5.1. Теорема о циркуляции вектора Эта теорема по своей роли аналогична теореме Гаусса в электростатике при наличии в задаче некоторых видов симметрии теорема позволяет легко находить вектор индукции B r Теорема о циркуляции B r является математическим следствием закона БиоСавараЛапласа ив теории электромагнетизма (уравнения Максвелла) является одним из фундаментальных законов (одним из уравнений Максвелла. 5.1.1. Теорема о циркуляции B r Циркуляция вектора по замкнутому (произвольному) контуру Г равна произведению магнитной постоянной) на алгебраическую сумму токов, пересекающих поверхность, натянутую на контур Г. å ò = i Г I Г d B 0 m r r (99) Для доказательства теоремы рассмотрим ток I, образующий поле B r в окружающем его пространстве и контур Гс выбранным положительным направлением обхода, причем контур Г либо охватывает ток I случай а, либо не охватывает его (случай б, см. рис. 58. В первом случае ток I пересекает поверхность S, натянутую на контур Г, во втором – нет. 5.1.1.1. Случай а. В каждой точке контура Г ток I создает поле B r , которое можно найти, пользуясь законом БиоСавараЛапласа и принципом суперпозиции [ ] ( ) [ ] ( ) ï ï î ï ï í ì = = = ò ò I по I по r r l d I B d B r r l d I B d 3 0 3 0 4 4 r r r r r r r p m p Циркуляция B r по контуру Г определяется в этом случае двойным интегралом потоку и по контуру Г [ ] ò ò ò = ) ( ) ( 3 0 ) ( 4 Г I по Г Г d r r l d I Г d B r r r r r p Воспользуемся свойством смешанного произведения векторов [ ] [ ] r l d Г d Г d r l d r r r r r r = , а также тем, что переменные интегрирования в интегралах пои по "Г" назависимы можно изменить порядок интегрирования Риса) б [ ] [ ] ò ò ò ò = ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 I по Г Г I по r r l d Г d r r l d Г d r r r r r r (100) Рассмотрим геометрический смысл подынтегрального выражения (см. также риса Г d r r – вектор, по модулю равный площади элементарного параллелограмма со сторонами dl и Г направление вектора [ ] l d Г d r r определяется, исходя из свойств векторного произведения 2) скалярное произведение [ ] r r l d Г d r r r × равно площади проекции параллелограмма Г) на плоскость, перпендикулярную вектору r r обозначим через ^ S d ); 3) отношение [ ] 2 r r r l d Г d r r r определяет элементарный телесный угол d W, опирающийся на ^ S d , вершина угла вначале вектора r r Если проинтегрировать (просуммировать) все d W по контуру Г, то получим телесный угол dW, опирающийся на замкнутую "ленту" (см. рис. б) шириной dl и длиной, равной длине дуги Г ò W = W Г При интегрировании в (100) "потоку" происходит суммирование углов dW для всех положений точки А (рис. б) на токе I: p p 4 4 0 ) ( = W = W ò ò d d I по Последний результат легко осмыслить, глядя на рисунок 60. При перемещении "потоку" в процессе интегрирования мы получаем телесный угол, под которым видна поверхность, натянутая на контур Г, изданной точки. Например – из точки А поверхность S видна под небольшим углом ò W = W 1 до току по 1 А d ; – из точки А поверхность S видна под углом W 2 немного меньшим 2 p стерадиан – из точки А – под углом W 3 уже большим, чем 2 p страд.; Риса) б) Рис. 60 – из точки А – под углом W 4 , приближающимся к значению 4 p страд. Итак, если ток пересекает поверхность S, натянутую на контур Г, то I I Г d B 0 0 4 4 m p p m = × = ò r r 5.1.1.2. Случай б. Повторяя рассуждения случая а для контура Г, не охватывающего ток I, легко получить, что см. также рис. 61) 0 = ò Г d B r r Замечание Результаты полученные выше почти очевидны, если помнить, что мы изучаем магнитное поле постоянного тока. Это значит, что линия тока I – это либо приходящая из бесконечности и уходящая в бесконечность кривая (или прямая, либо замкнутая кривая. Качественная зависимость угла W, под которым видна поверхность S при прохождении по всему замкнутому току для случаев, когда контур Г охватывает и не охватывает ток приведена на рис. 62. В первом случае каждое прохождение потоку дает значение для W, равное 4 p , во втором – W колеблется в небольших пределах около нуля, возвращаясь к одному и тому же значению после каждого прохождения. 5.2. Применения теоремы о циркуляции B r 5.2.1. Поле бесконечного прямого тока. Из соображений симметрии итого факта, что силовые линии поля B r должны быть замкнутыми кривыми, делаем вывод, что линии B r – это концентрические окружности с осью симметрии, совпадающей стоком (рис. 63). Выбираем одну из силовых линий – окружность с радиусом r (произвольным) в качестве контура Г. В этом случае Г Г d B = r r , причем В имеет одно и тоже значение во всех точках контура Г. Для циркуляции B r имеем Рис. 61 Рис. 62 Рис. 63 r B Г B Г Г d B p 2 × = = = ò ò ò r r , так как ò Г – это просто длинна окружности радиуса r. По теореме о циркуляции I B r 0 2 m p = × или r I B p m 2 0 = (101) Формула (101) позволяет рассчитать индукцию B на любом расстоянии от прямого тока, а как направлен вектор B r в любой точке мы уже знаем (по касательной к силовой линии. 5.2.2. Поле длинного прямого соленоида. Соленоид представляет собой катушку, намотанную тонким проводом по винтовой линии на цилиндрической поверхности. Сечение такой катушки показано на рис. 64. Как показывает опыт, поле B r вне объема, охватываемого витками, быстро падает с увеличением длины катушки, поэтому для длинного соленоида (длина много больше диаметра витков намотки) можно с достаточной точностью считать поле вне соленоида равным 0. На всех участках контура Г кроме участка ab скалярное произведение Г d B r r равно нулю – вне катушки потому, что там 0 = B ; – на отрезках ab и bc потому, что на них элементы Г d r перпендикулярны B r Следовательно, l B ГС другой стороны, натянутую на Г поверхность пересекают N витков катушки, по которым в данном направлении протекает суммарный ток NI. Тогда по теореме о циркуляции B r : NI Bl 0 m = , или nI B 0 m = , где l N n = – число витков, приходящихся на единицу длины катушки (погонная плотность намотки. 5.3. Дифференциальная формат еоремы о циркуляции B r " . Итак, теорема о циркуляции B r гласит I Г d B Г 0 m = ò r r , где I – суммарный ток (алгебраическая сумма токов, охватываемый контуром Г. Если учесть, что ò = Г S S d j I r r , где j r – вектор плотности тока ò Г S S d j r r – поток j r через поверхность Г, натянутую на контур Г. Рис. 64 и воспользоваться теоремой Стокса, то ò ò ò = = Г Г S S S d j dS B Г d B r r r r r 0 rot Объединяя обе части равенства, получим ( ) 0 rot 0 = - ò S d j B Г S r r Так как последний интеграл равен 0 для произвольной поверхности, натянутой на Г, то j B B r r r 0 rot m = ´ Ñ º . (103) Равенство (103) и есть дифференциальная форма "теоремы о циркуляции B r ". 5.4. Сила Ампера. Каждый заряд, движущийся по проводнику, находящемуся в магнитном поле, испытывает действие силы Лоренца [ ] B V q F Л r r r = Векторная сумма сил Лоренца, действующих на все движущиеся заряды в элементе объема проводника dl S dV × = см. рис. 65), дает результирующую силу, действующую на элемент длины проводника dl стоком, находящегося в магнитном поле B, – силу Ампера. 5.4.1. Число зарядов (носителей заряда) N, находящихся в объеме dV проводника, Sdl n dV n N × = × = , где n – концентрация носителей. Тогда результирующую силу, действующую на объем тонкого проводника dV, можно найти по формуле [ ] [ ] [ ] dV B j dV B V qn ndV B V q F d r r r r r r r = = × = , . (104) Здесь j r – плотность тока (см. (21)). Так как в тонком проводнике дрейфовая скорость носителей направлена вдоль оси проводника, то есть V r параллельна l d r , то [ ] B l d S qvn F d r r r × = (105) Если при этом учесть, что I S j S nV q = × = × × , то формулу (105) для силы Ампера можно записать в виде [ ] B l d I F d r r r = (106) 5.4.2. Если стоит задача – определить силу, действующую на отрезок l прямого провода стоком, находящегося в однородном магнитном поле B r , то (см. рис. 66) эту силу можно найти по формуле sin IlB F A = Действительно, в силу принципа суперпозиции ò = ) ( l по A F d F r r Рис. 65 Рис. 66 Но так как I и B r постоянные параметры, то [ ] B l I B l d I F d F l по l по A r r r r r r = ú ú û ù ê ê ë é = = ò ò , ) ( ) ( , где l r – вектор, длина которого равна l, а направление совпадает с направлением протекания тока (с направлением оси проводника. Величина силы A F r : a sin IlB F F A A = º r , где a – угол между линиями поля B r и осью проводника вектором l r ). 5.5. Контур стоком в магнитном поле. 5.5.1. Сила, действующая на контур стоком. Силу, действующую на контур стоком в магнитном поле, можно определить в соответствии си принципом суперпозиции [ ] ò = B l d I F r r r , (107) где интегрирование производится по всему замкнутому контуру. В частном случае однородного поля const B = r : [ ] 0 , = = ò B l d I F r r r , так как 0 = ò l d r , ведь это – сумма элементарных векторов l d r , образующих замкнутый контур. 5.5.2. Момент сил, действующих на контур стоком в магнитном поле. Рассмотрим простой случай плоского квадратного контура стоком (см. рис. 67), помещенного в однородное магнитное поле B r . Найдем силы Ампера, действующие на стороны контура sin 14 23 B a I F F × × = = При выбранной ориентации контура (стороны "12" и "34" перпендикулярны B r , стороны "14" и "23" образуют угол с линиями B r ) только силы 34 F r и 12 F r могут привести к повороту контура (относительно оси z–z) (см. рис. 68). Силы 14 F r и 23 F r , действующие вдоль оси контура, равны по величине и проводят лишь к попытке растянуть контур. Механический момент действующих на контур сил 12 F r и 34 F r определяется известным из механики соотношением (момент силы – сила´плечо): a a a cos cos cos 2 12 B Ia a IaB a F M × = × = × = Если ввести в рассмотрение угол b (см. рис. 68) – угол между положительной нормалью n r к контуру стоком (определяется правилом буравчика) и полем B r , то b sin 2 B Ia M × = (107) Структура выражения (107) соответствует определению модуля векторного произведения векторов m P r и B r , где n a I P m r r × × = 2 – так называемый магнитный момент контура. Рис. 67 Рис. 68 Заметим, что величина (модуль) m P r равна произведению тока I, протекающего по контуру на площадь, ограниченную контуром, 2 a S = . Итак, момент сил, действующий на контур [ ] B P M m r r r = (108) Формула (108), полученная нами для частного случая квадратного контура, справедлива для всех плоских контуров, находящихся в однородном магнитном поле. 5.5.3. Элементарный контур стоком. Для дальнейшего рассмотрения особый интерес представляет так называемый элементарный контур стоком плоский контур с размерами много меньшими, чем расстояния, на которых заметно меняется поле B r . В этом случае B r для расчета момента сил можно считать постоянным в пределах контура. При этом формула [ ] B P M m r r r = может быть применена ив неоднородном поле – просто B r берется для той точки, где расположен элементарный контур. 5.5.4. Работа при повороте контура стоком в однородном поле B r Магнитные силы, создающие момент M r , стремятся повернуть контур стоком. Существует, однако, положение устойчивого равновесия для контура, при котором 0 = M из формулы b sin B P M m = следует, что это положение соответствует углу 0 = b , то есть такому положению, когда m P r параллелен B r ). Чтобы повернуть контур из положения устойчивого равновесия, нужно совершить работу против магнитных сил (сил Ампера. Найдем работу, необходимую для поворота контура на угол j . Элементарная работа A d ¢ , совершаемая при повороте на бесконечно малый угол b d : b d M A d ¢ = ¢ , где M ¢ – момент внешних сил, направленный против M – момента сил Ампера, ив точности равный ему по величине. Работа при повороте на угол j : 0 cos cos sin 0 0 B P B P d B P A m m m + j - = = ¢ ò j j ¸ b Видно, что работа определяется только начальным (при 0 = b ) и конечным (при j = b ) положениями контура в поле. Это приводит нас к выводу, что находящейся в магнитном поле контур стоком обладает потенциальной энергией cos B P U m - = В нашем примере B P U m начальное - = – энергия начального положения, j - = cos B P U m конечное – энергия конечного положения, начальное конечное U U A - = ¢ – работа внешних сил, конечное начальное U U A - = – работа сил поля, причем A A - = ¢ 5.5.5. Для элементарного контура формулой для энергии магнитного момента m P r в поле B r B P B P U m m r r × - = - = b cos (109) можно пользоваться ив случае неоднородного поля, причем не только для расчетов работы при переориентации m P r , но и при перемещении m P r в неоднородном поле Пример Определить работу по перемещению элементарного контура стоком (магнитный момент – m P r ) из области поля, где 1 B B = , в область, где 2 B B = . При перемещении контур поворачивается из положения устойчивого равновесия на 90° относительно оси, перпендикулярной полю (см. рис. 69). Решение Энергия момента m P r в начальном положении 1 1 B P U m × - = Энергия m P r в конечном положении 0 2 cos 2 2 = ÷ ø ö ç è æ × × - = p B P U m Работа внешних сил 1 1 2 B P U U A m = - = ¢ Работа сил поля 1 B P A A m - = ¢ - = 5.6. Магнитное поле в веществе. При помещении в магнитное поле 0 B r какоголибо вещества магнитное поле изменяется вспомним, что при помещении вещества в электрическое поле последнее тоже изменялось. Это означает, что любое вещество является магнетиком, то есть при действии на него магнитным полем меняет свои свойства – намагничивается, приобретает магнитный момент. Этот магнитный момент создает собственное магнитное поле, которое, складываясь с внешним полем 0 B r по принципу суперпозиции, формирует результирующее поле B r |