Математические модели. Замена переменных приводит дифференциальные уравнения к виду
 Скачать 0.75 Mb.
|
|
Модель «хищник-жертва» Вольтерра-Лотки, учитывающая насыщение хищника и конкуренцию жертвы за источники питания и жизни, имеет вид:  Параметр A учитывает насыщение хищника, а параметр  учитывает ограниченность ресурсов для размножения жертвы.Замена переменных  приводит дифференциальные уравнения к виду: Параметр  , а параметр  . Параметр  изменяет отображаемую фазовую траекторию модели, но не изменяет её фазовый портрет.Точки покоя находятся из системы уравнений:  Данная система имеет три решения:  ; 2)  ; 3)   Рисунок 1 - Фазовая траектория модели На Рисунке 1 изображена фазовая траектория модели при параметрах  и  . Видно, что в данном случае хищник гибнет, а жертва остается в количестве, равном  . В случае других значений параметра  количество оставшихся жертв изменяется, продолжая выполнять равенство. Это подтверждают и графики на Рисунке 2. Рисунок 2 - Графики численности хищников и жертв относительно времени  Рисунок 3 - Фазовая траектория модели На Рисунке 2 изображена фазовая траектория модели при параметрах  и  . Видно, что в данном случае хищник не погибает, достигая с жертвой равновесного сосуществования. Это подтверждают и графики на Рисунке 4. Рисунок 4 - Графики численности хищников и жертв относительно времени  Рисунок 5 - Фазовая траектория модели На Рисунке 3 изображена фазовая траектория модели при параметрах  и . В данном случае равновесное сосуществование хищника и жертвы нарушается, вместо этого приобретая автоколебательный характер. Это подтверждают и графики на Рисунке 6. Рисунок 6 - Графики численности хищников и жертв относительно времени Линеаризация в окрестности точек покоя:  Характеристическое уравнение данной модели имеет вид:  Для точки покоя  оно приобретает вид: Корнями в данном случае являются  . Для точки покоя оно приобретает вид: Корнями в данном случае являются  .Корень  может менять знак при изменении параметров и , что влияет на тип особой точки. Для определения граничных значений и нужно решить уравнение  . При  корень  имеет отрицательный знак, а при  – положительный.Для точки покоя оно приобретает вид: Корнями в данном случае являются  , где  .Действительная часть корней может менять свой знак при различных значениях и , что влияет на тип особой точки.  при  . При  ,  приобретает отрицательный знак, а при  – положительный. После уточнения фазовых траекторий модели при различных значениях параметров и становится ясно, что модель изменяет свое поведение при пересечении прямой  и при пересечении кривой  .  Рисунок 7 - Параметрический портрет модели Критерий Бендиксона отсутствия предельных циклов:  нарушается только в окрестности кривой , что указывает на наличие в этой окрестности предельного цикла.В соответствии с теорией бифуркаций, при переходе из равновесной зоны в автоколебательную должно рождаться либо устойчивое периодическое движение от третьего состояния равновесия, либо неустойчивое периодическое движение должно исчезать, влипая в него.  Рисунок 8 - Фазовая траектория модели  Рисунок 9 - Фазовая траектория модели На Рисунках 8 и 9 отображены фазовые траектории нелинеаризованной модели при значениях и , соответствующих графику граничной кривой . Как видно, при этих значениях рождается устойчивое периодическое движение от третьего состояния равновесия. Рисунок 10 - Фазовый портрет модели На Рисунке 10 изображен фазовый портрет модели при параметрах и приближающихся к граничной кривой . Предельным циклом выступает траектория Y1. Как видно, все фазовые траектории с течением времени удаляются от предельного цикла. Такое поведение соответствует неустойчивому предельному циклу. Рисунок 11 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 11 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя . Как видно, фазовый портрет соответствует точке покоя типа «устойчивый фокус». Рисунок 12 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 12 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя . Как видно, фазовый портрет соответствует точке покоя типа «неустойчивый фокус». Рисунок 13 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 13 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя . Как видно, фазовый портрет соответствует точке покоя типа «устойчивый узел». Рисунок 14 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 14 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя . Как видно, фазовый портрет в окрестности точки покоя соответствует точке покоя типа «седло». Рисунок 15 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 15 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя  . Как видно, фазовый портрет в окрестности точки покоя соответствует точке покоя типа «седло». Рисунок 16 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 16 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя . Как видно, фазовый портрет в окрестности точки покоя соответствует точке покоя типа «седло». Рисунок 17 - Фазовый портрет системы первого приближения На Рисунке 17 изображен фазовый портрет линеаризованной модели при  для точки покоя . Видно, что в данном случае хищник гибнет, а жертва остается в количестве, равном  . В случае других значений параметра количество оставшихся жертв изменяется, продолжая выполнять равенство. Фазовый портрет в окрестности точки покоя соответствует точке покоя типа «седло». |