Занятие 10 Обработка результатов прямых многократных измерений при боль

• Название: Занятие 10 Обработка результатов прямых многократных измерений при боль
• Дата: 14.09.2021
• Размер: 77.89 Kb.
• Имя файла: PZ_10_Obrabotka_rezultatov_pryamykh_mnogokratnykh_izmereniy_pri_.docx
• Тип: Занятие; #232293
• страница: 3 из 4

  ^4

_4

^{ 4} . (19)

_S4

В нашем случае

₄ =12,547 / 1,581⁴ – 3 = –0,643

 = 12,547 / 1,581⁴ = 3,67.

Эксцесс распределения может иметь значения от 1 до ∞. Коэффициент эксцесса для менее протяженных распределений (треугольного, равномерного, арксинусоидального) – отрицателен (от – 2 до 0), а для более протяженных, чем нормальное, – положителен (от 0 до ∞). Для классификации распределений по их форме удобнее использовать другую функцию от эксцесса – контрэксцесс:

Для нашего случая

k_э =1/

k_э = 1/



. (20)
= 0,52.

Контрэксцесс изменяется для любых распределений лишь в пределах от 0 до 1.

Таким образом, получены все основные характеристики эмпирического распределения погрешности измерения.

4. Проверка результатов измерений на наличие грубых погрешностей

Проверяем аномальность результатов наблюдений (наличие выпадающих

точек). Для этого берем крайние точки выборки и определяются отношения:

U₁ 

X X_{1 ;}

S

U_n


^{Xn X}. (21)

S

Результаты сравниваем с величиной в нашем случае, для единого объема выборки n = 100 и принятой вероятности  = 1 – Р = 0,05, принимаем h = 3,28. Если U h , точку исключаем и проверяем следующую и т.д. По новой выборке заново проводим все расчеты по формулам (31)...(50).

Для нашего случая

U₁= (100 – 97,06)/1,581 = 2,7 < h= 3,28;

U₁₀₀=(103,06 – 100) / 1,581 = 2,3 <h=3,28,

т.е. все точки приняты.

5. Подбор теоретического закона распределения

1. 
   Построение эмпирического распределения погрешности
   

Для нашего примера, по данным таблицы 3, построим гистограмму и по- лигон для наглядного представления формы закона распределения погрешно- стей (рис. 1).

По оси абсцисс в масштабе откладываем m классов в размерности изме- ряемой величины: 7 классов через 1 Н. По оси ординат откладываем частоты, причем за максимальное значение принимаем немного большее целое значение, чем наибольшая частота. Для нашего примера n_jmax = n₄= 27, поэтому по оси ординат будем откладывать цифры от 0 до 30. Отношение масштабов между осями (с учетом правила «золотого сечения») равно n_jmax / R  5/8, т.е. длина наибольшей ординаты в 5/8 раза короче глины наибольшей абсциссы.

Гистограмму строят так. Над каждым классом (интервалом) по оси абс- цисс строят прямоугольник (площадь которого пропорциональна частоте N_j) и отсекают его по оси ординат в соответствии с частотой в этом классе n_j(рис. 1). Гистограмму можно расположить симметрично, т.е. перенести некоторое число отсчетов из данного столбца в симметричный с ним столбец. Это упро- щает расчеты в 1,5…2 раза. Именно поэтому m будет нечетным, т.е. центром симметрии является центральный столбец.

Полигон – есть ломаная линия, построенная по точкам середин классов. Концы полигона или отсекают по Х_minи Х_max, или соединяют с осью абсцисс в серединах положения (от нуля и m+ 1) классов (рис. 1).

2. 
   Идентификация закона распределения методом моментов
   

Имея значения k_э,  и вид эмпирического распределения (рис. 1), можно подобрать теоретический закон распределения. Для этого пользуются таблицей 4.

nj ₃₀

25

20

15

10

5

0

97,06 98,06 99,06 100,06 101,06 102,06 103,06 ^{Х, А}
Рис. 1. Распределениепогрешностей:

1 – гистограмма эмпирического распределения; 2 – полигон эмпирического рас-пределения;3–теоретическаякриваяраспределения
Таблица 4

Значения асимметрии, эксцесса и контрэксцессадлязаконовраспределения

Наименование закона распределения	Асимметрия γ3	Эксцесс ε	Контрэксцесс kЭ
Нормальный	0	3	0,577
Треугольный (Симпсона)	0	2,4	0,645
Равномерный	0	1,8	0,745
Арксинусный	0	1,5	0,816

В нашем случае при k_э= 0,62,  = 2,57 подходит как нормальное, так и распределение Симпсона. Более точную оценку может дать только использова- ние критериев согласия.

3. 
   Идентификация закона распределения при помощи критерия согласия Существует три основных критерия согласия:
   

² (омега квадрат) Мизеса–Смирнова – мощный критерий, но сложный в расчетах;

² (хи квадрат) Пирсона – достаточно достоверный при n> 50 и m> 5;

D(ди) Колмогорова–Смирнова – быстрая, но не очень точная оценка при

n > 35.

В дальнейшем будем использовать критерий ². С целью определения

дифференциальной функции распределения и сравнения ее с эмпирическим распределением для экспоненциальных законов определяем сначала квантиль tдля каждого класса и заносим в таблицу 3

t_j

X_j XS

. (22)

Далее определяем теоретическую дифференциальную функцию распре- деления для каждого класса по формуле

нормальное распределение

^{ 1}t^{2 }

j
распределение Лапласа

Р*t

₁ 

_e 2



_j

^ ; (23)

j
Р*t e

2
. (24)

Дифференциальную функцию, вычисленную по формулам (23) и (24) для экспоненциальных распределений, необходимо привести к выборке, поэтому определим для всех классов и заполним таблицу 3:

Р_j ( X

)  Р^* (t) ^d


j

j

j
S
. (25)

Для закона распределения Симпсона

⁰ при Х_i Х₁;


i 1
4Х Х

Х Х

Р(Х) =

Х  Х 2


2

1
 

при Х₁ < Х_i<

2 1 _;

2

(26)

4 Х₂  Х₁

Х Х

2

1
X X2

при

2 1

2

< Х_i< Х₂;

⁰ при Х_i Х₂.

За Х₁ и Х₂ примем точки пересечения с осью абсцисс полигона, т.е. Х₁ = 96,02 Н; Х₂ = 104,02 Н. Вместо Х подставим поочередно Х_jв функцию Р(Х) и определим P_j(X_j), заполним строку таблицы 3.

После расчета функции P_j(X_j) для всех законов распределения определяем теоретическую частоту для всех классов и заполняем таблицу 3:


j

j

j
^{Ε PXn}. (27)

Определяем величину ²:

m
²  _^E

j 1

_j n_j


2
n_j
. (28)

Для удобства расчета поэлементно сводим всё в таблицу 3. Находим, что для нормального распределения ² = 0,608, распределения Лапласа ² = 38,756, а для распределения Симпсона ² = 10,545. Чем меньше ², тем больше подхо- дит распределение.

Далее определяем число степеней свободы эмпирического ряда:

 = m–1 –r, (29)

где r – число определенных по выборке параметров, необходимых для совме- щения гистограммы и теоретического распределения.

Для экспоненциальных распределений это X и S (т.е. r = 2), для тре- угольного и равномерного X,  (т.е. r= 2). Тогда в нашем примере

 = 7 – 3 = 4.

По таблице П 5 (приложение), в соответствии с значением , определяем строку и по строке смотрим, какая из цифр  наиболее близка к значению ² , определяем столбец и вероятность согласия эмпирического и теоретического распределений. Таким образом, вероятность согласия для нормального закона распределения Р  0,95; Лапласа P = 0; Симпсона P = 0. Наиболее подходящим из анализируемых распределений является нормальное распределение (ЗНР), поэтому именно его (Е_j) наносим на рисунок 1.

6. Определение погрешности измерений

Сначала определяют границы доверительного интервала случайной по-грешности измерений:

где t_Р–квантиль распределения.



^Р^{ tРS}_{X, (30)}

Для нормального распределения, если n> 30 при Р=0,9 t_0,9 = 1,64, при

Р= 0,95 t_0,95 = 1,96, при Р=0,99 t_0,99 = 2,58. Для распределения Лапласа при Р

=0,99 t_0,9 = 1,38, при Р=0,95 t_0,95= 1,87. Для распределения Симпсона –



  2,4S_Х.

В нашем примере



^0,95 ^{ 1,96  0,1581  0,5748}А.

Далее определяем доверительныеграницынеисключеннойсистематиче-скойпогрешности.

В качестве границ неисключенной систематической погрешности прини- маем погрешности изготовления меры  = ± 0,9 А.

Доверительные границы суммарнойпогрешностирезультатаизмерения


Х
зависят от соотношения   S:


S

Х
если   < 0,8, то границы погрешности результата измерения прини-



маются равными случайной погрешности, _Σ =  ;

Х
если  

S > 8, то границы погрешности результата измерения принима-

ются равными систематической погрешности, _Σ = ;


Х
если 0,8    S  8, то общую погрешность измерения определяют по

формуле
_Σ = K S_, (31)



где К– коэффициент, зависящий от соотношения марного СКО результата измерений;

 и ; S_ – оценка сум-




S


^KΔθ ; (32)

X

S_ 
. (33)

Х
Для нашего примера   S= 0,9 / 0,1581 = 5,69, тогда

К= (0,2771 + 0,9) / (0,1581 + 0,9 ²/3) = 2,63;

S_ 

= 0,35 А;

_Σ = 2,63 ∙ 0,35 = 1,84 А.

Результат измерения записываем в виде

Q= Х _Σ, при Р= …, n =.. (34)

А= (100,0  1,8) Н, при Р= 0,95 %; n = 100.

7. Определение числа измерений для частичного и полного исключения случайной погрешности

S

Х
При использовании однократного наблюдения (n= 1) = 1,42 А, тогда


Х
  S= 0,9/1,414 = 0,63, т.е. на результат однократного измерения оказывает

влияние случайная погрешность деляем следующим образом:

для частичного исключения



 . Число измерений для исключения
_ 0,8S_ 2



 опре-

для полного исключения

n_ч  _