Занятие 10 Обработка результатов прямых многократных измерений при боль

Название	Занятие 10 Обработка результатов прямых многократных измерений при боль
Дата	14.09.2021
Размер	77.89 Kb.
Формат файла
Имя файла	PZ_10_Obrabotka_rezultatov_pryamykh_mnogokratnykh_izmereniy_pri_.docx
Тип	Занятие #232293
страница	1 из 4

1 2 3 4

Практическое занятие № 10

Обработка результатов прямых многократных измерений при боль-
шом числе наблюдений

Вариант-19

Рассмотрим применение методики на примере. При проведении по- верки рабочего средства измерений проводили прямые многократные измере- ния образцовой величины Zв количестве n = 100 раз. Действительное значение измеряемой величины усиливалось в К раз, поэтому при ее определении требу- ется корректировка на величину множителя . Доверительная вероятность рас- четов Р= 0,95

Исходные данные приведены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1

Показатель

Значения

Образцовая величина Z

20

Погрешность образцовой величины

±0,02

Единица измерения

А

Множитель к показанию прибора 

0,2

Таблица 2

Показания прибора при поверке

Количество повторения показания прибора

97

5

98

13

99

19

100

29

101

17

102

14

103

3

Полученные данные располагают в порядке возрастания, т.е. записывает- ся вариационныйряд: 97, 97, 97, 97, 97, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 98, 99,99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99,99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99,99, 99, 99, 99, 100, 100, 100,100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100,100, 100, 100, 100,100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 101, 101, 101, 101, 101, 101, 101,101, 101,102, 102, 102, 102, 102, 102 102, 102, 102 102, 102, 102 .102, 102, 103,103,103 А.

Определение систематической погрешности

В общем случае, если известна величина Z, воздействующая на прибор, с точностью в три и более раз превышающей точность самого прибора (напри- мер, образцовая, эталонная), то систематическую погрешность определяем по формуле

  Х Z, (1)

где Х– среднее арифметическое значение неисправленного ряда наблюдений, Н.

Среднее арифметическое значение неисправленного ряда наблюдений

определяем по формуле



i
Х ¹n X

ⁿi 1
, (2)

В нашем случае значение неисправленного ряда наблюдений:

Х= ( 975 + 98  13 + 99  19 + 100 29 + 101 17 + 102  14+103)/100 =

= 99,94 А.

Тогда систематическая погрешность

 =99,94 – 100 =–0,06 А.

Систематическая погрешность должна быть исключена из результатов измерений путем введения поправки, равной θ = –0,06 А.

После введения поправки получается исправленный ряд значений Х_иi: 97,06; 97,06; 97,06; 97,06; 97,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 98,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 99,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06; 100,06;101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06; 101,06;102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 102,06; 103,06; 103,06; 103,06 А.

Построение укрупненного статистического ряда

Для удобства обработки результатов наблюдений построим укрупненный статистический ряд.

Определяем областьизмененияпризнака (размах выборки):

R =Х_max–Х_min, (3)

где Х_maxи Х_min–наибольшее и наименьшее показания прибора при измерениях.

Для нашего примера

R= 103,06 – 97,06 = 6 А.

Определяем числоклассов(интервалов) укрупненного статистического ряда m:

Для нашего примера

m_min= 0,55 ∙ n ^0,4; (4)

m_тах= 1,25 ∙ n^0,4. (5)

m_min= 0,55 ∙ 100 ^0,4 = 3,47;

m_тах=1,25 ∙ 100 ^0,4 = 7,88.

Рекомендуется брать нечетное число интервалов и не менее 5-ти. Примем m= 7. Определяем ширинукласса(интервал):

^d^^R, при условии dm  R. (6)

m

Значение dокругляем в большую сторону со значащими цифрами, как и у выборки (или в два раза точнее). В нашем случае точность оценки d может быть 1,0 и 0,5 Н (примем 0,5). Тогда:

d=6/7 = 0,8, примем d = 1,0 А.

Строим таблицу укрупненного статистического ряда (табл. 12). В первой строке таблицы записываем номера классов укрупненного ряда 1...j…m. Во второй строке располагаем наибольшие и наименьшие значения результатов наблюдений для каждого класса. Наименьшее значение первого класса прирав- ниваем к наименьшему значению выборки: X_1min X_min(примем X_1min= 96,52 Н, чтобы величина 97,02 стала серединой класса); наибольшее значение первого класса получается так: X_1min+ d = X_1max. Для всех классов последовательность выбора повторяем: X_2min = X_1mахи X_2max= X_2min +d; X_3min = X_2mахи X_3max= X_3min

+ d;X_4min = X_3mахи X_4max= X_4min + dи т.д.

Частота n_jв j-м классе – это попавшие в интервал X_jminX _iX _jmахзна- чения X_iвыборки 1...i...n.Для первого класса, исходя из вышеуказанного, X_1min

m

 X_i X_1mах. В нашем случае из вариационного ряда видно, что в класс 96,52...97,52 Н четыре раза попадают значения 97,02 Н, в класс 97,52...98,52 одиннадцать раз – 98,02 и т.д. Заполняется пятая строка таблицы 12. При этом сумма частот

^ⁿ^j^ⁿ. (7)

j 1

В нашем случае: 4 + 11 + 22 + 27 + 22 + 10 + 4 = 100.

ОтносительнуючастотуN_jзаписываем в шестой строке таблицы 2.3 и определяем так:

поэтому

m

 ^N_j^¹^,⁰⁰^.

j1

N  ⁿ^j, (8)

j _n

Таблица 3

Параметры статистического ряда,эмпирическогоитеоретическогораспределений

Номер класса m

1

2

3

4

5

6

7



Границы класса

^Хjmin

96,56

97,56

98,56

99,56

100,56

101,56

102,56

–

^Хjmах

97,56

98,56

99,56

100,56

101,56

102,56

103,56

–

Средняя точка класса Х_j

97,06

98,06

99,06

100,06

101,06

102,06

103,06

–

Частота n_j

5,000

13,000

19,000

29,000

17,000

14,000

3,000

100,000

Относительная

частота N_j

0,050

0,130

0,190

0,290

0,170

0,140

0,030

1,000

(Х_j–Х)

–2,94

–1,94

–0,94

0,06

1,06

2,06

3,06

–

N_j(Х_j–Х)²

0,375

0,381

0,267

0,000

0,257

0,398

0,374

2,000

N_j(Х_j–Х)³

–1,076

–0,937

–0,306

0,000

0,360

0,748

1,284

0,060

N_j(Х_j–Х)⁴

4,643

1,456

0,230

0,000

0,345

2,655

3,653

11,464

t_j

2,643

1,543

0,643

0,016

0,678

1,755

2,644

–

Нормальное распределение

P(t_j)

0,064

0,765

0,447

0,654

0,754

0,764

0,075

–

P_j=(d/s)P(t_j)

0,054

0,108

0,432

0,292

0,754

0,755

0,076

–

E_j= P_j n

3,765

11,754

24,187

25,654

23,860

12,765

2,876

–

|(E_j– n_j)|

0,865

0,665

0,744

1,439

0,670

0,654

1,745

–

(E_j–n_j)²/n_j

0,746

0,065

0,006

0,065

0,007

0,004

0,754

0,643

Распределение Лапласа

P(t_j)

0,003

0,067

0,646

0,406

0,654

0,075

0,008

–

P_j=(d/s)P(t_j)

0,005

0,075

0,756

0,800

0,460

0,064

0,005

–

E_j= P_jn

0,075

4,546

24,865

34,765

22,635

3,754

0,087

–

|(E_j– n_j)|

6,647

7,647

3,446

26,465

2,076

7,454

4,646

–

(E_j–n_j)²/n_j

3,546

5,648

0,774

17,675

0,546

5,745

2,656

35,546

Распреде-

ление Симпсона

P_j=(d/s)P(t_j)

0,064

0,546

0,645

0,766

0,454

0,075

0,045

–

E_j= P_jn

2,676

12,567

22,656

13,546

12,430

7,640

3,456

–

|(E_j–n_j)|

0,464

5,464

2,575

12,565

6,460

2,550

0,750

–

(E_j–n_j)²/n_j

0,046

2,075

0,754

4,757

4,754

0,245

0,046

12,643

Определение статистических характеристик рассеяния измерений

Далее определяем выборочное среднее арифметическое* (точечная оцен- ка первого центрального момента выборки ₁ или математического ожидания M(X)):

Х ¹n X  ¹

m m

X n  XN

n

m
^i

i 1

^j j

j 1

^j

j 1

_j. (9)

В нашем случае после введения поправки выборочное среднее арифмети- ческое для исправленного ряда наблюдений должно быть равно Z:

Х 97,06  0,05 98,06  0,13 99,06  0,19 100,06  0,29 101,06 0,17 102,06  0,14 

103,06  0,03  100 А.

(10)

МодаМ_ов выборке – значение, которому соответствует максимум часто- ты. В нашем случае М_о= Х_j₌ ₄ = 100,02 Н (см. табл. 3).

^{Медиана}

^в^{выборке}^–^{результат}^{наблюдения}^–^{среднее}^место^в^вариа-

ционном ряду. Обычно медиана определяется так:

 _Х_ⁿ^¹_ _ ₂ _  ^Х^^_n__n2 _ _^Х ₂ ^^Х ₂ _    ^2	– для n – нечетных чисел;
	(11)
	– для n – четных чисел.

В нашем случае n/ 2 = 50; (n+ 2) / 2 = 51; по вариационному ряду



^50 ^^51

1 2 3 4