Лекция №1. Занятие №2. Занятие 2 ( Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика) Раздел Линейная алгебра Тема Матрицы, определители Умножение матриц, возведение в степень. Умножение матриц
![]()
|
Занятие №2 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)Раздел 1. Линейная алгебраТема 1.1. Матрицы, определители Умножение матриц, возведение в степень. 3. Умножение матриц : ![]() Д ![]() Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Таким образом, если порядок матрицы A равен m × p , то порядок согласованной с ней матрицы B должен быть равен p × n. Перемножать можно только согласованные матрицы (отметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы). Произведением двух согласованных матриц A (размера m × p) и B (размера p × n ) называется матрица C (размера m × n) , элементы которой вычисляются по правилу: элемент ![]() ![]() Например, если требуется получить элемент c21, то нужно вторую строку матрицы A "умножить" на первый столбец матрицы B. Рассмотрим конкретные матрицы ![]() ![]() Число столбцов матрицы A и число строк матрицы B равны 2, значит, A и B согласованы, причем матрица А∙В будет размера 3х2 . Тогда по определению произведение этих матриц А∙В вычисляется следующим образом: ![]() Найти в этом случае произведение B∙A невозможно, т.к. матрицы B и A не согласованы. Отсюда следует, что если две матрицы можно перемножить в одном порядке, то это не означает, что их можно перемножать в другом порядке. Можно показать, что в общем случае, даже когда произведения AB и BA определены, они не всегда дают одну и ту же матрицу (даже размерности матриц АВ и ВА могут быть разными). Свойства операции умножения матриц. А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС; k(АВ)=(kА)В = А(kВ), k - некоторое число; А(ВС)=(АВ)С; А · Е =Е·А =А, где Е – единичная матрица. n×n n×n n×n Пример. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это не значит, что вообще не существует двух таких матриц А и В, для которых АВ=ВА. Если для пары матриц А и В это свойство все же выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (или коммутативными). Например, коммутативными будут матрицы А = ![]() ![]() Легко перемножением в том и обратном порядке убедиться, что АВ = ВА = ![]() Можно указать одну особенную матрицу, которая перестановочна с любой квадратной матрицей. Это введенная выше единичная матрица. Легко в общем виде показать, что для любой квадратной матрицы А имеет место: А·Е = Е·А = А . Пример 1. Умножение матрицДано: Матрица ![]() Матрица ![]() Найти: Произведение матриц: A × B = C C — ? Решение: Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Получаем: ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 2. Задание. Вычислить ![]() ![]() ![]() Решение. Так как ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим элементы матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, ![]() Выполним произведения в более компактном виде: ![]() ![]() Найдем теперь произведение ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() ![]() ![]() Пример 3. Найти произведения матриц AB и BA, если ![]() ![]() Р е ш е н и е: Имеем ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 4. Даны матрицы А = ![]() ![]() ![]() AT = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() C = ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 5. Найти произведение матриц А = ![]() ![]() АВ = ![]() ![]() ![]() ВА = ![]() ![]() Пример 6. Найти произведение матриц А= ![]() ![]() АВ = ![]() ![]() ![]() ![]() Домашнее заданиеЛ3, стр. 101-102, 105-108 (Пехлецкий И.Д.) Л4, стр. 63-81, №19; 23; 31; 36 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.) №19 Найти произведение АВ ![]() ![]() №23 Найти 3А*2В, если ![]() ![]() ![]() №31 Найти произведение АВ и ВА Матрица A = Матрица B = №36 Даны матрицы А = ![]() ![]() ![]() Найти АТВ+С. №37 Найти А4 ![]() Решение домашнего задания №19 Найти произведение АВ ![]() ![]() Решение: Есть 2 матрицы: А (2 × 3) и В (3 × 2). Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (2 × 2). Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (2 × 2). С 11 = (2) × (1) + (1) × (2) + (0) × (2) = 4 С 12 = (2) × (2) + (1) × (1) + (0) × (2) = 5 С 21 = (3) × (1) + (1) × (2) + (1) × (2) = 7 С 22 = (3) × (2) + (1) × (1) + (1) × (2) = 9 Ответ.
№23 Найти 3А*2В, если ![]() ![]() ![]() Решение. Есть 2 матрицы: А (2 × 3) и В (3 × 2). Следовательно в результате умножения этих двух матриц получится матрица: С (2 × 2). Рассчитаем по правилу умножения матриц коэффициенты новой матрицы: С (2 × 2). С 11 = (6) × (-2) + (-3) × (4) + (0) × (-6) = -24 С 12 = (6) × (4) + (-3) × (0) + (0) × (2) = 24 С 21 = (9) × (-2) + (6) × (4) + (3) × (-6) = -12 С 22 = (9) × (4) + (6) × (0) + (3) × (2) = 42 Ответ.
№31. В итоге получаем матрицу AxB -- Ответ В итоге получаем матрицу B xA = ![]() №36 Даны матрицы А = ![]() ![]() ![]() Найти АТВ+С. Ответ: AT = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() C = ![]() АТВ+С = ![]() ![]() ![]() №37 ![]() ![]() |