Прак. Занятие 3 Вычисление углов, площадей и объемов. Вычисление углов

• Название: Занятие 3 Вычисление углов, площадей и объемов. Вычисление углов
• Дата: 20.01.2022
• Размер: 129.27 Kb.
• Имя файла: -1112_No3___S_V.docx
• Тип: Занятие; #336859

Практическое занятие №3

Вычисление углов, площадей и объемов.
Вычисление углов.

Вычисление углов основано на формуле угла между векторами и : .




Скалярное произведение векторов и равно

.

Модуль (длина) вектора равна

.

Задача 1. Найти угол между векторами и .

Решение. Пусть – угол между векторами и :




Тогда





Задача 2. В треугольнике с вершинами , , найти угол .

Решение.









Неизвестный угол есть угол между векторами



и .

Тогда

,

.

Вычисление площадей.

Вычисление площадей основано на формуле площади параллелограмма, построенного на векторах и :
– модуль векторного произведения.





Векторное произведение векторов и равно

.

Площадь треугольника, построенного на векторах и




.



Пример. Найти векторное произведение векторов и .

Решение.

.

Определитель можно найти по правилу треугольников:



.

Однако часто такой определитель находят путём разложения по первой строке:

,



.
Задача 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Найдём координаты векторов: , . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , можно найти по формуле

.






Сначала найдём векторное произведение



.
Тогда .

Задача 2. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

Решение.






Треугольник построен на векторах



и .

Тогда площадь этого треугольника можно найти по готовой формуле

.

Найдем векторное произведение и его модуль



,

.

Тогда .

Вычисление объемов.

Вычисление объемов основано на формуле объема параллелепипеда, построенного на векторах , , :



– модуль смешанного произведения.










Смешанное произведение векторов , , равно

.

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , ,
.






Задача 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение. Найдём координаты векторов: , , . Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , можно найти по формуле

.















Найдем смешанное произведение

.

Тогда .

Задача 2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами , , , .

Решение.



.










Данная пирамида построена на векторах

,

,

.

Тогда объем этой пирамиды можно найти по готовой формуле

.

Найдем смешанное произведение



.

Тогда .