Задача 1
В координатной плоскости ху задана потенциальная сила  . Найти работу этой силы по перемещению частицы из точки с координатами  в точку с координатами  .
Дано:
 
|
Решение:
Работу потенциальной по перемещению частицы можно определить по формуле:
   
Ответ: 
|
Найти:
|
Задача 2
Груз массой  подвешен на невесомой нерастяжимой нити в поле силы тяжести. Нить с грузом отклонили от вертикали на угол  и отпустили. Найти зависимость от угла силы натяжения нити T в момент прохождения грузом положения равновесия. Построить график этой зависимости в интервале изменения угла от  до  . Найти максимальную силу натяжения T. Ускорение свободного падения  .
Дано:
|
Решение:
Рассмотрим рисунок 1. По закону сохранения полной механической энергии потенциальная энергия отклонённого груза равна кинетической энергии груза в момент прохождения им положения равновесия. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять точку в которой находится груз м момент прохождения положения равновесия.
 
Запишем уравнение второго закона Ньютона для момента прохождения грузом положения равновесия.
|
Найти:
|
Спроектируем векторы сил и ускорения на вертикальную ось х направленную вверх.
 
Где  - центростремительное ускорение.
После подстановки, получаем:
Подставляя значение квадрата скорости груза в момент прохождения им положения равновесия, найденного выше, имеем:
 
Сила натяжения будет максимальной при  ,  .
Подставим численные значения и вычислим:
Построим график зависимости (Рис. 2).
Ответ: 
|
Задача 3
Шар массой  , летящий со скоростью  , сталкивается с неподвижным шаром массой  . После удара шары разлетаются под углом друг к другу. Удар абсолютно упругий, столкновение происходит в горизонтальной плоскости. Найти скорости шаров  и  после удара.
Дано:
|
Решение:
По закону сохранения полной механической энергии, получаем:
   
Рассмотрим рисунок 3. Обозначим векторы импульсов шаров до взаимодействия и против.
Учитывая закон сохранения импульса, после векторного сложения векторов за правилом треугольника, с треугольника векторов по теореме косинусов, имеем:
  
Подставим численные значения и решим систему уравнений:
|
Найти:
|
Задача 4
Тонкий однородный стержень массой  и длиной  может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси o в поле силы тяжести (Рис. 4). Расстояние от верхнего конца стержня до оси вращения  . На стержне жестко закреплены два однородных шара массами  и  и радиусами  и  . В равновесии первый шар находится над осью вращения, второй – под ней. Расстояние от центров шаров до оси вращения  и  соответственно. В центр одного из шаров попадает пуля массой  , летящая горизонтально со скоростью  и застревает в нём. Масса пули много меньше массы шаров. Найти максимальный угол , на который отклонится стержень с шарами после попадания пули. Пулю считать материальной точкой. Ускорение свободного падения .
 Рис. 4.
Дано:
|
Решение:
Применим основное уравнение динамики вращательного движения:
Где I – момент инерции системы,  - модуль углового ускорения системы, М – проекция вектора момента внешней силы на ось вращения.
Вычисляем момент импульса системы:
|
Найти:
|
|
Где  - момент инерции пули относительно оси вращения,  - момент инерции верхней части стержня относительно оси вращения,  - момент инерции нижней части стержня относительно оси вращения,  - момент инерции верхнего шара, с учетом теоремы Штейнера, относительно данной оси вращения,  - момент инерции нижнего шара, с учетом теоремы Штейнера, относительно данной оси вращения.
Тогда:
Перепишем основное уравнение в виде:
 
По закону Ньютона в импульсной форме, имеем:
 
|
После подстановки, получаем:
 
Проинтегрируем это дифференциальное уравнение;
  
После подстановки (3) в (2), получаем:
  
Рассмотрим рисунок 5 и вычислим М – проекция вектора момента внешней силы на ось вращения.
 
После подстановки (5) в (4), получаем:
 
Учитывая, что  в первом приближении (для угла в радианах), получаем:
|
Рис. 5.
Подставим численные значения и произведём вычисления:
Ответ: 
| |
Скачать 173.6 Kb.
