Алгебра 11 класс. Занятия 45-46. Занятие 4546 Понятие объема

• Название: Занятие 4546 Понятие объема
• Анкор: Алгебра 11 класс
• Дата: 09.02.2022
• Размер: 0.73 Mb.
• Имя файла: Занятия 45-46.docx
• Тип: Занятие; #356847

Занятие 45-46

Понятие объема

1. 
   №16. Задачи на доказательство
   

Проверочная работа №3.

2. 
   Понятие объема тела
   

2.1 Метод аналогий: площадь и объем

Понятие площади – аксиоматическое определение!

Каждому многоугольнику ставится в соответствие некоторое число, называемое площадью, которое удовлетворяет следующим требованиям:

- положительность;

- инвариантность (равные фигуры имеют равные площади);

- аддитивностью (если многоугольник есть объединение многоугольников без общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников);

- нормированность (площадь единичного квадрата принимается за единицу).

Далее развиваем понятие на площадь любой плоской фигуры.

Развертки пространственных фигур позволяют также ввести понятие площади поверхности.

Аналогично площади вводится понятие объема.

Кстати, также вводится и понятие длины отрезка!

Задача измерения – это задача соответствия числа и фигуры (при выборе единичной величины).

Понятие монотонности длины, площади, объема.

Равновеликие тела.

Равносоставленные тела имеют равные объемы (обратное не всегда выполняется).

3. 
   Принцип Бонавентура Кавальери
   

https://youtu.be/0xCe6LGWWjU

- Если при пересечении двух плоских фигур прямыми, параллельными одной и той же прямой, в каждом из сечений получаются равные отрезки, то площади этих фигур равны.

Пример Архимеда: площадь круга.

- Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в каждом из сечений получаются равновеликие фигуры, то объемы этих тел равны.





- Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в каждом из сечений получаются фигуры, площади которых относятся как m:n , то объемы этих тел

тоже относятся как m:n.

4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    Объем прямоугольного параллелепипеда
    
13. 
    Объем призмы.
    
14. 
    Объем цилиндра
    
15. 
    ЕГЭ-тренинг №8
    

Пример 1. Изменение уровня

В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

Пример 2. Объемы /площади поверхностей двух цилиндров

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Пример 3. Шар, вписанный в цилиндр

Шар, объём которого равен 60, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Домашнее задание

1) Учебник. Потоскуев, Звавич. Параграфы 10; 17.5.

2) Задачник. Потоскуев, Звавич. №№ 2.162; 3.038; 3.041.

3) ЕГЭ-тренинг (№8) Решу ЕГЭ. Стереометрия, цилиндр:

№№ 2;3;9;14;19.

Пример 1. № 27046
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в   раза больше первого? Ответ выразите в см.

Пример 2.№ 27053

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Пример 3. № 27196

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите 



Пример 4. № 27200
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите 


4) №16. Планиметрия. Задачи на доказательство

В обязательном порядке разбираются и заучиваются пункты (а).

Пункты (б) для претендующих на 85+.

Пример 1. Задание 16 № 517832

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB₁, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.
Пример 2. № 519475

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если 
Пример 3. № 520824

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.

а) Докажите, что АВ = CD.

б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.
Пример 4. № 520997

Точка Е — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.

а) Докажите, что 

б) Найдите 

4) Стереометрия. Решу ЕГЭ. №14(С2). Угол между плоскостями №1 (решить двумя способами: классический и ВМ или КВМ).

ЕГЭ-2016

Л143