Высшая математика. Зарождение, становление и развитие линейной алгебры в ыполнил

Название	Зарождение, становление и развитие линейной алгебры в ыполнил
Дата	16.09.2022
Размер	30.32 Kb.
Формат файла
Имя файла	Высшая математика.docx
Тип	Реферат #680393

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования

«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

Кафедра экономики

Зачетная работа

1 семестра

Дисциплина: Высшая математика

Реферат

Тема: Зарождение, становление и развитие линейной алгебры
выполнил:

студент 1 курса

профиля «Финансы и кредит»

Цикало Анастасия Петровна

Омск 2021

ВВЕДЕНИЕ

Экономика, как наука об объективных причинах функционирования и развития общества, еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов.

В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Эти математические методы применяются для решения разнообразных задач, как на малых предприятиях, так и на крупных. Современная экономика пользуется разработанными методами Л.В. Канторовича, В.В. Леонтьева, Е.Е. Слуцкого.

Среди основных методов решения различных экономических задач является использование элементов алгебры матриц. Это особенно актуально при разработке и использовании баз данных, где почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. Основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности.

Таким образом, применение элементов линейной алгебры значительно упрощает способы решения многих задач экономики.

Целью работы является обобщение и систематизация теоретического материала об истории линейной алгебры.

Задачи:

Изучить необходимую литературу.
Дать определение понятию линейной алгебры.
Ознакомиться обстоятельствами, способствовавшими возникновению данной науки.
Узнать имена ученых, которые внесли существенный вклад в развитие линейной алгебры.

ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Линейная алгебра – раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре – определители, матрицы, сопряжение.

Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании, в эконометрике и естественных науках (например, в квантовой механике).

Основными конструкциями линейной алгебры являются: матрицы и определители; векторы; тензоры; квадратичные и билинейные формы; векторные пространства; линейные отображения; собственные векторы и собственные числа; жорданова нормальная форма.

ЗАРОЖДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Первые элементы линейной алгебры следовали из практических вычислительных задач вокруг решения линейных уравнений, в частности, такие арифметические приёмы как тройное правило и правило ложного положения были сформулированы ещё в древности.

В «Началах» Евклида фигурируют две теории «линейного» характера: теория величины и теория целых чисел. Близкие к современным матричным методам подходы к решению систем линейных уравнений обнаруживаются у вавилонян (системы из двух уравнений с двумя переменными) и древних китайцев (в «Математике в девяти книгах», до трёх уравнений с тремя переменными).

Однако после достижения определённости с основными вопросами нахождения решений систем линейных уравнений развитие раздела практически не происходило, и даже в конце XVIII - начале XIX века считалось, что проблем относительно уравнений первой степени больше не существует, притом системы линейных уравнений с числом переменных, отличающихся от количества уравнений или с линейно-зависимыми коэффициентами в левой части попросту считались некорректными [5, с. 42-44].

СТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Методы, сформировавшие линейную алгебру как самостоятельную отрасль математики, уходят корнями в другие разделы. Ферма в 1630-е годы, создав классификацию плоских кривых, ввёл в математику (ключевой для линейной алгебры) принцип размерности и разделил задачи аналитической геометрии по числу неизвестных (с одним неизвестным - отыскание точки, с двумя - кривой или геометрического места на плоскости, с тремя - поверхности). Эйлер создал классификацию кривых по порядкам обратив внимание на линейный характер преобразований координат, ввёл в оборот понятие аффинного преобразования (и само слово «аффинность»).

Первое введение понятия определителя для целей решения систем линейных уравнений относят к Лейбницу (1678 или 1693 год), но эти работы не были опубликованы. Также определитель обнаруживается в трудах Сэки Такакадзу 1683 года, в которых он обобщил метод решения систем линейных уравнений из древнекитайской «Математики в девяти книгах» до уравнений с неизвестными. Маклорен, фактически используя простейшие определители в трактате, вышедшем 1748 году приводит решения систем их двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трёх уравнений с тремя неизвестными.

Крамер и Безу в работах по проблеме отыскания плоской кривой, проходящей через заданную точку, вновь построили это понятие (правило Крамера сформулировано в 1750 году), Вандермонд и Лагранж дали индуктивное определение для случаев, а целостное определение и окончательные свойства определителей дали Коши (1815) и Якоби (1840-е годы). Гауссу (около 1800 года) принадлежит формализация метода последовательного исключения переменных для решения этих задач, ставшего известным под его именем (хотя по существу для решения систем линейных уравнений именно этот метод и использовался с древности) [6, с. 82-85].

РАЗВИТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Д’Аламбер, Лагранж и Эйлер, работая над теорией дифференциальных уравнений в том или ином виде выделили класс линейных однородных и установили факт, что общее решение такого уравнения порядка является линейной комбинацией частных решений (однако, при этом не отмечали необходимость линейной независимости решений). Основываясь на наблюдении, что множество значений целочисленной функции не меняется от того, что над и совершается линейная подстановка (с целыми коэффициентами и определителем, равным 1), Лагранж в 1769 году разрабатывает теорию представления целых чисел квадратичными формами, а в 1770 году обобщает теорию до алгебраических форм. Гаусс развил теорию Лагранжа, рассматривая вопросы эквивалентности форм, и ввёл серию понятий, относящихся к линейным подстановкам, самым важным из которых было понятие сопряжённой (транспонированной) подстановки. С этого времени арифметические и алгебраические исследования квадратичных и связанных с ними билинейных форм составляют существенную часть предмета линейной алгебры.

Ещё одним источником подходов для линейной алгебры стала проективная геометрия, создание которой начато Ж. Дезаргом в XVII веке и получившей значительное развитие в трудах Монжа конца XVIII века и в дальнейшем в работах Понселе, Брианшона и Шаля начала - середины XIX века. В те времена основным предметом изучения проективной геометрии были коники и квадрики, являющиеся по сути квадратичными формами. Кроме того, понятие двойственности проективных пространств, введённое Монжем, являет один из аспектов двойственности в линейных пространствах (однако эта связь была замечена только в конце XIX века Пинкерле).

Но основной базой линейной алгебры стало фактически влившееся в раздел векторное исчисление, очерченное Гауссом в работах по геометрической интерпретации комплексных чисел (1831) и обретшее окончательную форму в трудах Мебиуса, Грассмана и Гамильтона 1840-х - 1850-х годах. Так, Гамильтон в 1843 году обобщает комплексные числа до кватернионов и даёт им геометрическую интерпретацию по аналогии с гауссовой (Гамильтону, в том числе, принадлежит и введение термина «вектор»), а в 1844 году Грассман строит понятие внешней алгебры, описывающей подпространства линейного пространства. Всеобщее признание векторного исчисления в конце XIX века существенно связано с применением векторов ведущими физиками-теоретиками того времени, прежде всего, Максвеллом, Гиббсом, Хевисайдом, в частности, физиками тщательно проработана векторная алгебра в трёхмерном евклидовом пространстве: введены понятия скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, набла-оператор, сформирована вошедшая в традицию символика, также начиная с этого времени векторы проникают и в школьные программы [10, с. 230].

Понятие матрицы ввел Дж. Сильвестр в 1850 году. Кэли обстоятельно разрабатывает матричное исчисление, публикуя в 1858 году «Мемуар о теории матриц», принципиально, что А. Кэли рассматривает матрицы как нотацию для линейных подстановок. В частности, в этой работе Кэли вводит сложение и умножение матриц, обращение матриц, рассматривает характеристические многочлены матриц и формулирует, и доказывает для случаев 2×2 и 3×3 утверждение об обращении в нуль характеристического многочлена квадратной матрицы (известное как теорема Гамильтона - Кэли, так как случай 4×4 доказал Гамильтон с использованием кватернионов), доказательство для общего случая принадлежит Фробениусу (1898). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867).

Теория инвариантов в классическом варианте - учение о свойствах алгебраических форм, сохраняющихся при линейных преобразованиях, сформирована начиная с 1840-х годов в работах Кэли, Эрмита и Сильвестра (известных как «инвариантная троица», считается, что именно теория инвариантов и приводит к созданию принципов решения произвольных систем линейных уравнений. В частности, Эрмит] сформулировал и решил в частном случае проблему нахождения системы линейных диофантовых уравнений, решение в общем случае найдено Смитом, результат которого остался незамеченным, пока не был обнаружен в 1878 году Фробениусом. Финальный вид результаты о системах линейных уравнений с произвольными числовыми коэффициентами получили в работах, организованных Кронекером, в которых принимали участие Вейерштрасс, Фробениус и группа немецких учёных, особое внимание уделялось строгости и точности формулировок. В частности, определитель в курсе лекций Кронекера - Вейршртаса вводился как полилинейная знакопеременная функция от векторов - мерного пространства, нормированная таким образом, что принимает значение 1 для единичной матрицы; притом это определение эквивалентно вытекающему из исчисления Грассмана.

Фробениус в 1877 году ввёл понятие ранга матрицы, основываясь на котором в ближайшие годы сразу несколько учёных доказали утверждение об эквивалентности разрешимости системы линейных уравнений совпадением рангов её основной и расширенной матрицы, известной в русских и польских источниках как теорема Кронекера - Капелли, во французских - теорема Руше - Фонтене, в немецких и испанских - теорема Руше - Фробениуса, в итальянских и английских - теорема Руше - Капелли.

В 1888 году Пеано на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства (векторных пространств над полем действительных чисел в том числе бесконечномерных) и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века. Тёплиц в начале 1910-х годов обнаружил, что при помощи аксиоматизации линейного пространства для доказательства основных теорем линейной алгебры не требуется прибегать к понятию определителя, что позволяет распространить их результаты на случай бесконечного числа измерений, иными словами, линейная алгебра применима при любом основном поле. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые чётко сформулировано в начале XX века практически одновременно Вейлем и фон Нейманом, исходя из запросов квантовой механики.

Тензорное исчисление, разработанное в 1890-е годы Риччи и Леви-Чивитой, составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е -1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров Эйнштейном и Гильбертом в математическом описании общей теории относительности.

В 1922 году С. Банах, изучая полные нормированные линейные пространства, ставшие известными после его работ как банаховы, обнаружил, что уже в конечном случае возникают линейные пространства, не изоморфные своему сопряжению, и в этой связи в первой половине XX века методы и результаты линейной алгебры обогатили функциональный анализ, сформировав его основной предмет в современном понимании - изучение топологических линейных пространств. Также в 1920-е - 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат Дедекинда о линейной независимости любых автоморфизмов поля, Артин линеаризовывает теорию Галуа, а в 1950-е годы, прежде всего, в работах Джекобсона, эти результаты обобщены на произвольные расширения тел; благодаря этим построениям обретена возможность применения инструментов и достижений хорошо изученной линейной алгебры в весьма абстрактных разделах общей алгебры.

Со второй половины XX века с появлением компьютеров, развитием методов вычислительной математики и компьютерной алгебры в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел вычислительной линейной алгебры, а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. В числе работ, положивших начало разработке этого направления, стало создание Тьюрингом алгоритма LU-разложения квадратной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные (1948 год). Показательно, что результаты тестов Linpack, в которых вычислительные системы должны решить сложные системы линейных уравнений с использованием LU-разложения, считаются основным показателем производительности вычислений с плавающей запятой, в том числе и для кластерных систем.

В 1950-е - 1960-е годы крупные исследования в области вычислительной линейной алгебры опубликованы Д.К. Фаддеевым и Дж. Уилкинсоном, значительные результаты в 1970-е - 2000-е годы получены Г.И. Марчуком, А.А. Самарским, С.К. Годуновым, Г. Голубом, О. Аксельсоном [6, с. 130].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанные до начала XIX века способы обоснования и методы математики позволили математикам заложить теоретические основы линейной алгебры и перестроить ее в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития.

Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го – начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл».

Основные достижения 20-го века в области оснований математики позволили взглянуть на проблему оснований математики с новых позиций по сравнению с предшествующими временами. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисциплин.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гайдамак И.В. Линейная алгебра / И. В. Гайдамак. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. – 64 с.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М. Гельфанд. - М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 319 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра / А.И. Кострикин. - М.: Наука., 2004. - 368 с.
Математика: математический анализ и линейная алгебра: учеб. пособие для студентов вузов / А.П. Девятков и др. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2011. - 468 с.
Рыбников К.А. История математики / К.А. Рыбников. - М.: Наука, 1994. – 688 с.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. - М.: Наука, Физматлит, 1990. – 542 с.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фаддеев. - СПб.: Лань, 2007. - 416 с.
Шафаревич И.Р. Линейная алгебра и геометрия / И.Р. Шафаревич, А.О. Ремизов. - М.: Физматлит, 2009. - 511 с.
Шипачев В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Юрайт, 2013. – 447 с.
Юшкевич А.П. Математика в ее истории / А.П. Юшкевич. - М.: Наука, 1996. – 522 с.