урок геодезия. Знакомство с геодезией на уроках геометрии

• Название: Знакомство с геодезией на уроках геометрии
• Дата: 16.03.2018
• Размер: 383.75 Kb.
• Имя файла: урок геодезия.docx
• Тип: Документы; #38645

Тема: Знакомство с геодезией на уроках геометрии
Цели урока:

1.Обобщение и систематизация знаний по теме «Решение треугольников».

2.Применение полученных знаний к измерительным работам на местности.

3.Знакомство с геодезией на уроках геометрии.

4.Воспитание познавательного интереса у учащихся; развитие интереса к предмету.

5.Развивать культуру общения, культуру математической речи, словарный запас.
Ход урока

1. 
   Организационный момент.
   
2. 
   Повторение изученного материала.
   

Мы закончили тему «решение треугольников»:

1. Что значит решить треугольник? (Решением треугольника называется нахождение трех его неизвестных элементов по каким-нибудь трём данным).

2. Какими теоремами пользуемся? (Решение этих задач основано на использовании теоремы синусов, теоремы косинусов, теоремы о сумме треугольника, следствие из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол)).

3. Где можно использовать эту тему? (В измерительных работах на местности.)


4. Всегда ли геометрия носила прикладной характер?

3. 
   Объяснение новой темы.
   

Все знают, что геометрия возникла как наука об измерении земельных участков. Но теперь эти заботы взяла на себя область знаний, которая называется геодезией, что в переводе с греческого означает "землеразделение". Предпологается, что геодезия превратилась в самостоятельную науку в начале XI века. Аль-Бирун был первым, кто определил геодезию как науку, отделил её предметы и объекты от геометрии, оптики и стереометрии, он написал и первый учебник «Геодезия» (1025 г.). Таким образом можно полагать, что геодезия как часть практической геометрии существовала с IV до н.э., а как фундаментальная наука отличная от геометрии и стереометрии с Х-ХI в н.э.

Трудно переоценить значение топографических карт. Они являются основой для отображения результатов полученных исследований и практической деятельности в области геологии, геофизики, географии и других наук о земле. Топографические карты не обходимы для государственного планирования и размещения и размещения производительных сил, на проектирование инженерных сооружений, при разведке и эксплуатации природных богатств, градостроительстве, организации сельскохозяйственного производства, при выполнении мелиоративных работ, земле устройстве, лесоустройстве и т. д.

Геодезические измерения обеспечивают соблюдения геометрических форм и элементов проекта сооружения как в отношении его расположения на местности, так и в отношении внешней и внутренней конфигурации. Даже после окончания строительства производятся специальные геодезические измерения, имеющие целью проверку устойчивости сооружения и выявления возможных деформаций во времени под действием различных сил и причин.

Велико значение геодезии и в культурном строительстве. Создаваемая карты разнообразного содержания и назначения являются могучим средством познания природы и жизни на нашей планете, источником разнообразных сведений обо всём мире.
Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошел от латинского слова "триангулюм", что означает "треугольник". В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы с вами уже изучили, и сегодня будем закреплять.

В геодезии углы измеряются с помощью следующих инструментов: астролябия, теодолит, квадрант, угломер


1) 2)


3) 1) Астролябия; 2)Квадрант; 3) угломер;

4) Теодолит.

4)

4. 
   Разбор типичных геодезических задач.
   

Давайте рассмотрим две типичные геодезические задачи: определение высоты объекта и определение расстояния до недоступной точки.


Задача 1. Найти высоту АН скалы, схематически изображенной на рис. 1.

Решение. Рассмотрим треугольники ВНА и ВСА,. Поскольку углы С и Н прямые, а угол В общий (рис.1), заключаем, что треугольники подобны. Тогда

АН : А₁С = ВН :ВС и АН =

Но это решение чисто математическое и получено оно в предположении, что длины отрезков А₁С, ВН и ВС известны.


А как быть реальному геодезисту, который стоит один на один перед скалой и намеревается вычислить ее высоту? — У каждого геодезиста есть такие два простейших инструмента, как шест и измерительная рулетка. Высоту шеста геодезист измерил заранее, теперь этот шест сыграет роль отрезка А₁С а измерительная рулетка пригодится для того, чтобы измерить расстояния между точками В и С, В и Н.

Остается сообразить, что в реальности изображает точка В. Вместе с учащимися выясняем, что точка В — это место расположения самого геодезиста. Он должен поставить шест так, чтобы луч его зрения проходил через верхний конец шеста (точку А₁) и через вершину А скалы.

Данный способ основан, как видим, на измерении отрезков. На практике это дело трудоемкое. Ведь перед тем как измерить отрезок на местности, его прежде всего надо увидеть, уставить планками, так называемыми вешками. Если этого не сделать, то измерительная лента может изогнуться и мы сами не заметим, как станем измерять некую дугу, а не отрезок. Один человек с измерением отрезков на местности не справится: надо чтобы один устанавливал и закреплял вешки, а другой указывал ему, в каких местах их следует ставить, чтобы они находились точно на луче его зрения. Получается, что один бегает с вешками, другой указывает, куда бежать, оба теряют время и им обоим нужно платить зарплату. Так что измерение отрезков на местности - дело не только трудоемкое, а еще и дорогое.

Поэтому в геодезии более распространен метод, который требует измерить только один линейный элемент (так что возни с вешками в два раза меньше). Но зато придется определять величины двух углов. С измерением углов справится и один человек, ведь в распоряжении геодезистов есть специальный угломерный прибор — теодолит.

Давайте выясним, как измерить высоту АН скалы с помощью теодолита.

Геодезист сначала измеряет угол β, под которым он видит вершину скалы из точки В, т.е. угол АВН. Затем он перемещается в точку С, двигаясь по прямой, соединяющей точки В и Н, и находит величину γ угла АСН (рис. 2). Остается измерить отрезок ВС, чтобы вычислить высоту АН. Ясно, что в реальности геодезисту придется провешивать отрезок СН, чтобы проконтролировать, действительно ли отрезки СВ и ВН лежат на одной прямой.

Пусть длина измеренного отрезка ВС равна а. Из прямоугольного треугольника АВН находим, что АН = AB sin α. Но как найти длину отрезка АВ? Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
=
Сумма углов треугольника ABC равна:

,

т.е α=β- Тогда sin α = sin(β - γ).
Теорему синусов для треугольника ABC теперь можно переписать иначе:
= Тогда АВ= .

Задача 2. Найти расстояние от человека, находящегося на суше в точке А, до лодки, которую унесло по озеру в точку В.

Изобразим на чертеже (рис. 3) треугольник ABC. У него углы с вершинами в точках А и С равны реальным углам α и γ, под которыми видна лодка из этих точек. Длина отрезка АС считается равной b — реальной длине между этими точками.



Измерив на местности углы с вершинами в точках А и С (обозначим их величины через и ), геодезист чертит (рис. 4) треугольник А₁В₁С₁ у которого A₁ = = α, C₁ = LC =γ, а длина отрезка А₁С₁ произвольна. Треугольники ABC и A₁ B₁ C₁ подобны. Значит, можно составить пропорцию

АВ : А ₁В ₁ = АС : А ₁С ₁ или АВ : А₁ В₁= Ь : А₁ В_1, а из нее найти выражение для вычисления АВ:

АВ=

Для применения этой формулы измеряется на местности только один линейный элемент — длина отрезка АС (его длина обозначена через Ь), а длины отрезков А₁В₁ и А₁С₁ определяются непосредственно по чертежу, т.е. по рис. 4.

Рассмотрим и иной способ решения этой задачи, основанный на теореме синусов. Установив на местности с помощью теодолита, что A = α, a C = , записываем по теореме синусов пропорцию

= ,
а из нее делаем вывод, что АВ =.

5. 
   Практическая часть урока.
   

Полученные выводы закрепляем практической работой. Учащиеся делятся на две команды.

Первая команда. Вычисление высоты дерева.



Первое решение на основании подобия треугольников.

Второе решение потребовало знаний из тригонометрии (рис. 6). Ребята измерили угол AFH, а затем отрезок FH. Осталось вычислить: АН =FH tg - высота дерева.


Вторая команда: Вычисление расстояние до холма.


,
Точка А, точка где находились учащиеся. Точка С - произвольная точка. В основание холма. Измерить углы с помощью теодолита.

1. 
   Решить задачу, используя подобие треугольников. Далее построить треугольник А₁ В₁ С₁, подобный данному.
   

2. 
   Найти ответ с помощью теоремы синусов. Измерить углы А и С.АВ= - искомое расстояние.
   

Команды убеждаются, что результаты обоих способов приблизительно одинаковые. Заметим, что совпадение результатов получится только в том случае, если все измерения выполнены аккуратно, в том числе аккуратно выполнено провешивание отрезков, которое необходимо при использовании любого из рассмотренных способов, так как линейный элемент необходимо знать для решения любой задачи на решение треугольников. Отметим и еще один интересный факт: учащиеся первой группы не воспользовались теоремой синусов, предложив свое более простое решение. Это решение было подсказано тем, что обращение с теодолитом.
V. Рефлексия урока.


1)Что объединяет эти области знания (геометрия, география, геодезия)?


2)Какая тема геометрии связывает эти три области?


3)С какими новыми приборами для измерения углов на местности вы познакомились?


4)Какие геодезические задачи рассматриваются в геометрии?

VI. Домашнее задание: Измерить высоту кинотеатра «Октябрь», расстояние до какой-нибудь недоступной точки. Прочитать «Лик Земли», Куприн А.М., М.: Наука, 1955г