Знаменитые задачи древности: удвоение куба. реферат вммм. Знаменитые задачи древности удвоение куба
![]()
|
1 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» (ФГБОУ ВО «КНИТУ») Реферат на тему «Знаменитые задачи древности: удвоение куба» Работу выполнила: Студентка очной группы 4121-11 Газизова Л.Р. Казань 2022 г. Оглавление Введение. О происхождении задачи Глава 1. Попытки решения задачи до Архита Тарентского 1 Первая известная попытка решения задачи 2 Решение Архита Тарентского Глава 2. Решение задачи в Древней Греции после Архита. Решение с помощью конических сечений 1 Первое решение Менехма 2 Второе решение Менехма 3 Решение Эратосфена Заключение Библиография Введение. О происхождении задачи Задача об удвоении куба со временем стала знаменитой. Эта задача первоначально формулировалась так: построить куб, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. В дальнейшем с помощью алгебраической символики эта задача была сформулирована следующем образом: дан куб с ребром ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Как, когда и где возникла эта задача, науке пока неизвестно. Можно только делать предположения по этому поводу. Автор считает, что эта задача могла возникнуть еще задолго до того, как ей начали заниматься древние греки, как задача на построение. Эта задача могла возникнуть из практических потребностей: например, с учетом увеличения в два раза урожая в данном году надо было увеличить в два раза объем хранилища продуктов, имевшего форму куба, или увеличить в два раза вместимость водохранилища кубической формы, оставляя туже форму его. О практическом у культовом происхождении задачи об удвоении куба говорят и легенды, связанные с этой задачей. В одной из них говорится, что Критский царь Минос приказал архитекторам воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы сделали памятник кубической формы с ребром, равным ![]() ![]() Вторая легенда тоже указывает на своеобразную связь этой задачи с жизнью. Однажды на острове Делосе, находящемся в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители Делоса обратились к знаменитому Дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах, за помощью и советом. Для прекращения чумы оракул предложил делосцам удвоить жертвенник богу Аполлону (богу солнца), имевший форму куба. Но чума не прекратилась и после того, когда был отлит такой же жертвенник, как первый, и поставлен на него. Тогда делосцы вновь обратились к оракулу с вопросом: почему не прекращается чума, хотя жертвенник всесильному Аполлону удвоен? Оракул им на это ответил: нет, вы не решили поставленной задачи, так как вы, удвоив объем, изменили форму жертвенника. Не меняя формы куба, делосцы не могли его удвоить и обратились за помощью к Платону. Но он уклончиво ответил: боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией. С того времени задачу об удвоении куба стали называть «делосской». Некоторые авторы полагают, что происхождение задачи об удвоении куба связано с желанием обобщить задачу об удвоении квадрата ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Возможно, что в дальнейшем играло роль и «желание древних обобщить задачу об удвоении квадрата» и перейти от планиметрической задачи к стереометрической. Но такое желание могла возникнуть на достаточно высокой ступени развития геометрической алгебры, когда грекам было известно уже, что извлечение корня из произведения двух величин а, bсводится к построению отрезка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Но чтобы прийти к выводу, что решение этой задачи сводится к построению двух среднегеометрических между отрезками ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() О том, кто и как пытался решать эту задачу в Древней Греции, мы знаем, главным образом, из комментария Евтокия к произведению Архимеда «О шаре и цилиндре», чем мы и воспользуемся в дальнейшем. Глава 1. Попытки решения задачи до Архита Тарентского 1 Первая известная попытка решения задачи Хотя Евтокий в указанном комментарии и не называет имени Гиппократа в числе решавших задачу об удвоении куба, но это имя упоминается в письме к царю Птолемею, якобы написанному Эратосфеном, которое приводит Евтокий. Там говорится, в частности: «Первый Гиппократ Хиосский заметил, что если найти две средние пропорциональные между двумя отрезками, из которых больший в два раза длиннее меньшего, то можно будет удвоить и куб». Историки - математики почти единодушны в том, что Гиппократ был один из первых греческих математиков, которые оставили след своих попыток решения этой задачи. Очевидно, что в математику эта задача вошла раньше. В ![]() ![]() Придя к необходимости построить отрезок прямой, равный ![]() ![]() ![]() ![]() Он показал, что эта задача будет решена, если удастся построить два отрезка х и у, которые связаны с данными отрезками ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() перемножив затем левые и правые части этих неравенств, получим ![]() ![]() ![]() ![]() откуда и получается ![]() ![]() ![]() ![]() Из этого очевидно, что если бы удалось каким-то образом построить отрезок прямой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нам неизвестно, пытался ли сам Гиппократ построить отрезки, удовлетворяющие уравнениям ![]() ![]() и если пытался, то какие результаты были получены им. Но судя по тому, как высоко оценивали древние греки геометрические способности Гиппократа, а также на основании того, что ему удалось получить блестящие результаты в решении двух знаменитых задач древности, можно вполне допустить, что он положил начало применению метода « вставок» при решении этой задачи, и мог, таким образом, ее решить. Но если допустить, что Гиппократу удалось только свести задачу нахождения отрезка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 Решение Архита Тарентского В конце 5 века до н.э. в связи с изобретением стрелометов и камнеметов возникла еще необходимость удвоения объема тяжа, с помощью которого «стреляло» орудие, чтобы удвоить расстояние полета стрелы и камня. Это тоже могло способствовать развитию интереса к задаче удвоения куба. Одним из первых древнегреческих ученых, использовавших результаты Гиппократа Хиосского при решении задачи об удвоении куба, был Архит из Тарента. Он является известным полководцем и крупнейшим математиком конца ![]() ![]() Евтокий в указанных комментариях со ссылкой на «Историю геометрии» Евдема так описывает решение о построении двух средних геометрических Архитом. Пусть требуется найти ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 1. Вспомогательные построения для решения Архита Тарентского Построим окружность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() цилиндр с основанием ![]() ![]() конус, получаемый вращением прямой ![]() ![]() ![]() ![]() вырожденный тор - поверхность, получаемой вращением окружности ![]() ![]() Пусть все три поверхности пересекаются в некоторой точке ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из этого следует, что прямоугольные треугольники ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1 2 |