колобок. колобок весна. 1. Что называется производной функции в точке

• Название: 1. Что называется производной функции в точке
• Анкор: колобок
• Дата: 09.04.2023
• Размер: 6.16 Mb.
• Имя файла: колобок весна.docx
• Тип: Документы; #1049086

1. Что называется производной функции в точке?

Пусть функция на некотором промежутке X.



- приращение аргумента в точке



∆x) – f( ) – приращение функции в точке

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

2. В чем состоит геометрический смысл производной?

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке. Механический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса.





3. В чем состоит механический смысл первой производной?

Производная от функции, описывающей прямолинейный закон движения материальной точки, определяет мгновенную скорость в момент t_o.





4. Сформулируйте условие дифференцируемости функции в точке.

Теорема о необходимости и достаточности дифференцируемых функций в точке

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная в этой точке

Функция , определённая в некоторой окрестности точки x, называется непрерывной в этой точке, если приращение функции стремится к нулю при стремлении к нулю соответствующего приращению аргумента.



Теорема. Если функция дифференцируется в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение не имеет места, т.к. из непрерывности функции в некоторой точке не следует её дифференцируемость в этой точке.

5. Какая функция называется дифференцируемой на некотором промежутке?

Функция y=f(x) называется дифференцируемой на некотором промежутке (a,b) (конечном или бесконечном), если эта функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

6. Чему равна производная суммы? (* док-во)



7. Чему равна производная произведения? (*док-во)



8. Чему равна производная частного? (*док-во)

Производная частного двух функций      если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:



Пусть у=u/v. Тогда

     



9. Как найти производную сложной функции?



10.Формула для дифференцирования функции, заданной параметрически.

Теорема. Если функция y=f(x) задана параметрически и функции x=x(t), y=y(t) дифференцируемы по переменной t и при этом x’_t ≠ 0, то у_х’ =



11.Как найти производную от неявно заданной функции?

Если функция задана неявно (то есть функция неразрешенная относительно у), тогда для нахождения у’ надо продифференцировать по х данное уравнение, учитывая, что у – функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно у’.



12.Что называется дифференциалом функции?

Приращение ∆x аргумента х, который выступает как независимая переменная, обозначается dx и называется дифференциалом независимой переменной, тогда производную функции можно рассматривать как отношения дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.



13. Каков геометрический смысл дифференциала?



14.В чем состоит инвариантность формы первого дифференциала?

Пусть функции у=у(х) и х=х(t) дифференцируемы, тогда:

dy = y’_x ∙ dx

dx = x’_t ∙ dt

Для сложной функции y=y[x(t)] справедливо:

dy = y’_t ∙ dt = y’_x ∙ x’_t dt = y’_x ∙ dy

Свойство инвариантности (независимости) первого дифференциала по отношению к аргументу: дифференциал функции не зависит от того, является ли аргумент функцией, или независимой переменной.

15.Как применяют дифференциал к приближенным вычислениям?

Поскольку дифференциал d(x) функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргумента , то





Разность между приращением функции ∆y и дифференциалом этой функции d(y) – величина бесконечно малая. Таким образом, при малых имеет место приближённое равенство, позволяющее вычислять приближённые значения функции при малых приращениях аргумента.







16.Что называется второй производной функции?





17.Что понимают под производной n -го порядка?



Дифференциал высших порядков сложной функции не обладают свойствами инвариантности формы по отношению к аргументу.

18.В каком случае функция называется дифференцируемой k раз?Рассмотрим функцию , заданную явно и имеющую конечную производную   в любой точке промежутка . Если функция имеет производную (конечную или бесконечную) в каждой точке x € X , то эту производную называют производной 2-го порядка (второй производной) функции и обозначают 

Если в свою очередь функция f ’’x имеет производную   , то ее производная называется производной 3-го порядка (третьей производной):   Аналогично берутся производные более высоких порядков.

Если в каждой точке промежутка существует конечная производная (п−1)-го порядка   , то производная n-го порядка по определению равна производной от производной  (n-1) -го порядка:

 (3.13)

Порядок производной − число п − определяет число операций дифференцирования, которому подвергается функция. Поэтому естественно за производную нулевого порядка принять саму функцию:   . Таким образом, допустимы следующие значения числа п:0; 1; 2;…; k;… Производные, порядки которых больше единицы (  ), называют производными высших порядков.

Для производной n-го порядка в произвольной точке используют следующие обозначения:   Круглые скобки в знаменателе обычно не пишут. Если порядок производной − конкретное число, то его обозначают штрихами (для производных до третьего порядка включительно), а также записывают римской цифрой без скобок или арабской в скобках:



Если производная п-го порядка функции в точке существует, то ее значение − число (собственное (конечное) или несобственное (∞ )), которое обозначается одним из следующих способов: 

Если производная п-го порядка конечна в точке, то в некоторой ее окрестности определены и непрерывны и сама функция, и все ее производные до (n-1) -го порядка включительно. 

19. Можно ли утверждать, что если функция непрерывна на интервале (a,b),то она дифференцируема на этом интервале?

Утверждение не имеет места, то есть из непрерывности функции в некоторой точке не следует её дифференцируемость

В этой точке (б и в):



Б). f’(x₁) = tgα = tg 90▫ = ∞

В). f’(x₂) – не существует

20.Что называют дифференциалом второго порядка?



Дифференциалы высших порядков сложной функции не обладают свойствами инвариантности формы по отношению к аргументу.

21.Сформулировать теорема Ферма.



Пусть в точке с функция f(x) достигает наибольшего значения, то есть для любого х, принадлежащего интервалу (а, b)

f (c+Δx) ≤ f(c)

Если Δx < 0:





Если Δx > 0:





22.Каков геометрический смысл теоремы Ферма?



Геометрический смысл состоит в том, что касательная к графику функции y=f(x) в точке х, равное с,

параллельна оси абсцисс.

23.Сформулировать теорема Ролля.





24.Какой геометрический смысл теоремы Ролля.



Горизонтальна, то есть параллельна оси ОХ.

25.Сформулировать теорему Коши.





Обобщённая формула конечных приращений

26.Сформулировать теорему Лагранжа.



27.Каков геометрический смысл теоремы Лагранжа?

Геометрический смысл формулы Лагранжа. Значение производной функции f(x) в точке С равна тангенсу угла наклона касательной к этому графику и параллельна секущей, проходящей через точки А и В. (рис. из вопроса 27)

28.Всегда ли непрерывная функция дифференцируема?

Утверждение не имеет смысла, например, рассмотрим непрерывную функцию f(x) = , которая не дифференцируема при x=0.



29.Всегда ли дифференцируемая функция непрерывна?



30.Сформулировать теорему Лопиталя



31.Сформулировать теорему, выражающую достаточные условия возрастания (убывания) функции в точке.

Теорема (Необходимый признак возрастания (убывания) функции. Для того, чтобы дифференцируемая функция возрастала (убывала) на промежутке Х, необходимо, чтобы:

f’(x) ≥ 0 для любого х, принадлежащего промежутку Х (для возрастания функции)

f’(x) ≤ 0 для любого х, принадлежащего промежутку Х (для убывания функции)

Теорема (Достаточный признак возрастания (убывания) функции). Если формула f(x) дифференцируема на X, и f’(x)>0 (f’(x)<0), для любого х из промежутка Х, то функция возрастает (убывает) на Х.

32. Сформулировать теорему, выражающую необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемой функции на промежутке

Для того, чтобы функция y=f(x) была постоянна на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы f’(x) = 0 во всех точках промежутка.

33.Сформулировать теорему, выражающую достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке



34. Определение точки минимума (максимума) функции.

Точка х_о называется точкой максимума f(x), если существует такая окрестность X этой точки, что для любого х из промежутка Х верно: f(x₀) > f(x).

Точка х_о называется точкой минимума f(x), если существует такая окрестность X этой точки, что для любого х из промежутка Х верно: f(x₀) < f(x).

35.Определение точки экстремума функции.



36. Определение критической точки.

Критическими точками функции f(x) называются точками, где f’(x) = 0, f’(x) = ∞, f'(x) – не существует, при условии, что в двух последних случаях функция непрерывна в соответствующей точке.



37.Необходимое условие экстремума функции.

Если функция f(x) имеет в точке х_о экстремум, то эта точка является критической точкой функции.



38.Сформулировать достаточное условие экстремума, использующее производную 1-го порядка.

Если функция непрерывна в некотором интервале. Содержащим критическую точку х₀ , то дифференцируемая во всех точках интервала и при переходе через эту точку f’(x) меняет знак, то х₀ – экстремум функции.



39.Сформулировать достаточное условие экстремума, использующее производную 2-го порядка.



40.Понятия гладкой функции и гладкого экстремума

Если f’(c) = 0, то в точке c функция имеет гладкий экстремум (рис. 1)



Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция,— функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные всех порядков.

41. Понятие острого экстремума функции.

Экстремумы функции могут быть “острыми”, как на рисунках 3 и 4. Касательные к графику функции, проведенные при x=x₀ , образуют прямой угол с OX (α=90▫), следовательно, значение tgα в точках острого экстремума не существует (не определено), а т.к. y’ = tgα , то не существует и производная. Как и в предыдущем случае, можно заметить, что не для всех значений переменной, для которых производная не существует, будет существовать экстремум функции.



42.Сформулировать определение первообразной



y = x²

y’ = 2x

y = x² + c (первообразная)

F(x) – первообразная функция для f(x) на некотором промежутке, если F’(x) = f(x)

Пример:

F(x) = sinx, f(x) = cosx, F₁ (x) = sinx - √3

Теорема. Если F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то функция F(X) + C также является первообразной для f(x) на этом промежутке.

43.Сформулировать определение неопределенного интеграла.





44.В чем заключается непосредственное интегрирование?

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределённого интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных.

Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.



45.Указать формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

Пусть – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке изменения t. Если на соответствующем промежутке изменения х функция f(x) непрерывна.



46.Указать формулу интегрирования по частям.

Пример





47.Какие дроби называются простейшими?

Простейшими дробями первого типа называются рациональные дроби вида , где с – вещественное число.

Простейшими дробями второго типа называются рациональные дроби вида , где имеет комплексные корни (D<0).

48.Какая дробь называется правильной? Привести примеры.

Пусть есть целая рациональная дробь вида

y = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2+ … + a_n-1x + a_n

Дробная рациональная функция:

R(x) =

Q_m(x) = b₀x^m + b₁x^m-1 + b₂x^m-2+ … + b_m-1x + b_m

P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2+ … + a_n-1x + a_n

Если m < n, то дробь правильная.

Пример:

49.Какая дробь называется неправильной? Привести примеры.

Пусть есть целая рациональная дробь вида

y = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2+ … + a_n-1x + a_n

Дробная рациональная функция:

R(x) =

Q_m(x) = b₀x^m + b₁x^m-1 + b₂x^m-2+ … + b_m-1x + b_m

P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2+ … + a_n-1x + a_n

Если m ≥ n, то дробь неправильная.

Пример:

50.Что называется универсальной тригонометрической подстановкой?



51.Дать определение определенного интеграла.



52.Сформулировать теорему существования определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс – нижним основанием.

Теорема существования определённого интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке АВ, то её интегральная сумма стремится к пределу при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремящейся к нулю длины наибольшего отрезка разбиения, не зависит от способа разбиения отрезка АВ на частичные отрезки и выбора в них промежутка точки.

53.Сформулировать, в чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции.

Геометрический смысл: определенный интеграл от неотрицательной функции f (x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией f (x), снизу осью Ox, слева прямой x=a, справа прямой x=b.



54.Перечислить основные свойства определенного интеграла

• 
  Определенный интеграл имеет следующие свойства:
  
• 
  Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю
  
• 
  Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования
  
• 
  Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
  
• 
  Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов
  
• 
  Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям
  
• 
  При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак
  
• 
  Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке x₀ внутри его
  
• 
  Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен)
  
• 
  Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции f(x) и g(x) непрерывны, то неравенство f(x) >=g(x) можно почленно интегрировать
  

55.Дать геометрическую интерпретацию теоремы о среднем значении.


56.Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел.




57.Формула Ньютона-Лейбница.