2. Вычисление значений функций
 Скачать 276 Kb.
|
2. Вычисление значений функцийПри компьютерных вычислениях значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения часто оказываются неравноценными с точки зрения практики вычислений. Рассмотрим приемы, сводящие вычисление некоторых функций к циклам из элементарных операций. 2.1. Вычисление значения многочлена по схеме Горнера Пусть дан многочлен  -й степени с действительными коэффициентами ,где  ,  .Требуется найти значение  при  , т.е. .Если находить значения каждого члена и суммировать их, то при больших потребуется выполнить большое число операций (  умножений и  сложений). Кроме того, это может привести к потере точности за счет погрешностей округления. Схема Горнера – алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Проиллюстрируем его идею на примере многочлена третьей степени:  .Его можно представить в виде   .В общем случае  .Обозначим:  Отсюда, последовательно вычисляя числа    (1) ………………  ,находим  .Таким образом, вычисление значения многочлена  сводится к вычислению совокупности (2)Вычисление значений многочлена  по схеме Горнера требует выполнения умножений и сложений. Во многих практических расчетах применение правила Горнера не только экономит машинное время, но и повышает точность за счет уменьшения верхнего предела ошибки округления.Вычисление значений рациональных дробей Рациональной дробью называют отношение двух многочленов  ,где  , .Рациональная дробь называется правильной, если n < m, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если n ≥ m) дробь называется неправильной. Пример. Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.  Пусть требуется вычислить значение  в точке : .Числитель и знаменатель данной дроби можно найти, пользуясь схемой Горнера. Отсюда получаем простой способ вычисления числа  Вычисление значений показательной функции Разложение функции в ряд Тейлора во многих случаях является удобным способом вычисления значений этой функции. Для показательной функции  справедливо разложение ( ). (1)Приближенное вычисление по формуле (1) для малых  удобно производить по схеме ,где  , ,  .Пусть  – заданная допустимая погрешность вычислений, тогда процесс суммирования следует прекратить, как только будет выполнено неравенство .Пример. Найти  с точностью до  .Пользуемся формулой  , , , .Слагаемые будем подсчитывать с двумя запасными десятичными знаками. Последовательно имеем  Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим  .Вычисление значений синуса и косинуса Для вычисления значений функций  и  пользуемся степенными разложениями ( ) (1) ( ) (2)Ряды (1) и (2) при больших сходятся медленно, но, учитывая периодичность функций и и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять и для промежутка  .При этом используют следующие рекуррентные формулы  , , ,   , , , Т.к. в промежутке  ряд знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то для его остатка  справедлива оценка  .Аналогично для ряда (2)  .Следовательно, процесс вычисления и можно прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешности .Пример. Вычислить  с точностью до  Получаем:  Сумма: 0,40515 Отсюда  |