Виды математических моделей САУ. 2 Виды математических моделей сау
 Скачать 145.35 Kb.
|
|
2.1. Виды математических моделей САУ Целью математического описания САУ является составление той или иной математической модели, используемой в дальнейшем для анализа и синтеза САУ. Любая математическая модель является, приближением к действительному состоянию взаимодей- ствия отдельных информационных параметров объекта или всей системы в целом и отражает наиболее существенные взаимо- связи между переменными величинами. Так большинство переменных величин объектов и систем управления подвергается ограничению естественным или искусственным путем. Множество зависимостей между информационными параметрами явля- ются нелинейными и должны быть представлены нелинейными математическими моделями. Однако в рамках настоящего посо- бия рассматриваются линейные математические модели, так как многие режимы функционирования САУ характеризуются не- значительными изменениями переменных величин, в пределах которых зависимости между величинами могут считаться линей- ными. Системы, работающие в полных диапазонах изменений переменных, а также системы, содержащие элементы с явно вы- раженными нелинейными характеристиками (например, релейными), являются существенно нелинейными системами и рассмат- риваются в курсе «Нелинейные системы управления». Различают следующие виды математических моделей САУ: 1. дифференциальные и разностные уравнения систем управления и их элементов; 2. векторно-матричные модели в пространстве состояний; 3. передаточные функции элементов и систем управления; 4. структурные схемы систем управления; 5. направленные графы систем управления; 6. временные характеристики САУ; 7. частотные характеристики САУ. Эти же виды математических моделей в той или иной мере используются и для описания нелинейных САУ. Дифференциально-разностные уравнения САУ Дифференциальные (в частных случаях, алгебраические) уравнения непрерывных систем и разностные уравнения дискретных систем являются основной первичной формой математического описания любой САУ. Они могут использоваться самостоятельно для выполнения задач анализа и синтеза или служить основой для создания других форм математического описания. Дифференциальные и алгебраические уравнения непрерывных САУ составляются на основании изучения и осознания основных физических, химических и информационных процессов, происходящих в объекте управления и системе в целом. Часто для за- писи уравнений используются уже известные законы, устанавливающие связь между технологическими переменными величи- нами. Преобразование Лапласа Несмотря на неограниченные возможности компьютерных технологий по решению систем дифференциальных и разностных уравнений преобразование Лапласа остается по-прежнему широко используемым при решении задач анализа и синтеза САУ. Непрерывным преобразованием Лапласа непрерывной временной функции f(t) называется следующее преобразование 0 ) ( ) ( dt e t f s F st , где s = + j, и - постоянные, j = 1 . Преобразуемая функция f(t) часто называется оригиналом, а F(s) – изображением функции f(t). К функции f(t) предъявляется требование, чтобы она была однозначной и удовлетворяла условию f(t) = 0 при t<0. Приведем в качестве примеров непрерывного преобразования изображения единичной ступенчатой функции f(t) = 1(t). s dt e t t L t f L st 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 Основные свойства преобразования Лапласа 1. Свойство линейности. Непрерывное преобразование Лапласа являются линейным, т. е. изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинации их изображений. Так если n i i i t f c t f 1 ) ( ) ( , то n i i i s F c t f L 1 ) ( ) ( 2. Изображение смещенной функции (теорема сдвига) Сдвигу функции оригинала на , т. е. ) τ ( ) ( 1 t f t f соответствует умножение непрерывного изображения на τ s e : ) ( ) ( ) τ ( τ τ s F e t f L e t f L s s 3. Изображение производной (конечной разности) n -порядка Если ) ( ) ( s F t f L , то ) ( ) ( s F s t f dt d L n n n , при f(0) = 0 и всех 0 k k dt df , k = 1, 2, …, n-1. Другими словами взятию производной n-го порядка соответствует при нулевых начальных условиях умножение изображения на s n . 4. Изображение интеграла (конечной суммы) функции-оригинала Свойства изменения изображений функции после ее интегрирования или взятия конечной суммы в дискретном варианте является “обратными” по отношению к свойствам дифференцирования или взятия конечных разностей: 1 ( ) ( ), где ( ) ( ) . L f t dt F s F s L f t s Резюмируя свойства 3 и 4 отметим, что s – оператор дифференцирования в непрерывной области; 1/s – оператор интегрирования в непрерывной области. 5. Свойство изображения свертываемых функций (теорема свертки) Сверткой двух непрерывных называется функция, значения которой вычисляются согласно t d t f f t f 0 2 1 τ ) τ ( ) τ ( ) ( для непре- рывного времени. Формулировка свойства об изображении свертки для непрерывного времени: - изображение свертки равно произведению изображений свертываемых функций. Если ) ( ) ( 1 1 s F t f L и ) ( ) ( 2 2 s F t f L , то ) ( ) ( τ ) τ ( ) τ ( 2 1 0 2 1 s F s F d t f f L t 6. Определение начального значения функции оригинала по известному изображению Зная изображение F(s) можно сравнительно просто вычислить начальное и конечное значения функции-оригинала. Начальное значение непрерывной функции s t s sF t f ) ( lim ) ( 0 7. Конечное значение функции-оригинала В непрерывном времени 0 ) ( lim ) ( s t s sF t f Преобразование дифференциальных и разностных уравнений Пусть непрерывная система описывается уравнением ) ( ) ( ) ( 1 1 1 0 t y a dt t y d a dt t y d a n n n n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 0 1 1 1 0 t f c dt t f d c dt t f d c t g b dt t g d b dt t g d b e e e e e m m m m m , где y(t), g(t), f(t) – выходная управляемая величина, управляющее и возмущающее воздействие соответственно; a 0 , …, a n ; b 0 , …, b m ; c 0 , …, c e – постоянные коэффициенты. Предположим, что система работает при нулевых начальных условиях, т. е. при t = 0 имеем ; 1 ..., , 1 , 0 , 0 ) ( n i dt t y d i i ; 1 ..., , 1 , 0 , 0 ) ( m j dt t g d j j 1 ..., , 1 , 0 , 0 ) ( e k dtk t f d k . Подвергнем заданное диффе- ренциальное уравнение преобразованию Лапласа, используя свойства линейности и изображения производной, ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 1 0 1 1 0 s F c s F s c s F s c s G b s G s b s G s b s Y a s Y s a s Y s a e e e m m m n n n где Y(s), G(s), F(s) – изображения по Лапласу функций y(t), g(t), f(t). Перепишем полученное уравнение в более сжатой форме ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 1 1 0 1 1 0 s F s C s G s B s Y s A s F c s c s c s G b s b s b s Y a s a s a e e e m m m n n n Сравнивая полученное уравнение с исходным, приходим к правилу преобразования по Лапласу любого дифференциального уравнения: чтобы получить преобразованное по Лапласу уравнение, необходимо операторы дифференцирования dt d s заменить ком- плексными операторами s = + j, а все временные функции заменить их изображением. Отметим, что преобразование по Лапласу уравнение является алгебраическим, что в корне облегчает все математические опера- ции при его использовании. Теперь возьмем отношения изображений присутствующих в уравнении величин, принимая одну из них (управление G(s) или возмущение F(s)) равной нулю: ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( s A s C s F s Y s A s B s G s Y s G s F Полученные отношения представляют собой передаточные функции системы по управляющему и возмущающему воздей- ствиям: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s F s Y s A s C s W s G s Y s A s B s W f g Передаточной функцией системы (элемента системы) называется отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Понятие передаточной функции является одним из фундаментальных в теории автоматического управления и широко использу- ется на различных стадиях анализа и синтеза систем управления. |