6. прогнозирование на основе временных рядов план
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Тема 6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ План 1. Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной модели 2. Доверительный интервал прогноза 3. Автокорреляция остатков 4. Общая характеристика моделей с распределенным лагом 5. Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом 6. Оценка параметров моделей с распределенным лагом и прогнозирование. Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной модели Очевидно, что реальные данные чаще всего состоят из всех трех компонент временного ряда. Поэтому основная задача анализа временных рядов заключается в определении каждой компоненты и исключение воздействия на уровни временного ряда. Этот процесс называется ДЕКОМПОЗИЦИЕЙ или разложением временного ряда. Формально модель декомпозиции можно представить двумя способами как произведение трех компонент и каких сумму. Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называются АДДИТИВНЫМИ моделями временного ряда Y = T + S + E. (6.1) Модели, в которых временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называются МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ моделями временного ряда Y = T S E. (6.2) Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний если амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянна, используют аддитивную модель. если амплитуда возрастает или уменьшается по мере роста уровней временного ряда, используют мультипликативную модель. Эта модель чаще всего используется на практике. На практике прогнозирование сезонной компоненты является достаточно сложной задачей, т.к. сложно выявить период цикла. Построение аддитивной и мультипликативной модели сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает следующие шаги 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет значений сезонной компоненты S. 3. Устранение сезонной компоненты из исходного ряда и получение выровненных данных (ТЕ) в аддитивной модели и (ТЕ) в мультипликативной. 4. Аналитическое выравнивание уровней (ТЕ) или (ТЕ) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет полученных по модели значений (Т) или (Т. 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Однако нужно иметь ввиду, что экстраполяция в рядах динамики носит не только приближенный, но и условный характер. Поэтому ее следует рассматривать как предварительный этап в разработке прогнозов. Для составления прогноза должна быть привлечена информация, не содержащаяся в самом динамическом ряду. Например, имеются данные об объеме товарооборота фирмы «ДДД» за последние 4 года, представленные в табл (гр. А, 1). Необходимо построить аддитивную модель данного временного ряда и выполнить прогноз наследующие два квартала. Выполним ряд действий. 1. Проведем выравнивание объема продаж методом скользящей средней с периодом скольжения, равным 4 * . Для этого Просуммируем уровни ряда за каждые четыре квартала, последовательно сдвигаясь на один квартал 22+28+34+27=111; 28+34+27+31=120 и т.д. Результаты занесем в графу Итого за год, табл. 6.1. Разделим полученные годовые объемы на 4, найдем скользящие средние и т.д. См. графу «СС(4)», табл. 6.1. Центрируем полученные скользящие средние – найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних и занесем в графу Цен- трир. СС», табл 27,8+30=28,9; 30+33,8=31,9 и т.д. * Период скольжения был взят равным 4, т.к. предположим, что предварительно было определено, что временной ряд имеет достаточно высокий по сравнению с другими коэффициент автокорреляции четвертого порядка, что говорит о наличии сезонных колебаний с периодичностью в четыре квартала Таблица 6.1 Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели № квартала Оборот, тыс (y) Итого за год СС(4) Центрир. СС Сезонная компонента S А 1 2 3 4 5 1 22 - - - 2 28 - - - 3 34 111 27,8 28,9 5,1 4 27 120 30,0 31,9 -4,9 5 31 135 33,8 34,9 -3,9 6 43 144 36,0 37,8 5,3 7 43 158 39,5 41,4 1,6 8 41 173 43,3 44,5 -3,5 9 46 183 45,8 47,4 -1,4 10 53 196 49,0 - 11 56 - - - 2. Найдем сезонную компоненту S как разность между продажами и центрированной скользящей средней 34-28,9=5,1; 27-31,9=-4,9 и т.д. Запишем их в графу Сезонная компонента S» табл. 6.1. Используем полученные оценки для расчета значений сезонной компоненты. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты, для чего построим дополнительную таблицу (табл. Таблица 6.2 Расчет значений сезонной компоненты Показатели Год Номер квартала I II III IV 1 - - 5,1 -4,9 2 -3,9 5,3 1,6 -3,5 3 -1,4 - - - Итого за i-ый квартал (за все годы) -5,3 5,3 6,7 -8,4 Среднее значение сезонной компоненты -2,65 5,3 3,35 -4,2 Скорректированная сезонная компонента -3,1 4,85 2,9 -4,65 В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются, следовательно, сумма сезонных компонент по всем кварталам должна быть равна нулю. Проверим -2,65+5,3+3,35+-4,2=1,8. Так как равенство нулю не выполняется, необходимо ввести корректирующий коэффициент. Он рассчитывается как сумма средних сезонных компонент, деленная на их количество. В данном случае сумма сезонных компонент равна 1,8. Корректирующий коэффициент равен 0,45. Скорректируем сезонные компоненты -2,65-0,45 = -3,1; 5,3–0,45 = 4,85; 3,35-0,45 = 2,9; -4,2-0,45 = -4,65. 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая среднюю сезонную компоненту из каждого уровня ряда 22-(-3,1)=25,1; 28-4,85=23,15; 34- 2,9=31,1; 27-(-4,65)=31,65; 31-(-3,1)=34,1 и т.д. Результаты занесем в табл. Таблица 6.3 Номер квартала Оборот, тыс (Y) Сезонная компонента 31,65 5 31 -3,10 34,10 6 43 4,85 38,15 7 43 2,90 40,10 8 41 -4,65 45,65 9 46 -3,10 49,10 10 53 4,85 48,15 11 56 2,90 53,10 Полученные значения содержат только тренд и случайную компоненту. Их можно использовать для построения модели тренда. Если нанести эти значения на диаграмму, можно сделать вывод о существовании линейного тренда. 4. Определим тренд (Т. Для этого рассчитаем параметры a и b уравнения линейного тренда t b a y t ˆ и коэффициент детерминации R 2 1 Сумма значений сезонной компоненты в мультипликативной модели по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле (в данном случае – 4). Корректирующий коэффициент рассчитывается как число периодов в цикле, деленное на сумму средних оценок сезонной компоненты В общем случае тренд необязательно является линейным вполне возможно, что наиболее подходящей окажется нелинейная зависимость изучаемого показателя от времени. Тогда необходимо будет оценить параметры уравнения нелинейного тренда и R 2 . В результате вычислений были получены следующие значения а = 20,23; b = 2,98; R 2 = 0,97. Уравнение линейного тренда принимает следующий виду. Последним этапом построения аддитивной модели является расчет уровней ряда, полученных случайных отклонений Е. Добавим в табл. 6.3 еще две колонки (табл. 6.4). Расчетные значения тренда получены таким образом для I квартала 20,23+2,98*1=23,21; для II квартала 20,23+2,98*2=26,19 и т.д. Случайная компонента (ошибка) рассчитана как E = Y – T – S: Таблица 6.4 Расчет выровненных значений Т и ошибок Е Номер квартала Оборот, тыс (y t ) Сезонная компонента (S t ) Y t – S t = T+E Расчетные значения тренда (T) Случайное отклонение Е) 1 22 -3,10 25,10 23,21 1,89 2 28 4,85 23,15 26,20 -3,05 3 34 2,90 31,10 29,18 1,92 4 27 -4,65 31,65 32,16 -0,51 5 31 -3,10 34,10 35,14 -1,04 6 43 4,85 38,15 38,12 0,03 7 43 2,90 40,10 41,10 -1,00 8 41 -4,65 45,65 44,09 1,56 9 46 -3,10 49,10 47,07 2,03 10 53 4,85 48,15 50,05 -1,90 11 56 2,90 53,10 53,03 0,07 для I квартала 22-23,21-(-3,1)=1,89; для II квартала 28-26,19-4,85=-3,04 и т.д. 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Прогнозные значения по аддитивной модели рассчитываются как сумма тренда и сезонной компоненты F = T + S. На XII квартал прогнозное значение оборота фирмы составит y 12 =20,23+2,98*12+(-4,65)=51,34 $ тыс на XIII кварталу тыс. и т.д. 2. Доверительный интервал прогноза На основе перечисленных выше моделей временного ряда дается точечная оценка прогноза. Точечный прогноз представляет собой числовое значение прогнозируемого показателя, полученное для желаемого периода прогнозирования. Однако более надежный прогноз предполагает оценку его в интервале, ибо полное совпадение фактического и прогнозируемого уровней временного ряда маловероятно. Даже если выбор модели и формы уравнения тренда удачен, фактическая реализация события может отличаться от прогнозируемой, т.к. уровни временного ряда содержат также случайную компоненту , те. у. Наличие ее, а также возможная ошибка параметров модели (в том числе параметров тренда), оцениваемых по ограниченному числу наблюдений, учитываются в доверительном интервале прогноза. В основе расчета доверительного интервала прогноза лежит показатель колеблемости уровней динамического ряда относительно тренда (S y ). Чем больше этот показатель, тем шире интервал прогноза при одной и той же степени вероятности. Колеблемость уровней временного ряда относительно тренда называется стандартной ошибкой аппроксимации и определяется по формуле m n y y S t t y 2 ) ˆ ( (6.3) где t yˆ - точечный прогноз, расчитанный по модели, y t – фактические уровни временного ряда, n – число уровней ряда, m – число параметров в уравнении тренда. Тогда доверительный интервал составит y t S t y ˆ , (6.4) где t a - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости α. Доверительные границы (рассмотрим на примере линейного тренда, рис. 6.1) выглядят в виде ветвей гиперболы, ограничивающих доверительную область, и располагаются выше и ниже линии тренда. 3. Автокорреляция При анализе моделей нельзя забывать об автокорреляции. Она встречается при использовании данных временных рядов. Рис. 6.1. Доверительные интервалы линейного уравнения тренда АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ – это корреляция между членами одного итого же динамического ряда. Степень автокоррелированности обычно измеряется с помощью коэффициента корреляции, который называется в данном случае коэффициентом ав- токорреляции. Коэффициент автокорреляции уровней ряда го порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1, рассчитывается по формуле) где 1 2 1 n y y n t t и 1 2 1 Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции го ибо- лее высоких порядков. Коэффициент автокорреляции практически рассчитывается по формуле линейного коэффициента корреляции. Поэтому его значения изменяются в пределах. Чем ближе его значение к 1, тем сильнее зависимость текущих уровней временного ряда от предыдущих. Рассмотрим пример. Имеются некоторые данные о расходах наконечное потребление залет (табл. 6.5, гр. А, 1). Необходимо измерить тесноту связи между расходами наконечное потребление текущего и предыдущего годов с помощью коэффициента автокорреляции го иго порядка. Для этого добавим в табл. 6.6 временной ряд y t-1 (гр. 2 табл. 6.5). Таблица 6.5 Расчет коэффициента автокорреляции ого порядка для динамического ряда расходов наконечное потребление, де. t y t y t-1 1 y y t 2 1 y y t ) ( * ) ( 2 1 1 y y y y t t 2 1 ) ( y y t 2 А 1 2 3 4 5 6 7 1 7 - - - - - - 2 8 7 -3,29 -3 9,87 10,8241 9 3 8 8 -3,29 -2 6,58 10,8241 4 4 10 8 -1,29 -2 2,58 1,6641 4 5 11 10 -0,29 0 0,00 0,0841 0 6 12 11 0,71 1 0,71 0,5041 1 7 14 12 2,71 2 5,42 7,3441 4 8 16 14 4,71 4 18,84 2,1841 16 Итого 86 70 -0,03 * 0 44,0 53,4287 38 * Сумма неравна нулю ввиду наличия ошибок округления Коэффициент автокорреляции уровней ряда го порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1, рассчитывается по формуле. Для данных примера 29 , 11 7 79 7 16 14 12 11 10 8 8 1 y ; 10 7 70 7 14 12 11 10 8 8 Тогда коэффициент автокорреляции го порядка равен 976 , 0 38 * 42 , 53 44 Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами наконечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, наличии во временном ряде расходов наконечное потребление сильной линейной тенденции. Коэффициент автокорреляции го порядка характеризует тесноту связи между уровнями y t и y t-2 : n t n t t t n t t t y y y y y y y y r 3 3 2 4 2 2 3 3 4 2 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( , (6.6) где 2 3 3 n y y n t t ; 2 3 2 Вспомогательные расчеты для коэффициента корреляции ого порядка выполним в табл. 6.6. Для данных примера 3 y = 11,83; 4 y = 9,33. Тогда r 2 = 0,973. Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов наконечное потребление содержит линейную тенденцию. Коэффициент автокорреляции обладаетдвумя важными свойствами 1. Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить только о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. 2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию. Таблица 6.6 Расчет коэффициента автокорреляции ого порядка для динамического ряда расходов наконечное потребление, де. t y t y t-2 3 y y t 4 2 y y t ) ( * ) ( 4 2 3 y y y y t t 2 3 ) ( y y t 2 А 1 2 3 4 5 6 7 1 7 - - - - - - 2 8 - - - - - - 3 8 7 -3,83 -2,33 8,9239 14,6689 5,4289 4 10 8 -1,83 -1,33 2,4339 3,3489 1,7689 5 11 8 -0,83 -1,33 1,1039 0,6889 1,7689 6 12 10 0,17 0,67 0,1139 0,0289 0,4489 7 14 11 2,17 1,67 3,6239 4,7089 2,7889 8 16 12 4,17 2,67 11,1339 17,3889 7,1289 Итого 86 56 0,02 * 0,02 * 27,3334 40,8334 19,3334 * Сумма неравна нулю ввиду наличия ошибок округления Для оценки качества уравнения тренда часто используется автокорреля- ция в остатках. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ В ОСТАТКАХ – корреляционная зависимость между значениями остатков е за текущий и предыдущие моменты времени. Если в модели учтены не все факторы, то остаток в уравнении тренда подвергается их воздействию. Следовательно, если значения неучтенных переменных коррелированны в разных наблюдениях, то и остатки в разных наблюдениях будут коррелированны. Автокорреляция представляет большую проблему в случае незначительного интервала между наблюдениями. Существует ряд способов обнаружения автокорреляции остатков. Наиболее простым можно считать критерий Дарбина-Уотсона (авторы Дарбин и Уотсон). Рассчитывается статистика d: n t t n t t t e e e d 1 2 2 2 1 ) ( , 4 0 d . (6.7) Для нее найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу о наличии или отсутствии автокорреляции. Определены верхние в и нижние н границы при 1, 2,5 и 5% уровнях значимости. В зависимости от интервала, в который попадает значение d, принимается определенный вывод (табл. 6.7), значения d нив. определяются из таблицы значений статистик Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости. Критерий Дарбина-Уотсона обладает двумя существенными недостатками наличие области неопределенности, в которой с помощью данного критерия нельзя прийти ник какому решению. при объеме выборки меньше 15 для d не существует критических значений нив Таблица 6.7 Значение статистики d Вывод в d d в d 4 Принимается гипотеза автокорреляция отсутствует. н d d 0 Принимается гипотеза о существовании положительной автокорреляции остатков. в d d н d инв Приданном уровне значимости нельзя прийти к определенному выводу. 4 4 d н d Принимается гипотеза о существовании отрицательной автокорреляции остатков. 4. Общая характеристика моделей с распределенным лагом В предыдущих темах рассматривались преимущественно динамические модели, получившие широкое распространение в экономике. Однако к числу динамических относятся не только модели, построенные повременным рядам данных. Термин динамический может характеризовать каждый момент времени t в отдельности, а не весь период, для которого строится модель. Модель является ДИНАМИЧЕСКОЙ, если в данный момент времени t она учитывает значение входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, таки к предыдущим моментам времени, те. если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени. Для экономических процессов характерно моделирование ситуаций, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формиру- етсяпод воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t-1, t-2, …, t-l. Например, на размер выручки от реализации или прибыль предприятия в текущем периоде могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные предприятием в предшествующие моменты времени. И вот здесь необходимо ввести ряд новых понятий. Обычно модели содержат эндогенные и экзогенные переменные. ЭНДОГЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ – у, зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. ЭКЗОГЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ – х, предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, ноне зависящие от них. Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других – как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные. Так, потребление текущего года (y t ) может зависеть не только отряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y t-1 ). ЛАГ – величина l, характеризующая запаздывание в воздействии фактора на результат. Можно выделить следующие причины наличия лагов в экономике психологические, технологические, институционные, механизмы формирования экономических показателей. ЛАГОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ – временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени. Разработка экономической политики требует решения обратного типа задач, те. задач, определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов ИЛИ Как может измениться объем ВВП, произведенного в периоде (t+1), под воздействием увеличения денежной массы в периоде t ? ВРЕМЕННОЙ ЛАГ - это показатель, отражающий отставание или опережение во времени одного явления по сравнению с другим (например, время от момента вложения средств дополучения отдачи. Лаги играют весьма существенную роль в экономической активности, но трудность их измерения усложняет задачу моделирования экономических систем. Моделирование процессов, которые были охарактеризованы выше, осуществляется с применением моделей с распределенным лагом. МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ – модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных (объясняющих, экзогенных) переменных. Например, предприятие производит продукцию А. Пусть y t – выпуск продукции предприятием в год t. Данный выпуск может зависеть не только от инвестиций I t в этот годно и от инвестиций в предыдущие годы k t k t t t I b I b I b a y 1 Получается, что результирующая переменная (y t ) с запаздыванием реагирует на изменение объясняющей переменной (I t ). Например, на величину чистого экспорта оказывает влияние процентная ставка. При этом влияние изменений процентной ставки происходит с задержкой во времени (лаг. Так при подписании экспортно-импортных контрактов учитывается текущая ситуация, а выполняются они лишь через несколько месяцев. Поэтому целесообразно заменить объясняющую переменную на лаг в 1 год. Обе эти модели содержат лагированные значения переменных, но первая модель содержит лагированные объясняющие переменные, а вторая – лагиро- ванную результирующую переменную, соответственно первая является примером модели с распределенным лагом, а вторая – авторегрессионной модели с распределенным лагом. Таким образом, необходимо различать 2 вида моделей Модели вида t t t t e x b x b a y 1 1 0 (6.8) t t t t e y b x b a y 1 1 0 (6.9) Обе модели содержат лагированные значения переменных, НО я модель – пример модели с распределенным лагом, DL(1) 2 , я модель – модель авторегрессии с распределенным лагом, В обеих моделях отклик за 1 период = Тогда, суммарное влияние будет равно в модели (6.8) b 0 + в модели (6.9) b 0 + b 0 *b 1 + b 0 *(b 1 )2 + … Действительно, если y t-1 изменится на b 0 единиц, то y t изменится на единиц и т.д. Если выполнено неравенство |b 1 | < 1 , то ряд сходится к b 0 /(1-b 1 ). Условие |b 1 | < 1 является условием устойчивости, и встречается в томили ином виде во всех моделях с авторегрессиоными членами. Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику) оценка параметров моделей в большинстве случаев не может быть произведена с помощью обычного метода наименьших квадратов, т.к. нарушаются его предпосылки и поэтому требуются специальные статистические методы) экономистам приходится решать проблему выбора оптимальной величины лага и определения его структуры 3) между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, ив некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому. Рассмотрим модели более подробно. 5. Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом Рассмотрим модель с распределенным лагом. Предположим, что максимальная величина лага конечна, тогда модель примет вид t l t l t t t e x b x b x b a y 1 1 0 (6.10) 2 В скобках указан максимальный лаг. DL – distributed lags 3 В скобках указаны максимальный лаг для эндогенной и экзогенной переменных. Модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять назначение переменной у в течение l следующих моментов времени. Коэффициент регрессии b 0 при переменной х характеризует среднее абсолютное изменение у при изменении x t на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений факторах. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором. В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной x t на результату составит (b 0 + b 1 ) усл.ед.; в момент (t + 2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b 0 + b 1 + b 2 ) и т.д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами. С учетом конечной величины лага (для максимального лага) можно сказать, что изменение переменой x t в момент времени t на 1 условную единицу приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b 0 + b 1 +…+ b l ) абсолютных единиц. Если ввести обозначение b 0 + b 1 +…+ b l = b. То величина b – долгосрочный мультипликатор. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде (t + l) результата у под влиянием изменения на 1 единицу факторах. Вклад отдельного лага или относительные коэффициенты модели с распределенным лагом определяется по формуле b b w j j , (6.11) где b j – коэффициенты при переменных b – долгосрочный мультипликатор. При этом всегда выполняется свойство 1 Кроме того, w j являются весами соответствующих коэффициентов Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t + j). Зная величины w j , с помощью стандартных формул можно определить еще одну важную характеристику модели с распределенным лагом – величину среднего лага. Средний лаг модели представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием фактора в момент времени t: l j j w j l 0 . (6.12) Те. он позволяет измерить скорость реакции у на изменение х. Малые значения среднего лага соответствуют относительно быстрой реакции результата у на изменение факторах. Высокие значения говорят о том, что воздействие факторах на результату замедленно, те. будет сказываться в течение длительного периода времени. Например, по результатам изучения зависимости объема продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом (млн.руб.): ух. Необходимо рассчитать все мультипликаторы, вклад каждого лага, средний лаг. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Краткосрочный мультипликатор в данном примере будет равен 4,5. Это значит, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. ведет к среднему росту продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде. Под влиянием роста расходов на рекламу объем продаж компании увеличился в момент времени t на 4,5 млн. руб (t+1) – на 4,5+3,0 = 7,5 млн. руб (t+2) – на 7,5+1,5 = 9,0 млн. руб. – промежуточные мультипликаторы. Долгосрочный мультипликатор b = 4,5+3,0+1,5+0,5 = 9,5. В долгосрочной перспективе (например, через 3 мес) увеличение расходов на рекламу в настоящий момент времени на 1 млн. руб. приведет к общему росту объема продаж на 9,5 млн. руб. Рассчитаем вклад каждого лага w 1 = 4,5/9,5 = 0,474 w 2 = 3,0/9,5 = 0,316 w 3 = 1,5/9,5 = 0,158 w 4 = 0,5/9,5 = 0,053 Проверим 0,474+0,316+0,158+0,053 = 1. Следовательно, 47,4% общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затратна рекламу, происходит в текущем моменте 31,6% - в момент (t+1); 15,8% - в момент (t+2); и только 5,3% этого увеличения приходится на момент времени (t+3). Средний лаг модели будет равен 791 , 0 053 , 0 3 158 , 0 2 316 , 0 1 474 , 0 0 l мес. Небольшая величина лага (менее 1 мес) подтверждает, что большая часть эффекта роста затратна рекламу проявляется сразу же. Обратимся теперь к модели авторегрессии. АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ – это модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают также значения результирующих переменных у 1 0 (6.13) Как ив модели с распределенным лагом, b 0 – краткосрочный мультипликатор – краткосрочное изменение y t под воздействием изменения x t на 1 единицу. Промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в моделях авторегрес- сии несколько иные. К моменту времени (t+1) результат y t изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на b 0 единица под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени – на b 1 единиц. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент (t+1) составит b 0 b 1 единиц – промежуточный мультипликатор. Аналогично в момент времени (t+2) абсолютное изменение результата составит b 0 (b 1 ) 2 единиц и т.д. – промежуточный мультипликатор. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрес- сии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов Учитывая, что практически вовсе модели авторегрессии вводится так называемое условие стабильности (коэффициент регрессии при переменной y t-1 по абсолютной величине меньше единицы, те. |b 1 | < 1). Расчет долгосрочного мультипликатора можно преобразовать 1 0 3 1 2 1 1 0 1 ...) 1 ( b b b b b b b , (6.15) где |b 1 | < 1. Например, по результатам исследования была получена модель авторег- рессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год млн. руб) от среднедушевого совокупного годового дохода (млн. руби объема потребления предшествующего года y t = 3 + 0,85 x t + 0,10 y t-1 . Необходимо рассчитать все мультипликаторы, вклад каждого лага, средний лага также дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Краткосрочный мультипликатор в данном примере будет равен 0,85 (предельная склонность к потреблению в краткосрочном периоде увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приводит к росту объема потребления в тот же год в среднем на 850 тыс. руб. Промежуточные мультипликаторы (промежуточные показатели предельной склонности к потреблению) определяем, рассчитав необходимые частные суммы за соответствующие периоды времени момент времени (t+1) – 0,85+0,85*1 = 0,935. Это означает, что рост среднедушевого совокупного дохода в текущем периоде на 1 млн. руб. ведет к увеличению объема потребления в среднем на 935 тыс. руб. в ближайшем следующем периоде. Долгосрочный мультипликатор (предельная склонность к потреблению 944 , 0 1 , 0 1 85 , 0 b . В долгосрочной перспективе рост среднедушевого совокупного дохода приведет к росту объема потребления в среднем на 944 тыс. руб. Такая интерпретация коэффициентов модели и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага ввоз- действии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения. 6. Оценка параметров моделей с распределенным лагом и прогнозирование Текущие и лаговые значения факторной переменной оказывают различное по силе воздействие на результативную переменную модели. Количественно сила связи между результатом и значениями факторной переменной, относящимся к различным моментам времени, измеряется с помощью коэффициентов регрессии при факторных переменных. Если построить график зависимости коэффициентов b j от величины лага ОХ – j, OY – b j ) можно получить графическое изображение структуры лага или распределение во времени воздействия факторной переменной на результат. Структура лага может быть различной. С учетом структуры лага разработано несколько методов для оценки параметров моделей. Рассмотрим некоторые из них. 1) Модель полиномиальных лагов (метод Алмон) Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют также лагами Алмон, по имени Ш. Алмон, впервые обратившей внимание на такое представление лагов. В основе модели Алмон лежит предположение, что веса коэффициентов в модели (6.10) могут аппроксимироваться полиномами определенной степени от величины лага j. Формально модель зависимости коэффициентов b j от величины лага j в форме полинома можно записать в следующем виде • для полинома й степени b j = с + с • для полинома й степени b j = с + с + c 2 j 2 , • для полинома й степени b j = c 0 + c 1 j + c 2 j 2 + си т.д. В наиболее общем виде для полинома й степени имеем k k j j c j c j c c b 2 2 1 0 (6.16) Для простоты предположим l j j t l t t t t x x x x x z 0 2 1 0 l j j t l t t t t x j x l x x x z 1 3 2 1 1 3 2 l j j t l t t t t x j x l x x x z 1 2 2 3 2 1 2 9 4 … l j j t k l t k t k t k t k x j x l x x x z 1 3 2 1 3 2 (6.17) С учетом всех преобразований модель (6.10) будет выглядеть следующим образом y t = a + c 0 Z 0 + c l z l +c 2 z 2 + … + c k z k + t . (6.18) Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом. 1. Определяется максимальная величина лага l. 2. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага. 3. По соотношениям (6.17) рассчитываются значения переменных z 0 ,…,z k 4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии (6.18). 5. C помощью соотношений (6.16) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом. Например, имеются данные об объеме выпуска продукции в бизнес- секторе экономики США и общей сумме расходов на приобретение новых заводов и оборудования в промышленности за 1989-2000 гг. (табл. 6.8, гр. А. Требуется построить модель с распределенным лагом методом Алмон. Будем строить модель с распределенным лагом для l = 3 в предположении, что структура лага описывается полиномом й степени t t t t t t x b x b x b x b a y 3 3 2 2 1 Для полинома й степени имеем 2 2 1 0 j c j c c b j , j = 0 4. Для расчета параметров этой модели необходимо провести преобразование в исходных данных в новые переменные z 0 , z 1 , z 2 : 4 3 2 х 4 3 2 1 1 4 3 2 t t t t x x x x z ; 4 3 2 1 2 16 Таблица 6.8 Динамика объемов ВВП США (у, в ценах 1987 г, млрд. долл. США) и валовых внутренних инвестиций в экономику США х, в ценах 1987 г, млрд. долл. США) Год А 1 2 3 4 5 2000 1931,3 296,4 2001 1973,2 290,8 2002 2025,6 289,4 2003 2129,8 321,2 1197,8 1760,2 4120,2 2004 2218,0 343,3 1244,7 1772,4 4096,0 2005 2343,3 371,8 1325,7 1853,9 4232,7 2006 2473,5 413,0 1449,3 2022,0 4635,8 2007 2622,3 438,0 1566,1 2186,5 4989,9 2008 2690,3 418,6 1641,4 2379,4 5436,2 2009 2801,0 440,1 1709,7 2533,6 5887,6 2010 2877,1 461,3 1758,0 2591,3 6056,5 2011 2875,8 429,7 1749,7 2597,3 5989,1 Значения переменных z 0 , z 1 , z 2 приводятся в табл. 6.8, гр. 3, 4, 5. При этом число наблюдений, по которым производился расчет этих переменных, составило (три наблюдения было потеряно вследствие сдвига факторного признаках, натри момента времени. Расчет параметров уравнения регрессии (6.18) обычным МНК для примера приводит к следующим результатам Y t = 587,74 + 1,496z 0 - 0,316z 1 + 0,178z 2 ; R 2 = 0,9962 Воспользовавшись найденными коэффициентами регрессии при переменных рассчитаем коэффициенты регрессии исходной модели b 0 = 1,496 b 1 = 1,496 – 0,316 = 1,258 b 2 = 1,496 + 2*(-0,316) + 4*0,178 = 1,176 b 3 = 1,496 + 4*(-0,316) + 9*0,178 = 1,25 Модель с распределенным лагом имеет вид Y t = 587,74+1,496x t +1,258x t-1 +1,176x t-2 +1,25х t-3 Анализ этой модели показывает, что рост инвестиций в экономику США на 1 млрд. долл. в текущем периоде приведет через 3 года к росту ВВП в среднем на (587,74 + 1,496 + 1,258 + 1,176 + 1,25) = 5,18 млрд. долл. США. Определим относительные коэффициенты регрессии w 0 = 1,496/5,18 = 0,289; w 1 = 1,258/5,18 = 0,243; w 2 = 1,176/5,18 = 0,227; w 3 = 1,25/5,18 = 0,241. Более половины воздействия фактора на результат реализуется с лагом в 1 год, причем 28,9% этого воздействия реализуется сразу же, в текущем периоде. Средний лаг в данной модели составит 0*0,289+1*0,243+2*0,227+3*0,241 = 1,42. В среднем увеличение инвестиций в экономику США приведет к увеличению ВВП через 1,42 года. Применение метода Алмон сопряжено с рядом проблем. Во-первых, величина лага l должна быть известна заранее. При ее определении лучше исходить из максимально возможного лага, чем ограничиваться лагами небольшой длины. Выбор меньшего лага, чем его реальное значение, приведет к тому, что в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат, тек неверной спецификации модели. Выбор большей величины лага по сравнению с ее реальным значением будет означать включение в модель статистически незначимого фактора и снижение эффективности полученных оценок, однако эти оценки все же будут несмещенными. Существует несколько практических подходов к определению реальной величины лага. Наиболее простым способом является измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями фактора. Кроме того, оптимальную величину лага можно приближенно определить на основе априорной информации экономической теории или проведенных ранее эмпирических исследований. Во-вторых, необходимо установить степень полинома k. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов й и й степени, применяя следующее простое правило выбранная степень полинома k должна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Если априорную информацию о структуре лага получить невозможно, величину к проще всего определить путем сравнения моделей, построенных для различных значений к, ивы- бора наилучшей модели. В-третьих, переменные z, которые определяются как линейные комбинации исходных переменных х, будут коррелировать между собой в случаях, когда наблюдается высокая связь между самими исходными переменными. Поэтому оценку параметров модели (6.18) приходится проводить в условиях мультиколлинеарности факторов. При этом метод Алмон имеет два неоспоримых преимущества • Он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов. • При относительно небольшом количестве переменных в (6.18) (обычно выбирают k = 2 или k = 3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины. 2) Модель геометрических лагов (модель Койка) Лаги, в которых воздействия лаговых значений фактора на результат уменьшаются с увеличением величины лага в геометрической прогрессии, имеют геометрическую структуру. Впервые подход к оценке параметров моделей с распределенным лагом, имеющих геометрическую структуру, был предложен Л.М. Койком. Койк предположил, что существует некоторый постоянный темп уменьшения (0 < < 1) во временя лаговых воздействий фактора на результат j j b b 0 ; j = 0, 1, 2, … (6.19) Чем ближе к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора Преобразования приводят нас к получению модели Койка t t t t и у x b a y 1 0 ) 1 ( ) 1 ( (6.20) где и = t - Полученная модель есть модель двухфакторной линейной регрессии точнее — авторегрессии). Определив ее параметры, можно найти и оценки параметров аи исходной модели. Это, кроме всего прочего, снимает одну из острых проблем моделей с лагами – проблему мультиколлинеарности. Далее с помощью соотношений (6.19) несложно определить параметры b 1 , b 2 ,... модели (6.20). При этом геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка. Поскольку сумма коэффициентов регрессии в модели (6.10) есть сумма геометрической прогрессии 1 1 0 0 b b j j , то средний лаг определяется как 1 l (6.21) Медианный лаг в модели Койка равен ln 5 , 0 ln Me l (6.22) При применении преобразования Койка возможны следующие проблемы среди объясняющих переменных появляется переменная y t-1 , которая, в принципе, носит случайный характер, что нарушает одну из предпосылок МНК. Кроме того, данная объясняющая переменная часто коррелирует со случайным отклонением и если для случайных отклонений t , t-1 исходной модели выполняется предпосылка МНК, согласно которой сумма отклонений i , а также среднее значение отклонения равны нулю, то для случайных отклонений и, очевидно, имеет место автокорреляция; при указанных выше проблемах оценки, полученные по МНК, являются смещенными и несостоятельными. |