Билеты алгем. 9. Теорема КронекераКапелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений. Теорема КронекераКапелли (критерий совместности слу)

• Название: 9. Теорема КронекераКапелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений. Теорема КронекераКапелли (критерий совместности слу)
• Дата: 07.12.2021
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: Билеты алгем.docx
• Тип: Документы; #294736

9. Теорема Кронекера-Капелли.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Теорема о размерности пространства решений.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ): 

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы

СЛУ совместна r(A) = r(A | )

Доказательство:

=> ∃ : ( ), что A* =

α₁ + α₂ + … + α_n = , ∈ < , … , >

< , … , , > = < , … , >;

dim< , … , , > = dim< , … , >;

|| ||

r_c ( A | ) = r_c(A)

<= r_c (A) = r_c ( A | ) => dim< , … , , > = dim< , … , >

< , … , > ⊆ < , … , , >

↓

< , … , > = < , … , , >, тогда ∈ < , … , >

Пусть дана однородная система линейных уравнений

(1)

Множество всех решений этой системы образует подпространство пространства R₀, называемое пространством решений системы

Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ) – базис пространства R₀

Теорема о размерности пространства решений.

Размерность пространства решений системы равна n – r(A), где n — число неизвестных в системе, а r(A) — ранг основной матрицы системы.

dimR₀ = n – r(A)

Доказательство: r = r(A)

1. 
   Выберем наибольший ненулевой минор (r*r)
   

Б.О.О. это M_{{1,..,r}{1,..,r}}

2) первые r строк матрицы A – базис пространства строк А т.е. ур-ие с r+1 до m – следствия ур-ий с 1 по r.

Итак ОСЛУ (1) эквивалентны.
(2)

3) перенесем все переменные кроме x₁…x_r в первую часть и придадим им любые значения из F.


По т.Крамера (3) имеет ровно 1 решение

α₁ α₂ … α_r | α_r+1 α_r+1 … α_n

= ( α₁₁ α₂₁ … α_r1 | 1 0 … 0 )

= ( α₁₂ α₂₂ … α_r2 | 0 1 … 0 )

= ( α₁₃ α₂₃ … α_r3 | 0 0 … 0 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= ( α_1n-2 α_2n-2 … α_rn-2 | 0 0 … 1 )

4) убедимся, что (( )^T…( )^T) – Базис R₀.

β₁ + … + β_n-2 =

cм. на компоненту r + I; β_i * 1 = 0 => β_i = 0 т.е. ( … ) – ЛНЗ

Убедимся, что <( )^T…( )^T> = R­₀

⊇

( )^T ∈ R­₀

( )^T = (c₁, c₂, … , c_r, c_r+1, c_r+2, … , c_n)

( )^T = ( )^T - c_r+1( )^T - c_r+2( )^T - … - c_n( )^T ∈ R­₀

( )^T ₌ (d₁, d₂, … , d_r, 0, 0, … , 0) по построению

По т.Крамера для (3) при α_r+1 = α_r+2 = … = α_n = 0

d₁ = d₂ = … = d_r = 0

Итак = => = ( )^T = c_r+1( )^T + c_r+2( )^T + … + c_n( )^T ∈ <( )^T…( )^T>

10. Линейное отображение и линейный оператор.

Теорема существования и единственности линейного отображения.

Матрица линейного отображения в базисах и оператора в

базисе.

Изменение матрицы отображения при замене базисов.

Линейное отображение (ЛО_т) Ꭿ: U -> V

1. 
   ∀ , ∈ U Ꭿ( + ) = Ꭿ( )+ Ꭿ( )
   
2. 
   ∀α ∈ F; Ꭿ(α ) = α*Ꭿ( )
   

1^’) ∀α, β ∈ F; , ∈ U Ꭿ(α ) = α*Ꭿ( ) + β*Ꭿ( )

V = U => линейное отображение Ꭿ = линейный оператор d

Теорема существования и единственности линейного отображения

U, V ЛП над F

b = ( , … , ) – базис U

c = ( , … , ) – упорядоченная система векторов внутри V (из V), тогда

∃! ЛО_т Ꭿ: U -> V, что ∀i ∈ {1..n} Ꭿ( ) =

Доказательство:

∃ ∈ U => ∃! u_1,­u₂… u_n ∈ F = u₁ + … + u_n

Ꭿ( ) = u₁ + … + u_n ( ∀i : Ꭿ( ) = )

1) ∈ U = v₁ + … + v_n

1. 
   Ꭿ( + ) = (u₁ + v₁) + … + (u_n + v_n) = Ꭿ( )+ Ꭿ( )
   
2. 
   Ꭿ(α ) = αu₁ + … + αu_n = α*Ꭿ( )
   

! Ᏸ: U->V ( ∀i : Ᏸ ( ) = )

∀ ∈ U Ꭿ( ) = u₁ + … + u_n = u₁Ᏸ ( ) + … + u_nᏰ ( ) = Ᏸ( u₁ + … + u_n ) =Ᏸ( ) => Ꭿ = Ᏸ



b = ( , … , ) – базис U

c = ( , … , ) – базис V

Рассмотрим [Ꭿ]_cb = ([Ꭿ( )]_c, … , [Ꭿ( )]_c )

[Ꭿ]_cb – матрица линейного оператора от Ꭿ в базисах b и c.

U = V, c = b : [Ꭿ]_bb = [Ꭿ]_b – матрица ЛО Ꭿ в базисе b.

Изменение матрицы отображения при замене базисов.







11. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на скаляр.

Изоморфизм векторных пространств линейных операторов и матриц.

Характеристический многочлен линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли для линейных операторов.



∀ ∈ U (Ꭿ+Ᏸ)( ) = Ꭿ( )+ Ᏸ( )



∀ ∈ U, α ∈ F (αᎯ)( ) = α*Ꭿ( )

Изоморфизм векторных пространств линейных операторов и матриц







12. Образ и ядро линейного оператора.

Теорема о размерности образа и ядра.

Алгоритмнахождения базисов образа и ядра.

Пусть Ꭿ - линейный оператор в векторном пространстве V (Ꭿ: V -> V)

Образом Ꭿ называется множество всех векторов, ∈ V таких, что Ꭿ( ) = для некоторого ∈ V

ImᎯ = { ∈ V | ∃ ∈ V Ꭿ( ) = }

Ядром Ꭿ называется множество всех векторов ∈ V таких, что Ꭿ( ) = 0

KerᎯ = { ∈ V | Ꭿ( ) = 0}

Размерность образа линейного оператора Ꭿ называется рангом Ꭿ

r(Ꭿ) = dimImᎯ

Размерность ядра оператора Ꭿ называется дефектом

d(Ꭿ) = dimKerᎯ

Теорема о размерности образа и ядра: r(Ꭿ) + d(Ꭿ) = dimV





Алгоритм нахождения базисов образа и ядра. Алгоритм Чуркина



13. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Теоремы о собственных векторах, относящихся к одному и тому же собственному значению и к разным собственным значениям.

Собственные значения и корни характеристического уравнения оператора.

Линейные операторы, приводимые к диагональному виду



∈ V собственный вектор ЛОп Ꭿ с собственным значением α, если

1) ≠

2) Ꭿ( ) = α*

Теоремы о собственных векторах, относящихся к одному и тому же собственному значению



S_α= { \ Ꭿ( ) = α* }, тогда S_α ≤ V

Доказательство:

a, b ∈ F, , ∈ S_α

Ꭿ(a +b ) = aᎯ( ) + bᎯ( ) = aα + bα = α(a +b )

Теоремы о собственных векторах к разным собственным значениям.





Собственные значения и корни характеристического уравнения оператора





Линейные операторы, приводимые к диагональному виду