Шпаргалка Физика. Вторая часть шпаргалка (стрим 06.06). А. Н. Павликов Открытый вебинар егэ по математике. Профильный уровень. Вторая часть Вспомнить всё 6 июня 2021 1 Задача
 Скачать 216.8 Kb.
|
|
mathstudy .online А.Н.Павликов Открытый вебинар ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Вторая часть Вспомнить всё 6 июня 2021 1 Задача 13 1.1 Тригонометрия Свойства тригонометрических функций: четность/нечетность sin (−𝑥) = − sin 𝑥 cos (−𝑥) = cos 𝑥 tg (−𝑥) = − tg 𝑥 ctg (−𝑥) = − ctg 𝑥 периодичность sin (𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 cos (𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 tg (𝑥 + 𝜋) = tg 𝑥 ctg (𝑥 + 𝜋) = ctg 𝑥 Основные формулы тригонометрии sin 2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 tg 𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥 ctg 𝑥 = cos 𝑥 sin 𝑥 sin (𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑦 cos 𝑥 sin (𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑦 cos 𝑥 cos (𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 cos (𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦 sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 1 mathstudy .online cos 2𝑥 = cos 2 𝑥 − sin 2 𝑥 cos 2𝑥 = 1 − 2 sin 2 𝑥 cos 2𝑥 = 2 cos 2 𝑥 − 1 Аркфункции Арксинус. 𝑦 = arcsin 𝑥, если выполняются условия: 1. 𝑥 ∈ [−1; 1], 2. 𝑦 ∈ [− 𝜋 2 ; 𝜋 2 ], 3. sin 𝑦 = 𝑥. Арккосинус. 𝑦 = arccos 𝑥, если выполняются условия: 1. 𝑥 ∈ [−1; 1], 2. 𝑦 ∈ [0; 𝜋], 3. cos 𝑦 = 𝑥. Арктангенс. 𝑦 = arctg 𝑥, если выполняются условия: 1. 𝑦 ∈ (− 𝜋 2 ; 𝜋 2 ), 2. tg 𝑦 = 𝑥. Арккотангенс. 𝑦 = arcctg 𝑥, если выполняются условия: 1. 𝑦 ∈ (0; 𝜋), 2. ctg 𝑦 = 𝑥. Простейшие уравнения Уравнение sin 𝑥 = 𝑎 при 𝑎 ∈ [−1; 1]: 𝑥 = arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘 и 𝑥 = 𝜋 − arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑘, где 𝑘 – целое число; при 𝑎 / ∈ [−1; 1] решений нет. Уравнение cos 𝑥 = 𝑎 при 𝑎 ∈ [−1; 1]: 𝑥 = arccos 𝑎 + 2𝜋𝑘 и 𝑥 = − arccos 𝑎 + 2𝜋𝑘, где 𝑘 – целое число; при 𝑎 / ∈ [−1; 1] решений нет. Уравнение tg 𝑥 = 𝑎: 𝑥 = arctg 𝑎 + 𝜋𝑘, где 𝑘 – целое число. Уравнение ctg 𝑥 = 𝑎: 𝑥 = arcctg 𝑎 + 𝜋𝑘, где 𝑘 – целое число. Методы решения тригонометрических уравнений 1. Сведение к простейшему 2. Разложение на множители 3. Метод замены 2 mathstudy .online 4. Однородное уравнение 5. Использование формул тригонометрии 6. Метод оценки 7. Метод введения вспомогательного угла 8. Учет ОДЗ Отбор корней на отрезке 1. При помощи тригонометрической окружности; 2. При помощи двойного неравенства; 3. Метод подбора. Значения тригонометрических функций для основных углов радианы 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 2𝜋 3 3𝜋 4 5𝜋 6 𝜋 sin 𝑥 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 cos 𝑥 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 − 1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 tg 𝑥 0 √ 3 3 1 √ 3 – − √ 3 −1 − √ 3 3 0 ctg 𝑥 – √ 3 1 √ 3 3 0 − √ 3 3 −1 − √ 3 – 1.2 Показательная функция Формулы. Во всех формулах 𝑎, 𝑏 > 0. 𝑎 𝑥 · 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦 (𝑎 𝑥 ) 𝑦 = (𝑎 𝑦 ) 𝑥 = 𝑎 𝑥·𝑦 𝑎 1 = 𝑎 𝑎 0 = 1 𝑎 −𝑥 = 1 𝑎 𝑥 (𝑎𝑏) 𝑥 = 𝑎 𝑥 · 𝑏 𝑥 (︁ 𝑎 𝑏 )︁ 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 Методы решения показательных уравнений 1. Сведение к простейшему 3 mathstudy .online 2. Разложение на множители 3. Метод замены 4. Однородное уравнение Для решения простейшего показательного уравнения необходимо при- вести его к виду 𝑎 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , тогда 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥). Или привести уравнение к виду 𝑎 𝑓 (𝑥) = 𝑏, тогда 𝑓 (𝑥) = log 𝑎 𝑏. 1.3 Логарифмы Формулы. Во всех формулах 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 > 0, 𝑎 ̸= 1, 𝑏 ̸= 1 𝑎 log 𝑎 𝑥 = 𝑥 log 𝑎 1 = 0 log 𝑎 𝑎 = 1 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥 · 𝑦) log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑦 𝑛 · log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥 𝑛 1 𝑛 · log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑛 𝑥 log 𝑎 𝑥 = log 𝑏 𝑥 log 𝑏 𝑎 log 𝑎 𝑏 = 1 log 𝑏 𝑎 Методы решения логарифмических уравнений 1. Сведение к простейшему 2. Разложение на множители 3. Метод замены Для решения логарифмического уравнения необходимо привести его к виду log 𝑎 𝑓 (𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥), тогда 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥). Или привести уравнение к виду log 𝑎 𝑓 (𝑥) = 𝑏, тогда 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑏 1.4 Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения решаются возведением в квадрат обеих ча- стей уравнения с последующей проверкой найденных корней. 4 mathstudy .online 2 Задача 14 2.1 Определения и теоремы Необходимый минимум знаний из планиметрии: Теорема Пифагора; теорема косинусов; теорема Фалеса; теорема Ме- нелая; формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции. Определения и теоремы стереометрии: Параллельные прямые. Параллельность прямой и плоскости. Парал- лельные плоскости. Перпендикулярные прямые. Перпендикулярность прямой и плоско- сти. Перпендикулярные плоскости. Перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между пересекающимися прямыми, угол между скрещивающи- мися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоско- стями. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающи- мися прямыми. Два подхода к решению задач по стереометрии 1. Классический (геометрический); 2. Аналитический (координатно-векторный). 2.2 Координаты и векторы Система координат, начало отсчета, координатные оси, координатные плоскости. Вектор, его длина и направление, равенство векторов, коллинеарные векторы. Расстояние между точками 𝐴(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) и 𝐵(𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ) находится по формуле 𝐴𝐵 = √︀(𝑥 1 − 𝑥 2 ) 2 + (𝑦 1 − 𝑦 2 ) 2 + (𝑧 1 − 𝑧 2 ) 2 Координаты середины отрезка с концами 𝐴(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) и 𝐵(𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ) находятся по формулам 𝑥 = 𝑥 1 +𝑥 2 2 , 𝑦 = 𝑦 1 +𝑦 2 2 , 𝑧 = 𝑧 1 +𝑧 2 2 Скалярным произведением веторов ⃗𝑎 = {𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 } и ⃗𝑏 = {𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 } называется число 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑧 1 𝑧 2 Модуль вектора ⃗𝑎 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} находится по формуле |⃗𝑎| = √︀𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Скалярное произведение веторов ⃗𝑎 и ⃗𝑏 находится по формуле ⃗𝑎 · ⃗𝑏 = |⃗𝑎| · |⃗𝑏| cos 𝜙, где 𝜙 – угол между векторами ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Уравнение плоскости 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, где 𝑎,𝑏,𝑐 – координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. 5 mathstudy .online Расстояние от точки 𝐴(𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) до плоскости 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 находится по формуле 𝑟 = |𝑎𝑥 0 + 𝑏𝑦 0 + 𝑐𝑧 0 + 𝑑| √ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 3 Задача 15 3.1 Показательная функция Формулы. Во всех формулах 𝑎, 𝑏 > 0. 𝑎 𝑥 · 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦 (𝑎 𝑥 ) 𝑦 = (𝑎 𝑦 ) 𝑥 = 𝑎 𝑥·𝑦 𝑎 1 = 𝑎 𝑎 0 = 1 𝑎 −𝑥 = 1 𝑎 𝑥 (𝑎𝑏) 𝑥 = 𝑎 𝑥 · 𝑏 𝑥 (︁ 𝑎 𝑏 )︁ 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 3.2 Логарифмы Формулы. Во всех формулах 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 > 0, 𝑎 ̸= 1, 𝑏 ̸= 1 𝑎 log 𝑎 𝑥 = 𝑥 log 𝑎 1 = 0 log 𝑎 𝑎 = 1 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥 · 𝑦) log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑦 𝑛 · log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥 𝑛 6 mathstudy .online 1 𝑛 · log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑛 𝑥 log 𝑎 𝑥 = log 𝑏 𝑥 log 𝑏 𝑎 log 𝑎 𝑏 = 1 log 𝑏 𝑎 3.3 Неравенства Пусть ∨ – любой знак сравнения (строгий или нестрогий) и ∧ – проти- воположный ему знак. Неравенство 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑦 ∨ 0 равносильно неравенству 𝑥 − 𝑦 ∨ 0 при 𝑎 > 1 и равносильно неравенству 𝑥 − 𝑦 ∧ 0 при 0 < 𝑎 < 1. Неравенство log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 ∨ 0 на области допустимых значений рав- носильно неравенству 𝑥 − 𝑦 ∨ 0 при 𝑎 > 1 и равносильно неравенству 𝑥 − 𝑦 ∧ 0 при 0 < 𝑎 < 1. 3.4 Метод интервалов Неравенство вида (𝑥 − 𝑎 1 )(𝑥 − 𝑎 2 ) . . . (𝑥 − 𝑎 𝑛 ) ∨ 0, где 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 𝑛 – фиксированные числа такие, что 𝑎 1 < 𝑎 2 < . . . < 𝑎 𝑛 решается методом интервалов. На координатную ось наносятся числа 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 𝑛 , на образовавшихся промежутках справо налево поочередно расставляются знаки "плюс"и "минус". 3.5 Метод рационализации Пусть ∨ – любой знак сравнения (строгий или нестрогий). Неравенство 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑦 ∨ 0 равносильно неравенству (𝑎 − 1) · (𝑥 − 𝑦) ∨ 0. Неравенство log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 ∨ 0 на области допустимых значений рав- носильно неравенству (𝑎 − 1) · (𝑥 − 𝑦) ∨ 0. 4 Задача 16 4.1 Треугольник и его элементы Треугольник: его стороны, углы, внешние углы; медианы, биссектрисы, высоты, серединные перпендикуляры; 7 mathstudy .online признаки равенства треугольников; неравенство треугольника; теорема о сумме углов треугольника; соотношения между сторонами и углами треугольника. Равнобедренный треугольник: свойства и признаки. Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора; свойство медианы. Подобные треугольники: определение и признаки подобия. Теорема Фалеса. Общие треугольники: средняя линия треугольника – определение и свойства; теорема косинусов; теорема синусов; четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения меди- ан; точка пересечения биссектрис; точка пересечения высот; точка пере- сечения серединных перпендикуляров. Свойства биссектрисы: Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпенди- кулярны. Биссектриса внутреннего угла и биссектрисы двух внешних углов, не смежных в данным внутренним, пересекаются в одной точке, которая является центром вневписанной окружности этого треугольника. Биссектриса внутреннего угла и биссектриса смежного к нему внеш- него угла треугольника пересекают окружность, описанную около этого треугольника в диаметрально противоположных точках. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сто- рону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольни- ка. Площадь треугольника Формулы: 𝑆 = 1 2 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона треугольника, ℎ – высота, опущенная на эту сторону. 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏 sin 𝛾, где 𝑎, 𝑏 – стороны треугольника, 𝛾 – угол между ними. 𝑆 = √︀𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑝 – полупериметр. 𝑆 = 𝑝𝑟, где 𝑝 – полупериметр, 𝑟 – радиус вписанной окружности. 𝑆 = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 , где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑅 – радиус описанной окружности. Свойства: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. 8 mathstudy .online Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэф- фициента подобия этих треугольников. Отношение площадей треугольников с вершинами, лежащими на двух параллельных прямых, равно отношению длин параллельных сторон. Площади треугольников с общим углом при вершине относятся как произведение отношений соответствующих сторон. Биссектриса любого угла треугольника делит площадь треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам. 4.2 Четырехугольник и его элементы Параллелограмм: определение, свойства и признаки; частные случаи параллелограмма – прямоугольник, ромб, квадрат; их определения, свойства и признаки. Трапеция: определение и свойства; средняя линия трапеции: определение и свойства; равнобедренная трапеция: определение, свойства и признаки. Формулы площади параллелограмма, ромба, прямоугольника, пря- моугольника, квадрата, трапеции. 4.3 Окружность и ее элементы. Определения окружности, ее центра, радиуса, хорды, диаметра, каса- тельной, секущей; свойства хорды и пересекающего ее диаметра; свойства касательной; центральный и вписанный углы – определение и свойства; угол между хордами; угол между касательной и хордой; свойство линии центров и общей хорды двух пересекающихся окруж- ностей; общая касательная к двум пересекающимся окружностям. 4.4 Окружность и треугольник Вписанная, описанная и вневписанные окружности треугольника – их центры и радиусы. 4.5 Окружность и четырехугольник Вписанная и описанная окружности четырехугольника – критерии су- ществования и расположение их центров. 9 mathstudy .online 4.6 Дополнительные факты Формулы для вычисления длин медианы, биссектрисы, высоты: Длина медианы, проведенной к стороне 𝑎 треугольника со сторонами 𝑎, 𝑏, 𝑐 вычисляется по формуле 𝑚 2 𝑎 = 1 4 (︀2𝑏 2 + 2𝑐 2 − 𝑎 2 )︀ . Длина биссектрисы треугольника вычисляется по формуле 𝑙 𝑎 = 2𝑏𝑐 cos 𝛼 2 𝑏 + 𝑐 , где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝛼 – угол, противолежащий стороне 𝑎. Длина биссектрисы треугольника со сторонами 𝑎, 𝑏, 𝑐 и отрезками 𝑥 и 𝑦, на которые биссектриса делит сторону 𝑎, вычисляется по формуле 𝑙 2 𝑎 = 𝑏𝑐 − 𝑥𝑦. Высота треугольника может быть найдена из формулы площади. Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 тре- угольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно, а продолжение стороны 𝐴𝐶 в точке 𝑀 . Тогда имеет место соотношение: 𝐴𝐾 𝐾𝐵 · 𝐵𝐿 𝐿𝐶 · 𝐶𝑀 𝑀 𝐴 = 1. Теорема Чевы. Пусть в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 три чевианы 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 и 𝐶𝐶 1 пересекаются в одной точке. Тогда имеет место соотношение: 𝐴𝐵 1 𝐵 1 𝐶 · 𝐶𝐴 1 𝐴 1 𝐵 · 𝐵𝐶 1 𝐶 1 𝐴 = 1. Теорема Ван-Обеля. Пусть в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 три чевианы 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 и 𝐶𝐶 1 пересекаются в одной точке 𝑀 . Тогда имеет место соотноше- ние: 𝐵𝑀 𝑀 𝐵 1 = 𝐵𝐶 1 𝐶 1 𝐴 + 𝐵𝐴 1 𝐴 1 𝐶 Формула площади произвольного четырехугольника 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 sin 𝛼, где 𝑑 1 , 𝑑 2 – диагонали четырехугольника, 𝛼 – угол между ними. Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного четырехуголь- ника являются вершинами параллелограмма. Площадь этого параллело- грамма вдвое меньше площади исходного четырехугольника. 10 mathstudy .online Замечательное свойство трапеции. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сто- рон трапеции лежат на одной прямой. Свойство трапеции с суммой углов в 90 ∘ при одном из осно- ваний. У трапеции с суммой углов в 90 ∘ при одном из оснований длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полуразности осно- ваний. Теорема о пересекающихся хордах. Если через точку 𝑀 внутри окружности провести две пересекающиеся хорды 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷, то произве- дения отрезков этих хорд будут равны, то есть 𝐴𝑀 · 𝐵𝑀 = 𝐶𝑀 · 𝐷𝑀 . Теорема о касательной и секущей. Если через точку 𝑀 , ле- жащую вне окружности, провести касательную 𝑀 𝐴 и секущую, пере- секающую окружность в точках 𝐵 и 𝐶, то произведение длины секу- щей на ее внешнюю часть будет равно квадрату касательной, то есть 𝑀 𝐵 · 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐴 2 Теорема о двух секущих. Если через точку 𝑀 , лежащую вне окружности, провести две секущую, пересекающие окружность в точ- ках 𝐴, 𝐵 и 𝐶, 𝐷 соответственно, то произведения длин секущей на их внешние части будут равны, то есть 𝑀 𝐴 · 𝑀 𝐵 = 𝑀 𝐶 · 𝑀 𝐷. Свойство радикальной оси. Если две окружности пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵, то отрезки касательных, проведенных из произвольной точки прямой 𝐴𝐵 (лежащей вне общей хорды 𝐴𝐵) к этим окружностям, равны между собой. Теорема. Четырехугольник, образованный биссектрисами двух внут- ренних и двух смежных с ними внешних углов, образуют четырехуголь- ник, который является вписанным. Теорема Птолемея. Если четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окруж- ность, то выполняется соотношение 𝐴𝐶 · 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 · 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶 · 𝐴𝐷. Формула Брахмагупты. Если четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность, то его площадь может быть найдена по формуле 𝑆 = √︀ (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑑), где 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 – стороны четырехугольника, 𝑝 – полупериметр. Лемма о трезубце. Пусть 𝐼 – центр окружности, вписанной в тре- угольник 𝐴𝐵𝐶, 𝑂 – центр вневписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, касающейся стороны 𝐴𝐶. Биссектриса угла 𝐵 пересекает окружность, описанную около треугольника 𝐴𝐵𝐶, в точке 𝑃 . Тогда выполняются со- отношения: 𝑃 𝐼 = 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝑂. 11 mathstudy .online Свойства ортоцентра. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его сто- роны, лежит на окружности, описанной около треугольника. Ортоцентр и точка, являющаяся пересечением продолжения высоты треугольника, и описанной около этого треугольника окружности, рав- ноудалены от стороны треугольника. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середи- ны стороны треугольника, лежит на окружности, описанной около тре- угольника. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середи- ны стороны треугольника, диаметрально противоположна вершине тре- угольника, противолежащей данной стороне. Угол между стороной треугольника и радиусом описанной около это- го треугольника окружности равен углу между высотой и стороной (все отрезки выходят из общей вершины). Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра вдвое боль- ше, чем расстояние от ортоцентра до стороны, противолежащей данной вершине. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольни- ка, перпендикулярен стороне ортотреугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника является точкой пересече- ния биссектрис ортотреугольника (центром его вписанной окружности). 5 Задача 17 5.1 Определения и формулы Процент – сотая часть числа. 1% = 1 100 = 0,01. Чтобы найти 𝑝% от числа 𝑥, надо умножить число 𝑥 на 𝑝 100 При увеличении числа 𝑥 на 𝑝% получается число 𝑥 · (︀1 + 𝑝 100 )︀. При уменьшении числа 𝑥 на 𝑝% получается число 𝑥 · (︀1 − 𝑝 100 )︀. Сумма арифметической прогрессии: 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2 · 𝑛. Сумма геометрической прогрессии при 𝑞 ̸= 1: 𝑆 𝑛 = 𝑏 1 · 𝑞 𝑛 − 1 𝑞 − 1 12 mathstudy .online 5.2 Задачи на кредиты и вклады В задаче на кредиты и вклады рассматриваются четыре величины: 1) величина кредита/вклада; 2) срок кредита/вклада; 3) ставка банковско- го процента; 4) величины платежей. При составлении математической модели во всех задачах на кредиты и вклады важнейшим условием яв- ляется порядок действий: начисление процентов или внесение платежа. Основной метод решения – заполнение таблицы, на основе которой вы- писываются необходимые для решения задачи уравнения и неравенства. Схема с аннуитетными платежами. Все платежи в течение всего срока кредита одинаковые. Схема с дифференцированными платежами. Платежи по кре- диту подбираются таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась рав- номерно, то есть на одну и ту же величину каждый период. 5.3 Оптимизация В задаче на оптимизацию при составлении математической модели необ- хоимо выписать целевую функцию, наибольшее или наименьшее значе- ние которой требуется найти. Три основных метода решения задач на оптимизацию. 1. Исследование целевой функии при помощи производной. Отыски- ваются экстремумы и исследуются промежутки монотонности. 2. Использование значения целевой функции в качестве параметра и сведение исходной задачи к решению задачи с параметром. 3. Геометрический подход, при котором экстремальное значение функ- ции находится на координатной плоскости с использованием касатель- ной. 6 Задача 18 6.1 Методы Первое, что необходимо найти в любой задаче, – область допустимых значений всех переменных, включая параметр, входящих в условие за- дачи. Три основных метода решения задач с параметром: 1. Аналитический (алгебраический). Все уравнения, неравенства и системы решаются путем алгебраических преобразований. 2. Графический (геометрический). Все уравнения и неравенства ри- суются на координатной плоскости 𝑥𝑂𝑦. 13 mathstudy .online 3. Параметр как переменная (плоскость параметра). Во всех уравне- ниях и неравенствах параметр выражается через переменную 𝑥, после чего все уравнения и неравенства рисуются на координатной плоскости 𝑥𝑂𝑎. Наиболее важные типы заданий и приемы их решения. 1. Линейное уравнение. Умение решать уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏. 2. Квадратное уравнение. Дискриминант и формулы корней. Теорема Виета. Исследование квадратичной функции. 3. Неравенства. Внимательно следим за знаком при делении обеих частей неравенства на переменную величину. 4. Функции и их свойства. Часто бывает полезно рассматривать вы- ражение, входящее в уравнение или неравеснтво, как функцию. При ис- следовании функции полезно помнить о хороших свойствах: четность / нечетность, ограниченность, монотонность. Использовать производную при исследовании поведения функции и построении ее графика. 7 Задача 19 7.1 Cвойства и признаки делимости Определение и свойства делимости. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 11. Дополнительные признаки делимости на 2 𝑛 , 5 𝑛 , 10 𝑛 Деление с остатком. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. НОД и НОК. Взаимно простые числа. Наименьшим общим кратным нескольких натуральных чисел на- зывается наименьшее натуральное число, кратное каждому из этих чи- сел. Для любых натуральных чисел 𝑚 и 𝑛 выполняется соотношение 𝑚 · 𝑛 = НОД(𝑚, 𝑛) · НОК(𝑚, 𝑛). 7.2 Цифровая запись числа Десятичной записью натурального числа называется его представление в виде 𝑛 = 𝑎 𝑛 · 10 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 · 10 𝑛−1 + . . . 𝑎 1 · 10 + 𝑎 0 , где 𝑎 𝑛 ̸= 0 и числа 𝑎 0 , 𝑎 1 , . . . ,𝑎 𝑛 – целые от 0 до 9, то есть являются цифрами. Обозначение: 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 . . . 𝑎 1 𝑎 0 14 mathstudy .online 7.3 Прогрессии и средние Арифметическая прогрессия Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со вто- рого, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа 𝑑, назы- вается арифметической прогрессией. При этом число 𝑑 называется разностью прогрессии. Арифметическая прогрессия является возрастающей, если 𝑑 > 0, и убывающей, если 𝑑 < 0. Формула 𝑛-го члена арифметической прогрессии: 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + (𝑛 − 1)𝑑. Формула суммы членов арифметической прогрессии: 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + . . . + 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 +𝑎 𝑛 2 · 𝑛 = 2𝑎 1 +𝑑(𝑛−1) 2 · 𝑛. Средним арифметическим нескольких чисел называется сумма этих чисел, деленная на их количество. Среднее арифметическое двух неравных чисел всегда больше мень- шего числа и меньше большего числа. Если дан набор чисел, то среднее арифметическое этих чисел всегда не меньше наименьшего из чисел набора и всегда не больше наибольшего из чисел набора. Средним геометрическим положительных чисел 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 𝑛 на- зывается число √ 𝑎 1 , 𝑎 2 , · · · , 𝑎 𝑛 Для любых положительных чисел 𝑥 и 𝑦 выполняется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим 𝑥 + 𝑦 2 > √ 𝑥𝑦. 15 |