Лекция. Ч3.К1.Лек.23 ув.граф.. Ч. 3 Колебания и волны радел колебания введение Колебания и их классификация

• Название: Ч. 3 Колебания и волны радел колебания введение Колебания и их классификация
• Анкор: Лекция
• Дата: 27.02.2023
• Размер: 1.78 Mb.
• Имя файла: Ч3.К1.Лек.23 ув.граф..docx
• Тип: Задача; #958542

Ч.3 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Радел 1. КОЛЕБАНИЯ

Введение: Колебания и их

классификация

Опр-е: К. называется процесс отклонения физической величины от положения равновесия в ту или другую сторону в той или иной последовательности.

Обычно таковым считается всякий процесс с определённой степенью повторяемости.

Периодические колебания – один из самых характерных видов К.


Основная задача описания Кол. – определение колебательной функции x(t) с набором необходимых параметров.

x(t) = x(t + nT),

где Т – период, n – целое число.

Классификация К. условна.

1. 
   По повторяемости процесса:
   

а) периодические – одни и те же состояния системы повторяются через одинаковые промежутки;

б) квазипериодические – степень повторяемости более низкая; система не всегда возвращается в исходное состояние;

в) непериодические К.


2. По характеру воздействия:

а) свободные (собственные) К.

Нет внешних сил ( = 0)

Делятся на: затухающие и незатухающие;


б) вынужденные К.

Причина их: (t) – вынуждающая сила;

в) автоколебания

Происходят в замкнутой системе с постоянным воздействием.

3. По изменению физ. параметров колеб. системы.

а) линейные (параметры не зависят от

ампл. А),

б) нелинейные (например, Т = Т(А) );

в) параметрические (один из параметров периодически изменяется,

например, ℓ = ℓ(t) ).

4. По виду колеб. функции

а) гармонические,

б) негармонические,

в) прочие.

Особую роль играют т.н. малые (линейные) колебания как наиболее простые.

Сложные и нелинейные Кол. можно конструировать как комбинацию простых (гармонических) – Фурье разложение.

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Жилинский А.П., Мискинова Н.А., Самодурова И.Д. Физика.ч.3.
   

“Колебания” (конспект лекций), МТУСИ, 2004г.


2. Савельев И.В. “Курс общей физики” , т.1,2; стерео.
3. Т.И. Трофимова « Курс физики», 1990.

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М., “Курс физики”; стерео.

Гл.1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 1.1 Дифференциальные уравнения

свободных колебаний
Условием их реализации для системы является наличие:

*) положения равновесия,

**) возвращающей (квазиупругой) силы,

***) инерции.

Наличие диссипативной силы приводит к затуханию К.


1.1.1. Случай механических систем

Гармонический осциллятор (грузик на горизонтальной пружине)
=m
 _y + + m + _тр. = m

Запомним:

= = , F_y = - kx

В координатной форме при отсутствии трения:

По ОХ: m = F_y


И соответственно: + x = 0 

+ ω_o² x = 0 (*)
Здесь ω_o² = .
При наличии трения

По ОХ: m = F_y + F_тр.

По ОУ: 0 = N + mg

Пусть F_тр. = - r υ = - r

Тогда приходим к уравнению
+ 2δ + ω_o² x = 0 , (**)

где δ = - называют коэфф. затухания.

Физический маятник

Массивное тело, характеризуется моментом инерции I_z и совершает вращательное движение относительно оси ОZ.

Вращательный момент

М_z = - F_тяж.∙ h = - mgl∙sin α



Уранение динамики

I_z ∙ β = , где β - угловое ускорение,

β = =

Если нет моментов сил трения

I_z = - mgl∙sin α = - mgl∙ α (угол мал!)

Или: + α = 0

+ ωo2 α = 0

(*)

Здесь ω_o² = .

При наличии момента сил трения

М_z,тр. = - γ = - γ Ω,

где = Ω – угловая скорость движения

Имеем:

+ 2δ + ωo2 α = 0

(**)

где δ = - называют коэфф. затухания.

Свободные К. в электрическом контуре

Согласно 2^ому закону Кирхгофа

=
Т.к. в контуре действует ЭДС индукции, равная падению напряжения на ёмкости и сопротивлении

R∙ I + =-

Поскольку

= I , = . Собрав в уравн-и слагаемые и поделив L, получим

+ 2 δ + ωo2 q = 0 ,

(**)

Здесь δ = , ω_o² =
В случае идеального контура без сопротивления будем иметь
+ ω_o² q = 0 , т.е. (*)
§ 1.2 Дифференциальное уравнение

гармонических колебаний и его

решение

1.2.1. Дифф. уравнение


Итак, для рассмотренных нами колебательных систем, в случае отсутствия диссипативных сил получали типичные ур-я (*) как для мех. так и электр. систем

+ ωo2 x = 0 (1.1)

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, где в качестве переменной выступали смещения (линейное x и угловое - α), заряд q и … точку не ставим. Уравнение 2^го порядка, однородное, линейное.

(Порядок – по старшей производной, однородное – родственники, линейное – первая степень переменной и её “деток”, “внуков”.

Важна консервативность системы (нет сил трения, сопротивления)

1.2.2. Решение дифф. уравнения

Способ 1 (подстановкой)

Легко убедиться, что функции

x₁ (t) = A cos(ω_оt + φ_o),

x₂ (t) = A sin(ω_оt + φ_o),

x₃ (t) = A exp j(ω_оt + φ_o) А являются решением ур-я (1).

Здесь j = , А и φ_o – произвольные постоянные

Это тем более понятно, что cos(α + β) =

=cosα∙ cos β – sin α∙ sin β 

 cos(ω_оt + φ_o) = cos ω_оt ∙A₁ – A₂ sin ω_ot,

где A₁ = cos φ_o , A₂ = sin φ_o
Итак: x₁ (t) и x₂ (t) гармонические функции, процесс движения – простейшие колебания. А – амплитуда, ω_о - собственная частота, φ_o - начальная фаза, вся скобка (ω_оt + φ_o) - фаза колебаний.
Видим, что решение в комплексной форме удобно и эффективно. На практических уделите этому внимание. Отметим, что комплексное число

Z= X +jY или Z = ρe^jα = ρcos α + jρ sin α,

Z∙Z^* = ρ²


Заметим, что согласно Эйлеру:

cos α = (е ^jα + е^-jα)

sin α = (е ^jα - е^-jα)

Способ 2

Решение ур.(1): + ω_o² x = 0

ищем как в теории дифф. ур-й в форме:

x(t) = е^λt, где и λ – постоянные. Подставляя = λ е^λt и = λ² е^λt , приходят к характеристическому ур-ю:

λ2 + ωo2 = 0

Его корни мнимые:

λ =  λ₁ = + jω_о , λ₂ = - jω_о

Тогда

x (t) = ₁ е ^λ1t + ₂ е ^λ2t и если взять

₁ = А еxp(jφ_o)

₁ = А еxp(-jφ_o), то решение примет вид

x (t) = A cos(ω_оt + φ_o),

В качестве решения берут действительную часть комплексного числа.

Таким образом решением дифф. ур. (1) будем считать ур-е гармонических колебаний:

x (t) = A cos(ωоt + φo) (1.2)

Постоянные А и φ_o определяют пользуясь начальными значениями величин (смещения, скорости, ускорения, энергии).

§ 1.3 Дифф. ур-е затухающих колебаний.

Его решение
а) Квазипериодический (квазигармонический) режим: δ- мало!

В наших примерах движения разных систем при наличии сил трения получали ур-я типа (**)

+ 2δ + ωo2 x = 0 (1.3)

Это дифф. ур-е 2^го порядка, линейное и однородное. Его решение ищем в виде:

x(t) = e^st и после подстановки производных в (1.3) приходят к характеристическому уравнению

s² + 2 δ s + ω_o² = 0
Для случая δ  ω_о его корни:

s_1,2 = - δ j

Введём обозначение ω_з ω =
Решение (1.3)

x(t) = ₁ е^{- δt} e ^jωt + ₂ е^{- δt} e ^-jωt =

=A_o е^{- δt} cos(ωt + φ_o)


При этом для коэффициентов справедливо:

₁ = и ₁ = ,

где С₁ = Аcos φ_o и С₂ = Аsin φ_o

Итак, наше решение

x(t) = Ao е- δt cos(ωt + φo) (1.4)

носит название уравнения затухающих колебаний




б) Случай δ  ω_о рассмотрим по возможности позже. Он характеризует сильное затухание, по сути релаксацию в апериодическом режиме. В принципе, бывает и сильнее затухание – критический режим.


§1.4 Характерные параметры свободных

З.Кол.

1*) Циклическая частота затух. К.

ω = (1.5)

(здесь ω  ω_о )

период находят из Т = 2π/ω  Т = 2π/

2*) Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону во времени

А = Ao е- δt ( 1.6)

При t = 0 А = A_o

3*) Коэффициент затухания δ показывает убыль амплитуды в единицу времени:

за t = 1c станет A =

δ = –для груза на пружине,

δ = - физ. маятника, δ = – эл. контура

Большое разнообразие систем и параметров!!!!


Легко видеть из (1.6):

δ = (1.7)

4*) Время релаксации τ =

За этот промежуток амплитуда уменьшается в е раз

A_τ =

5*) Логарифмический декремент

затухания

= = δ∙Т

= δ∙Т (1.8)

=


6*) Число колебаний за которое А уменьшается в е раз:

N_e =

7*) Добротность системы

θ =


§ 1.5 Апериодическое движение. Критический

режим.

Влияние начальных условий
Это процесс движения, когда нет периодического движения. Разные ситуации.
1.5.1. Критический режим

С ростом коэфф. затухания (δ → ω_о) частота колебаний уменьшается (квазипериод растёт). При δ ω_о имеем ω 0 процесс превращается в релаксационный

x(t) = A_o е^{- δt}

и носит название критического режима.


Этот вывод не совсем идеальный, т.к. не удовлетворяются начальные условия. Более глубокий анализ приводит к решению

x(t) = x_o + t ( _o + δx_o) е^{- δt} ,

включающему верхнее выражение для изменения смещения – см. рис.


1.5.2. Апериодическое движение системы

При δ  ω_о имеем две экспоненты с действительными показателями и процесс - явно не переодический

x(t) = е^{- δt} (D₁ e ^ωt + D₂ e ^-ωt ),

где ω = - вещественна.

Особенность: затухание слабее, чем в критическом режиме.


Наконец, случай δ ω_о

Силы инерции особой роли не играют, упругая сила уравновешивается силой трения

x(t) = А_о ^t , где α =  δ .

Ход кривой апериодического процесса, как и критического режима зависит от начальных условий – значений начального смещения и начальной скорости.
§ 1.6 Скорость и ускорение колебаний (1.6.1.).

Энергия Кол.

1.6.1.

Скорость гармонических колебаний

Из ур-я (1.2), взяв производную по времени запишем

υ _кол. = (t) [ A сos(ω_ot + φ_o)]´ =

= - A ω_o sin(ω_ot + φ_o) =

= A ω_o cos(ω_ot + φ_o + )
Вывод: Скорость опережает по фазе смещение

на .

При t =0 называют:

x(t =0) = x_o = A сosφ_o – начальным смещением,

(t=0) = _о = υ_о = A sin φ_o – начальной скоростью.
Ускорение гармонических колебаний

Анологично, взяв вторую производную от x(t) по времени,

_кол. = = -A ω_o² cos(ω_ot + φ_o) =

= A ω_o² cos(ω_ot + φ_o + π)

Вывод: Ускорение опережает по фазе смещение на π и находится с ним противофазе.


При t =0 t=0) = _о = _о = A сos φ_o – начальное ускорение

Легко видеть, что

tg φo = - (1.9)

Из основного тригонометрического тождества следует:

Чтобы иметь однозначное решение нужно знать значения произвольных постоянных А и φ_o , которые определяются в момент времени называемый начальным.

+ = 1 (1.10)

1.6.2. Энергия свободных колебаний
Энергия гармонических колебаний

Рассмотрим идеальный электрический контур. Энергия э.п. конденсатора аналогична потенциальной энергии системы

П_э = W_э = CU² =


Энергия м.п. катушки анологична кинетической энергии системы.

ε_к = W_м = LI² , I(t) = ²

q(t) = q_m cos(ω_ot + φ_o),

(t) = - q_m ω_o sin(ω_ot + φ_o),

Тогда полная энергия К.

W = W_э + W_м = [cos²(…) + sin² (…)] = const

Cледует помнить: = L

Т.к. cos² (…) = [1-cos 2(ω_ot + φ_o)], то очевидно, изменение электрической и магнитной энергии происходит с удвоенной частотой в противофазе.

Аналогичные результаты в случае механических систем. Для грузика на пружине W = W_кин. + W_п = = = const






Энергия затухающих колебаний

Амплитуда таких колебаний убывает во времени (зависит от t)

На примере контура рассмотрим.

W(t) = W_э (t)+ W_м (t)

q(t) = q_m е^{- δt} cos(ωt + φ_o), где ω =

I(t) = = - δ q_m е^{- δt} cos(ωt + φ_o) -

- ω q_m е^{- δt} sin (ωt + φ_o),


При δ  ω_о (малое затухание) и пренебрегаем 1^ым слагаемым.


I(t) = - ω q_m е^{- δt} sin (ωt + φ_o),

W(t) = + LI² е^{- 2δt} = L е^-2δt =

=W_о е^{- 2δt}

W(t) = Wо е- 2δt (1.11 )

Заметим, что для энергии колебаний кофф. затухания в два раза больше!

1.6.3. Связь убыли энергии осциллятора и

добротности системы

Имеем для скорости изменения энергии
= -2W_о е^{- 2δt} 

 dW(t) = -2δ W(t)∙dt

За время, равное периоду:

dt = T и dW(t)

Тогда:│ │= 2δ∙T = 2

Т.к. добротность θ =  θ = 

 θ =

θ = (1.12 )

Это понятийное определение добротности системы:

Она равна отношению энергии в данный момент к её изменению за период, умноженной на 2π

§ 1.7 Векторная диаграмма колебаний

1.7.1. В.Д. гармонического К.

Уравнение

x (t) = A cos(ω_оt + φ_o) (1.2)


можно рассматривать как проекцию на ось Х зависящего от времени

вектора (t). Его модуль равен амплитуде Г.К. Вектор вращается против часовой стрелки относительно т. О с ростом времени. Начальная фаза φ_o определяет его положение в момент t=0 (см. рис.)


1.7.2. В.Д. затухающего квазигармонического

К.
Здесь отличие в том, что модуль вектора убывает во времени

= (t) = е^{- δt} вместо окружности описывается концом вектора циклоида. Будем иметь обычное затухающее колебание в зависимости от t.



    α φ q φ_o β ω_о ω 2 π
§ ℓ δ λ φ ε θ α π υ ν ω τ μ ψ ρ ∙ § ΄ М_z

δ = ω_o² = cos(ωt + φ_o) sin(ωt + φ_o)

е^{- δt} ω =