Числовые характеристики случайных величин математическое ожидание и дисперсия
 Скачать 30.03 Kb.
|
|
ВЫПОЛНИЛ: ГРУППА: ДИСЦИПЛИНА: Математика Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия Числа, которые описывают случайные величины суммарно, называются числовыми характеристиками случайных величин. Математическим ожиданием (МО) дискретных* случайных величин (ДСВ) называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.   Из определения следует, что МО = const. Найти МО(X) случайной величины можно, зная закон её распределения:
 Вероятностный смысл и свойства МО  - относительная частота (отличие в практике).Математическое ожидание примерно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайных величин. Свойства: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной;  Постоянный множитель можно выносить за знак МО;  Две случайных величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, в противном случае, они зависимы: Произведения независимых случайных величин X и Y определим как случайную величину X * Y, возможное значение которой равны каждому возможному значению X на каждое возможное значение Y; Сумму случайных величин X и Y определим как случайную величину X + Y, возможное значение которой равно суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X+Y, равны произведениям вероятности слагаемых. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин, равно произведению их МО: Следствие: математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин, равно произведению их МО.  Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме математического ожидания слагаемых: Следствие: математическое ожидание нескольких случайных величин равно сумме (разности) математического ожидания слагаемых (вычитаемого).  Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число.  Биномиальное распределение Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.  Пример задачи Задание: издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги. Найти ожидаемую прибыль издателя.
Решение: Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:
Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:  Ответ: 25000 рублей. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- * Дискретная случайная величина — это случайная величина, множество значений которой не более чем счётно (то есть конечно или счётно). Примечание В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины. Дисперсией называется математическое ожидание (то есть среднее значение) квадрата отклонения случайной величины от её среднего значения (то есть математического ожидания).  ⇔  Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины от своего среднего значения D(X). Отклонением называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием 
   Свойства: Дисперсия постоянной величины C равно 0;  Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат;  Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин равна сумме (разности) дисперсии этих величин;  Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины. Биномиальное распределение Дисперсия числа А в n независимых испытаниях, в каждом из которых p = const, равна произведению числа испытаний на вероятность их появления и непоявления события в одном испытании.  Пример задачи Задание: в урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение: случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей. Закон распределения случайной величины:
  Ответ:  Первоисточники: теоретический материал - http://statistica.ru/ практический материал - www.function-x.ru. |
