красиво. Дана система линейных алгебраических уравнений (слау)

• Название: Дана система линейных алгебраических уравнений (слау)
• Анкор: красиво
• Дата: 11.04.2023
• Размер: 154.93 Kb.
• Имя файла: BIE21-01_-_LAB (1) (1).docx
• Тип: Документы; #1054993

Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Au  f , (1)

^{ a}11

^a12

^a13

^a14 ^

 ^u1 

 ^f1 

     

где

_{A } ^{ a}21 ^a22

^a23 ^a24 ^ _,

u  ^{ u2  ,} f  ^{ f2  .}

^ a a

a a ^

 _u  _f

_ 31 32

33 34 _

 ³   ³ 

^ a a

a a ^

 _u  _f 

 41 42

43 44 

 4   4 

1. Решить СЛАУ (1) методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам.
2. 
   Привести СЛАУ (1) к виду
   

u  Bu  F ,

приемлемому для применения метода простой итерации, и проверить выполнение достаточного условия сходимости этого метода, т. е.

B  q1, (2)

где

B  E  A ,
F   f ,

 ^{1 0 0}




 _{0
E  } 0 1 0

_ 0 1

_ 0 0 0

⁰



₀
^0 , значение  выбрать таким, чтобы



1_

выполнялось неравенство (2).

Решить эту СЛАУ методом простой итерации
u_k1  Bu_k F

с точностью   0,01 , предварительно преобразовав ее к виду, приемлемому

для применения этого метода. В качестве начального приближения выбрать

^{u0  0 , где 0 } ^{0, 0, 0, 0} ^.

T


В качестве условия остановки итерационного процесса (для достижения заданной точности  ) использовать неравенство

^uk1 ^{ u}k

 1 q , (3)

где q– константа из неравенства (2). Имеет место неравенство

ε_k 

^uk1 ^{ u}k ^,

где

ε_k u_k U , U – вектор точного решения СЛАУ,

^uk1 ^{и u}k

• векторы

^{приближенного решения СЛАУ, полученные на} k1^{-й и} k^{-й итерациях} соответственно. Следовательно, если выполняется неравенство

^uk1 ^{ u}k

  ^,

равносильное неравенству (3), то справедливо и неравенство

ε_k  ,

обеспечивающее нахождение вектора u_k

заданной точностью  .

приближенного решения СЛАУ с

В качестве нормы

^uk1 ^{ u}k

вектора

^uk1 ^{ u}k

взять октаэдрическую

норму, определяемую равенством

4

u
₂  _ u_ii1

^{, где u } ^{u1, u2 , u3, u4}

T ^,

а в качестве нормы B матрицы ^B – норму, согласованную с октаэдрической

нормой вектора, определяемую следующим образом:

4
B  max _

b, где

B  _b_4 .

² 1 j4

ij

i1

^ij i, j1