Эйлер-Венн. Диаграмма ЭйлераВенна
 Скачать 107.5 Kb.
|
|
 | Определение. Объединениеммножеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):  |
 | Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):  |
 | Определение.Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):  |
 | Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):  |
 | Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):  |
Теперь более подробно на примерах.
Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую после пересчета можно было бы обозначить как
V = {1, 2, ..., 11}.
Предположим далее, что часть предметов, 1, 2, 4 и 6, имеет круглую форму, а часть — 2, 3, 4, 8 и 9 — окрашена в белый цвет. В этом случае говорят, что множество V имеет два подмножества
A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}
круглых и белых предметов. Можно исходное множество называть фундаментальным, а подмножества A и B – просто множествами.
В результате получим четыре класса элементов:
C0 = {5, 7, 10, 11} — элементы не обладают ни одним из названных свойств,
C1 = {1, 6} — элементы обладают только свойством A (круглые),
C2 = {3, 8, 9} — элементы обладают только свойством B (белые),
C3 = {2, 4} — элементы обладают одновременно двумя свойствами A и B.
На рис. 1.1. указанные классы изображены с помощью диаграммы Эйлера — Венна.
Рис. 1.1
Часто диаграммы не имеют всей полноты общности, например та, что изображена на рис. 1.2. На ней уже множество A полностью включено в B. Для такого случая используется специальный символ включения (): A B = {1, 2, 4} {1, 2, 3, 4, 6}.
Если одновременно выполняются два условия: A B и B A , то A = B, в этом случае говорят, что множества A и B полностью эквивалентны.
Рис. 1.2
После того, как определены четыре класса элементов и даны необходимые сведения о диаграммах Эйлера — Венна, введем операции на множествах. В качестве первой рассмотрим операцию объединения.
a)Объединение
Объединениеммножеств A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}
назовем множество
A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},
где — символ объединения множеств. Таким образом, объединением охватываются три класса элементов — C1, C2 и C3, которые на диаграмме (рис. 1.3) заштрихованы.
Рис. 1.3
Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элементx принадлежит множеству A или множеству B. При этом связка «или» одновременно означает и связку «и». Факт принадлежности элементаx множеству A обозначается как x A. Поэтому то, что x принадлежит Aили/и B, выражается формулой:
x A B = (x A) (x B),
где — символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.
b)Пересечение, дополнение
Пересечением множеств A и B называется множество A B, содержащее те элементы из A и B, которые входят одновременно в оба множества. Для нашего числового примера будем иметь:
A B = {1, 2, 4, 6} {2, 3, 4, 8, 9} = {2, 4} = C3.
Диаграмма Эйлера – Венна для пересечения изображена на рис. 1.4.
Рис. 1.4
То, что x принадлежит одновременно двум множествам A и B можно представить выражением:
x A B = (x A) (x B),
где — символ логической связки «и», которая называетсяконъюнкцией.
Представим себе операцию, в результате которой окажутся заштрихованными области C1 и C3, образующие множество A (рис. 1.5). Затем еще одну операцию, которая охватит две другие области — C0 и C2, не входящие в A, что обозначается как A (рис.1.6).
 Рис. 1.5 |  Рис. 1.6 |
Если объединить заштрихованные области на обеих диаграммах, то получим все заштрихованное множество 1; пересечение же A и A даст пустое множество 0, в котором не содержится ни одного элемента:
A A = 1, A A = 0.
Множество A дополняет множество A до фундаментального множества V (или 1); отсюда название: дополнительное множество A, или дополнениекак операция. Дополнение к логической переменной x, т.е. x (не-x), называется чаще всего отрицанием x.
После введения операций пересечения и дополнения все четыре области Ci на диаграмме Эйлера – Венна можно выразить следующим образом:
C0 = A B, C1 = A B, C2 = A B, C3 = A B.
Путем объединения соответствующих областей Ci можно представить любую множественную операцию, в том числе и само объединение:
A B = (A B) (A B) (A B).
c)Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность
На рис. 1.7 и 1.8 приведены диаграммы двух новых операций, которые называются, соответственно,стрелка Пирсаи штрих Шеффера. Эти диаграммы дополняют объединение и пересечение до фундаментального множества V.
 Рис. 1.7 |  Рис. 1.8 |
На множествах эти операции выглядят следующим образом:
A B = {1, 2, 4, 6} {2, 3, 4, 8, 9} = {5, 7, 10, 11} = C0,
A B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} = C0 C1 C2.
d)Разность
Разностьюмежду множествами A и B называется совокупность тех элементов множества A, которые не вошли во множество B:
A – B = {1, 2, 4, 6} – {2, 3, 4, 8, 9} = {1, 6} = C1.
Диаграмма Эйлера — Венна для нее приведена на рис. 1.9.
Рис. 1.9
На диаграмме Эйлера — Венна для импликации (рис. 1.10) показано частичноевключение множества A во множество B, которое нужно отличать от полного включения (рис. 1.2).
Рис. 1.10
Если утверждается, что «элементы множества A включены во множество B», то область C3 обязательно должна быть заштрихована, а область C1 с такой же необходимостью должна быть оставлена белой. Относительно областей C0 и C1, находящихся в A, заметим, что мы не имеем права оставлять их белыми, но, мы обязаны все же области, попадающие в A, заштриховать.
Е)Симметрическая разность и эквивалентность
Остается привести еще две взаимно дополняющих операции — симметрическую разность и эквивалентность. Симметрическая разность двух множеств A и B есть объединение двух разностей:
A + B = (A – B) (B – A) = C1 C2 = {1, 3, 6, 8, 9}.
Эквивалентность определяется теми элементами множеств A и B, которые для них являются общими. Однако элементы, не входящие ни в A, ни в B, также считаются эквивалентными:
A B = (A B) (A B) = C0 C3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.
На рис. 1.11 и 1.12 показана штриховка диаграмм Эйлера — Венна.
 Рис. 1.11 |  Рис. 1.12 |
В заключение отметим, что симметрическая разность имеет несколько названий: строгая дизъюнкция, исключающая альтернатива,сумма по модулю два. Эту операцию можно передать словами — «либо А, либо В», т.е. это логическая связка «или», но без включенной в нее связки «и».
Заключение
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Простое построение диаграммы обеспечивает наглядное изображение, представляющее универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры пересекаются в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и соответствуют образному изображению. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств. Это позволяет нам иметь наиболее полное представление о задаче и ее решении. Простота диаграмм Эйлера-Венна позволяет использовать данный прием в таких направлениях, как математика, логика, менеджмент и других прикладных направлениях.
Список литературы
Словарь по логике. — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. А.А.Ивин, А.Л.Никифоров. 1997
Weisstein, Eric W. «Диаграмма Венна» (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
http://yandex.ru