Практика 6. Уравнения первого порядка неразрешенные относительно. Дифференциальные уравнеия первого порядка, неразрешенные относительно производной Общий вид уравнений

• Название: Дифференциальные уравнеия первого порядка, неразрешенные относительно производной Общий вид уравнений
• Дата: 27.02.2022
• Размер: 145.29 Kb.
• Имя файла: Практика 6. Уравнения первого порядка неразрешенные относительно.docx
• Тип: Решение; #376063

Дифференциальные уравнеия первого порядка, неразрешенные относительно производной
Общий вид уравнений
Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, имеют вид:

. (5)

Если это уравнение распадается на несколько уравнений относительно :

,

то решаем каждое из этих уравнений в отдельности. Решение каждого такого уравнения служит решением и для исходного уравнения.

Если общий интеграл i-го уравнения

,

то общий интеграл исходного уравнения представляется в виде

.
Пример. Решить уравнение

.

Решая это уравнение относительно , получим . Общее решение последних уравнений соответственно, имеют вид:

.

Общий интеграл исходного уравнения записывается так:

.
Упражнения. Разрешить уравнения относительно , а затем найти общий интеграл.
1.

Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ: (

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:
12. Ответ:

13. Ответ:

2. 
   Уравнения Лагранжа и Клеро.
   

Уравнение (5) не всегда так просто решается относительно , как в приведенном в 2.1 примере – в большинстве случаев это довольно трудная задача. Разберем те специальные случаи, когда удается проинтегрировать данное уравнение без предварительного разрешения относительно .

Один из таких случаев представляется уравнением Лагранжа, которое имеет вид:

. (6)

Важным частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро

. (7)

Общий интеграл уравнения (6) удобнее искать в параметрической форме. Для этого в уравнениях (6) и (7) переменную будем рассматривать как параметр: , и найдем дифференциал функции . Учтем еще при этом, что . Получим дифференциальное уравнение, решив которое будем иметь общий интеграл уравнения Лагранжа в параметрической форме. В случае уравнения Клеро этот метод приводит к следующему общему решению , где С – произвольная постоянная, кроме того получается и одно особое решение, заданное в параметрическом виде .
Пример. Решить уравнение Лагранжа

.

Обозначив , перепишем уравнение в виде

.

Отсюда . Так как , то

,

или .

Разделив обе части последнего уравнения на (считаем, что , получим . Это линейное неоднородное уравнение относительно . Решив его, получим . Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид

или

Если же , то есть . Значит , . Проверкой убедимся, что последняя функция не является решением исходного уравнения.
Пример. Решить уравнение Клеро

.

Обозначим , . Данное уравнение примет вид

.

Далее,

,

или .

Здесь возможны два случая.

1) . Общее решение данного уравнения Клеро имеет вид

.

Заметим, что это общее решение содержит частное решение, соответствующее .

2) – это особое решение.

Исключив из этой системы, приходим к уравнению (особый интеграл исходного уравнения).
Упражнения. Решить уравнения Лагранжа и Клеро.
1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

9. Ответ:

10. Ответ:

11. Ответ:

12. Ответ:

13. Ответ:

14. Ответ: ;

15. Ответ:

16. Ответ:

17. Ответ:

18. Ответ: