Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 71 Функция нескольких переменных i элементы топологии в евклидовом пространстве

• Название: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 71 Функция нескольких переменных i элементы топологии в евклидовом пространстве
• Дата: 18.03.2022
• Размер: 336.5 Kb.
• Имя файла: Lektsia_7_1_Samostoyatelno.doc
• Тип: Документы; #403491

Раздел 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

7/1 Функция нескольких переменных

I ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Топология – раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний, точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Топологическое пространство представляет собой множество произвольных элементов, называемых точками, и характеризуемых отношением «бесконечной близости».

ОПР. 1 Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n действительных чисел называется n – мерным координатным пространством . Каждая такая упорядоченная совокупность, обозначаемая , называется точкой этого пространства, а числа , , …, – координатами точки М.

Координатное пространство будет n – мерным евклидовым пространством (чаще всего обозначаемым ), если расстояние между двумя его произвольными точками и определить по формуле

. 1

Замечание.

Очевидно, что геометрическими образами евклидовых пространств , , могут служить соответственно координатная прямая, плоскость и трехмерное пространство, в которых введены прямоугольные системы координат, а расстояние в каждом из этих пространств вычисляется, согласно, формуле 1:

если , – точки , то ;

если , – точки , то

;

если , – точки , то

;

таким образом, получены известные формулы из аналитической геометрии.

Рассмотрим классификацию множеств, состоящих их точек n – мерного евклидова пространства . Пусть даны точки и .

ОПР. 2 Множество всех точек , удовлетворяющих условию

, 2

называется n – мерным отрезком с границами и , обозначаемым .

Объединение отрезков , , …, называется ломаной с вершинами , , …, .

ОПР. 3 Множество точек называется связным, если две любые его точки можно соединить ломаной, которая целиком содержится в данном множестве.

ОПР. 4 Пусть дана точка и положительное число . Множество всех точек , удовлетворяющих условию

, 3

называется n – мерным шаром с центром в точке и радиусом ; n – мерная сфера определяется условием

. 4

ОПР. 5 Множество точек называется ограниченным, если существует такой n– мерный шар, который содержит в себе это множество.

Пример. Описать множества, представляющие собой шар и сферу в евклидовых пространствах , .

1) Шаром в пространстве с центром в точке (одномерным шаром) является отрезок , а сферой (одномерной сферой) – пара точек, расположенных на координатной прямой симметрично относительно на расстоянии : , .

2) Шаром и сферой в пространстве с центром в точке (двумерными шаром и сферой) будут соответственно круг и окружность с центром и радиусом , расположенные в координатной плоскости .

ОПР. 6 Пусть дана точка и положительное число . Множество всех точек , удовлетворяющих условию

, 5

называется – окрестностью точки .

ОПР. 7 Точка называется внутренней точкой множества , если существует – окрестность точки , целиком содержащаяся в данном множестве (рис. 1).

ОПР. 8 Множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Пример. Указать примеры открытых множеств в евклидовых пространствах , , .

РЕШЕНИЕ:

1) Открытыми множествами в пространстве являются: интервал , луч , вся числовая прямая .

2) В пространстве открытыми множествами будут круг без граничной окружности (открытый круг) и вся координатная плоскость .

3) В пространстве – шар без сферы (открытый шар) и все трехмерное пространство .

ОПР. 7 Точка называется граничной точкой множества , если в любой – окрестности точки имеются как точки, принадлежащие множеству , так и точки, ему не принадлежащие (рис. 2).

Рис. 1	Рис. 2

Множество всех граничных точек множества называется его границей.

Множество называется замкнутым, если оно содержит в себе свою границу.

Пример. Указать примеры замкнутых множеств в евклидовых пространствах , , .

РЕШЕНИЕ:

1) Замкнутыми множествами в пространстве являются, например, отрезок , луч , вся числовая прямая .

2) В пространстве замкнутыми множествами будут круг и прямоугольник вместе со своими границами и вся координатная плоскость .

3) В пространстве – шар, параллелепипед и все трехмерное пространство .

ОПР. 9 Точка называется предельной точкой множества , если в любой – окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от . По-другому: точка является предельной для , если к этой точке можно «подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку », которая сама может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

ОПР. 10 Открытое связное множество называется областью, а объединение области и ее границы – замкнутой областью.

II ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть – множество точек пространства .

ОПР. 11 Если каждой точке , принадлежащей множеству , по определенному правилу ставится в соответствие единственное число u, то говорят, что на множестве задана функция n переменных, обозначаемая или . Иногда функцию называют функцией точки, или отображением, или скалярным полем.

Числовые переменные , , …, называются независимыми переменными или аргументами функции, а число u, соответствующее данной точке М, – частным значением функции в точке М.

ОПР. 12 Множество , состоящее из упорядоченных совокупностей n чисел, называется областью определения функции нескольких переменных (специальное обозначение: ), а множество , в которое входят все частные значения функции , где , – множеством значений этой функции.

ОПР. 13 Графиком функции называется множество точек

,

принадлежащих (n+ 1) – мерному пространству.

Замечание. Функции двух и трех переменных часто обозначают так: и . Очевидно, что графиком функции является некоторая поверхность в трехмерном пространстве, а для функций трех и большего числа переменных график построить нельзя.

Пример. Найти область определения и множество значений функции двух переменных , выяснить вид ее графика.

РЕШЕНИЕ:

Функция принимает действительные значения при условии ,или , т.е. областью определения данной функции является круг радиуса 3 с центром в начале координат, включая граничную окружность: . Множеством значений функции является отрезок . Графиком функции является верхняя половина сферы, заданной уравнением , удовлетворяющая условию .

ОПР. 14 Линией уровня функции двух переменных (скалярного поля) называется линия на плоскости , во всех точках которой функция сохраняет постоянное значение . Аналогично поверхностью уровня функции трех переменных (скалярного поля) называется поверхность в координатном пространстве , в точках которой функция сохраняет постоянное значение .

Замечание. Известно, что для некоторых физических примеров скалярных полей (поле температур, поле давлений, поле потенциалов) существуют специальные названия линий или поверхностей уровня (изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности).

Пример. Указать линии уровня функции .

РЕШЕНИЕ:

Уравнение множества линий уровня имеет вид , или . Придавая постоянной С различные действительные значения, удовлетворяющие условию , получим семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами, не превосходящими числа 3.

Пример. Составить уравнение поверхности уровня функции , проходящей через точку (3; –4; 2).

РЕШЕНИЕ:

Уравнение множества поверхностей уровня имеет вид . Придавая постоянной С произвольные действительные значения, получим семейство параллельных между собой плоскостей, имеющих один и тот же нормальный вектор . Для поверхности, проходящей через заданную точку (3; –4; 2), получим, что С = –4, и уравнение соответствующей плоскости имеет вид .
III ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция определена на множестве ( ) и точка – предельная точка множества . Рассмотрим различные подходы к понятию предела функции нескольких переменных, выражаемые в двух эквивалентных друг другу определениях.

ОПР. 15 (по Гейне). Число А называется пределомфункции в точке , если для любой сходящейся к последовательности такой, что , , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А:

или . 6

ОПР. 16 (по Коши). Число А называется пределомфункции в точке (при ), если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Замечание. Число А является пределом, например, функции трех переменных в точке , если для всех значений x, yи z, достаточно мало отличающихся от чисел x₀, y₀ и z₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А:

. 7

Пусть функция определена на множестве , которое содержит точки, сколь угодно удаленные от точки .

Все правила предельного перехода, рассмотренные для функций одной переменной, без всяких изменений переносятся на случай функций нескольких переменных.

ОПР. 17 Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (т.е. точка является внутренней точкой ) и ее предел равен значению функции в предельной точке:

. 8

Для функции трех переменных и внутренней точки равенство 7 примет вид:

. 9

Замечание. Аналогично соответствующим положениям теории функций одной переменной арифметические операции над непрерывными в данной точке функциями нескольких переменных, так же, как и построение сложных функций, приводят к непрерывным же функциям.

ОПР. 18 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области , называется непрерывной в этой области.

Отметим свойства, характерные для непрерывных в замкнутых ограниченных областях функций нескольких переменных.

Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то:

• 
  функция ограничена в области ;
  
• 
  функция принимает в свои наименьшее и наибольшее значения;
  
• 
  функция принимает в любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями.
  

ОПР. 19 Предельные точки области определения функции , в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва этой функции.