курсовая. Союнов_Производная26.04.22. Физикоматематический факультет Кафедра математики и методики преподавания математики

• Название: Физикоматематический факультет Кафедра математики и методики преподавания математики
• Анкор: курсовая
• Дата: 03.05.2022
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Союнов_Производная26.04.22.docx
• Тип: Курсовая; #509947
• страница: 1 из 3

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический

университет имени Максима Танка»

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики преподавания математики

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Допущена к защите Заведующий кафедрой ________ Гуло И.Н. Протокол № ____ от __________ 2022 г.	Курсовая работа студента 240119 группы 3 курса специальности «Математика и информатика» дневной формы получения образования ____________ Союнов Язджума
Защищена __________ 2022 г. с отметкой «_______________»	Научный руководитель – доцент ___________ Гуло И.Н.

Минск, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ………………………………………………….4

1.1. Исторические сведения………………………………………………4

1.2. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл…..4

1.3. Понятие дифференциала функции…………………………………...6

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ……….8

2.1. Исследование функций и построение их графиков………………..8

2.2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)……………………………….9

2.3. Определение периода функции……………………………………...10

2.4. Нахождение величины угла между прямыми и кривыми…………………………………………………………………………..11

2.5. Применение производной при решении задач в разных науках….12

2.5.1 Задачи по геометрии…………………………………………12

2.5.2 Задачи по физике……………………………………………..15

2.5.3. Решение экономических задач……………………………...17

2.6. Вычисление пределов функции с помощью правила Лопиталя…..18

2.7. Отбор кратных корней уравнения…………………………………..19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………...21

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………...22


ВВЕДЕНИЕ

Рассматриваемая тема является одним из разделов курса алгебры и начала анализа. Она имеет широкое применение в таких науках как физика, геометрия и др.

Математический аппарат этой темы помогает при вычислении определенных и неопределенных интегралов и пределов функций, при доказательстве неравенств, помогает в исследовании функций в высшей математике. Кроме того, данная тема имеет свою историю, ей занимались и занимаются такие ученые как Г. Лейбниц, Ж. Лагранж, И. Ньютон, Г. Галилея, Р. Декарта. Подробнее остановимся на изложении исторического аспекта темы.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французкого слова derive, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736-1813); он же ввел современные обозначения . Такое название отражает смысл понятия: функция происходит из , является производным от . И. Ньютон называл производную функцией флюксией, а саму функцию- флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как . Символ Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функции .

Дифференциальное исчисление создано И. Ньютоном и Г. Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что за долго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции . В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Эта тема интересна и мне.

Цель моей работы – расширить свой кругозор и научиться решать задачи по данной теме.

Чтобы достигнуть цели, мне пришлось решить следующие исследовательские задачи.

1. Подобрать и изучить материал по этой теме.

2. Из изученного материала выбрать главное.

3. Систематизировать основной материал в форме реферативно-поисковой работы.

4. Научиться решать задачи по теме.
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

1.1 Исторические сведения

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Исаак Ньютоном и Готфрид Вильгельм Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движения. Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Никколо Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Галилео Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Рене Декарта, французского математика Жиль де Роберваля, английского ученого Кинг Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Гийом Франсуа Лопиталь, Даниил Бернулли, Жозеф Луи Лагранж, Леонард Эйлер, Иоганн Карл Фридрих Гаусс. [2]

1.2 Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

Геометрический смысл производной.

Теперь дадим не менее важное геометрическое истолкование производной. Для этого нам, прежде всего, потребуется определение касательной к кривой в данной точке.



Рис. 1. Рис. 2.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т. д.

Если при неограниченном приближении точки , по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то эта прямая называется касательной к кривой в точке .

Определение 1. Прямая заданная уравнением



называется касательной к графику функции в точке .

Рассмотрим функцию и соответствующую этой функции кривую

.

В прямоугольной системе координат (рис. 2). При некотором значении функция имеет значение . Этим значениям и на кривой соответствует точка . Дадим аргументу приращение . Новому значению аргумента соответствует «наращенное» значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведем секущую и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Составим отношение . Из рисунка 2 непосредственно усматриваем, что

.

Если теперь будет стремиться к нулю, то точка перемещаться вдоль кривой, приближаясь к . Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . Если при угол стремиться к некоторому пределу , то прямая, проходящая через и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент:

.

Следовательно,

,

т.е. значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x). [4, 680c]

1.3 Понятие дифференциала функции

Пусть функция fдифференцируема в точке x, т.е. пусть ее приращение может быть записано в виде

,

где . Это приращение состоит из двух слагаемых: , пропорционального , и , зависимость которого от сложнее, так как тоже зависит от . Слагаемое называют дифференциалом функции f и обозначают df,

.

Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение аргумента.

Дифференциал- от латинского слова differentio- разность.

Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке x, причем производная от f не обращается в нуль в этой точке, то дифференциал функции f и ее приращение являются при эквивалентными бесконечно малыми, т.е.

.

Доказательство. Мы имеем и . Так как , то

.

Поскольку дифференциал эквивалентен при приращению функции, причем он в отличие от приращения пропорционален (а не только «почти пропорционален») приращению аргумента, то дифференциал функции является главной линейной частью приращения.

Заметим, что , то дифференциал функции fв точке равен нулю. В этом случае и поэтому приращение является бесконечно малой более высокого порядка, чем :

.
Заметим, что дифференциал может быть и больше, чем приращение функции (это будет иметь место, если ).

Пример 1. Найдем приращение и дифференциал функции при x=1, .

Решение. Так как , то .

При , имеем .

Приращение же функции при x=1, равно .

Найдем дифференциал для функции f, где f(x)=x. Так как , то . Поскольку для этой функции f(x)=x, то пишут . Таким образом, считают дифференциал независимой переменной равным приращению этой переменной. В соответствии с этим формулу обычно записывают в следующем виде: . В приложениях функции обычно записывают в виде , обозначая буквой x аргумент, а буквой y- значение функции. При такой записи производную от функции f обозначают или . Соответственно дифференциал функции y=f(x) обозначают , причем употребляют как запись , так и запись .

Из формулы следует, что

.

Запись (или ) используется для обозначения производной функции f.[2, 416c]

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

2.1. Исследование функций и построение их графиков

Пример 2. Исследовать и построить график функции



Решение.

1. 
   Функция существует для всех .
   
2. 
   Функция не является ни четной, ни нечетной,
   

так как



то есть и .

3. 
   В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.
   

При этом

4. 
   Находим производную: и приравниваем ее к нулю:
   

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

5. 
   Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .
   

Тогда или .

Получим, что при функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.



Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».
2.2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)

Пример 3. Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Пример 4. Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение.

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара



С другой стороны, по условию , откуда

Подставляя в (*), находим



Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при х>0:



Единственный положительный корень производной – это точка Она и дает решение задачи. При этом

2.3. Определение периода функции

Пример 5. Является ли периодической функция ?

Решение

Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.

Предположим, что данная функция является периодической с периодом Т. Применяя формулу

,

получаем

где . Имеем



Поскольку по предположению функция имеет период Т, то функция , а следовательно, и функция также имеют период Т.

Значит, и функция

Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число , , такое, что Т= . Аналогично показывается, что существует число , такое, что Т= .

Но тогда

т.е. число является рациональным, что неверно. Следовательно, данная функция не является периодической.

2.4. Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.

Углом между графиками функций и в точке их пересечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке (рис.).

Пример 6. Найти угол между графиками функций и

в точке их пересечения (с положительной абсциссой).

Решение.

Абсциссы точек пересечения данных графиков удовлетворяют уравнению



И тем самым следующей системе:

Отсюда находим, что графики функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Найдем тангенсы углов наклона касательных к обоим графикам функций в точке с абсциссой, равной 2. Имеем



Отсюда и Так как , то уравнения касательных к графикам функций и в точке (2;2) соответственно имеют вид

и

т.е.

и

Следовательно, величина угла между касательными удовлетворяют уравнению

и тем самым графики функций и в точке с абсциссой х=2 пересекаются под углом, равным [3, 496 c]