Лекция 1 Основные понятия ФНП. Дифференцирование. (1). Функции нескольких переменных

• Название: Функции нескольких переменных
• Дата: 06.07.2022
• Размер: 222.28 Kb.
• Имя файла: Лекция 1 Основные понятия ФНП. Дифференцирование. (1).docx
• Тип: Документы; #625601

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функции одной независимой переменной не охватывают все существующие зависимости. Поэтому данное понятие обобщают и вводят понятие функции нескольких переменных.

Определение. Соответствие f, которое каждой набору n переменных сопоставляет одно и только одно действительное число , называется функцией нескольких переменных и записывается в виде .

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций двух переменных переносятся на случай большего числа переменных .

§1. Понятие функции двух переменных

Пусть D – это множество упорядоченных пар чисел .

Опр. Соответствие f, которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно действительное число , называется функцией двух переменных и записывается в виде .

При этом xи y называются независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Множество называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых в области определения, называется областью значений этой функции и обозначается E(f)или E.

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Функция двух переменных имеет областью определения множество пар , таких, что . Записывают: . Геометрически область определения представляет некоторую часть плоскости Oxy, изображающую решение неравенства . Преобразовав неравенство, получим - это круг с центром в точке и радиусом R=2.

Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность, представляющая собой множество всех точек пространства Oxyz с координатами называется аппликатой точки.

Пример 1. На рисунке 23 изображен график функции , представляющий собой полусферу с центром в точке и радиусом R=2.

Функцию двух переменных, как и функцию одной переменной, можно задать разными способами: аналитически, таблицей, графиком.

Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на сечении поверхности плоскостями , где - любое число, т.е. плоскостями, параллельными плоскости .

Назовем линией уровня функции множество точек плоскости , в которых функция принимает одно и то же значение .

_{Пример 2.} Найти линии уровня функции

Решение. Найдем линии уровня из условия Преобразуем данное равенство Полученное уравнение при условии задает на плоскости семейство концентрических окружностей с центром О(0; 0), радиусом

§2. Предел и непрерывность функций двух переменных
Опр.1. Множество всех точек, координаты и которых удовлетворяют неравенству , или, короче, , называется -окрестностью точки .

Опр.2. Число называется пределом функции в точке , если для такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной переменной на функции двух переменных. Например, следующую теорему.

Теорема. Пусть функции и определены на одном и том же множестве и имеют в точке пределы и . Тогда функции , и имеют в точке пределы, равные соответственно , и

Пусть на некотором множестве определена функция , точка и любая -окрестность точки содержит точки множества .

Опр.3. Функция называется непрерывной в точке , если

, или .

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

Замечание. Понятия предела и непрерывности функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных.

§3. Частные производные первого порядка функции двух переменных

Пусть задана функция . Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение неизменным. Придадим переменной x приращение ,сохраняя при этом значения переменной y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называют частным приращением zпо x и обозначают . Итак,

.

Аналогично получаем частное приращение zпо y:

.

Частная производная функции в точке по переменной x определяется следующим равенством:




в случае если существует.

Аналогичным образом определяется и обозначается частная производнаяпо переменной y:




Для обозначения частных производных применяют так же следующие символы

На практике для нахождения частных производных используют те же правила и формулы, что и в случае дифференцирования функции одной переменной, при этом, определяя , полагают y постоянной, а при нахождении – x.

Пример. Найти частные производные функции .

Решение.



.

§4 Геометрический смысл частных производных

Графиком функции , как было указано выше, является некоторая поверхность.

Рассмотрим геометрический смысл производной в точке (x₀;y₀). Полагаем тогда график функции есть линия пересечения поверхности с плоскостью . Исходя из геометрического смысла производной функции одной переменной, заключаем, что , где  – угол между осью Ox и касательной, проведенной к кривой в точке (рис.2).

Аналогично, , где  – угол между осью Oy и касательной, проведенной к кривой в точке .

§5 Дифференциал функции

Для функции одной переменной дифференциал функции определялся как главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная произведению .

Обобщим данное определение для функции двух переменных.

Опр. Полным дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно и , т.е.

(1)

Выражения и называют частными дифференциалами. Ранее было показано, что для независимых переменных х и у имеют место равенства и . Тогда равенство (1) примет вид .

Рассмотрим без доказательства две теоремы.

Теорема1. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные , и выполняются равенства , .

Теорема 2. Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой

(2) или (3).

Арифметические свойства и правила нахождения дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Пример 1. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Найдем частные производные функции

.

.

Применим формулу (3), получим:

.

Полный дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка. Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то можно найти дифференциал второго порядка, применив формулу

(4).

Дифференциалы, порядок которых выше первого, называют дифференциалами высших порядков.

Пример 2. Найти дифференциал второго порядка для функции .

Решение. Найдем производные первого порядка

. .

Найдем производные второго порядка

, , .

Применим формулу (4)

§6 Частные производные высших порядков

Частные производные и называются частными производными первого порядка. Они тоже являются функциями двух переменных xи y. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка и определяются следующим образом:



Аналогично определяются частные производные третьего и т.д. порядка. Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Например, .

При этом следует учитывать, что если производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. Так, например, . Поэтому на практике достаточно найти одну из таких производных.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Так как , то

, .

Замечание. Понятия частных производных и производных высших порядков обобщаются на функции трех и более переменных.

Литература:

1. 
   Д. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», глава 9, параграф 43, 4 п. 44.1, 44.2
   
2. 
   Н.Ш. Кремер «Высшая математика для экономистов», глава 15 п. 15.1-15.3