лекция. СТРЭС -Л 1-4ТВ. Функциональные преобразования случайных величин в задачах анализа рэс

• Название: Функциональные преобразования случайных величин в задачах анализа рэс
• Анкор: лекция
• Дата: 20.04.2022
• Размер: 79.69 Kb.
• Имя файла: СТРЭС -Л 1-4ТВ.docx
• Тип: Лекция; #487156

ЛЕКЦИЯ 4.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА РЭС
4.1.Плотность вероятности монотонной функции случайного аргумента
4.1.1Функциональное преобразование случайной величины
На практике часто одна случайная величина бывает связана с другой известной функциональной зависимостью

(4.1)

и требуется найти закон распределения если известно распределение случайного аргумента . Выражение (4.1) является расширенным понятием функции на случай, когда аргументом является случайная величина.

Для нахождения ,если известна , рассмотрим сначала случай, когда функция

(4.2)

Связывающая между собой возможные значения x и y соответственно случайные величины и ,является непрерывной монотонной функцией (рис.4.1.а). Это означает, что производная dy/dx не меняет значения между x и y имеется однозначная связь.


y

y+dy

y +dy y

y



0 x x+dx x x₁ x₂ x₃

x₁+dx₁ x₂+dx₂ x₃+dx₃

а) б)

рис.4.1. Монотонная и немонотонная функциональные зависимости

В силу однозначной связи между и вероятность нахождения на интервале [х;x+dx]:

P(y< Равенство (7.3) согласно свойству плотности вероятности может быть записано в виде



Куда

(4.4)

Абсолютного значения производной [dx/dy] поставлен потому. Что любая плотность вероятности по своему определению не может быть отрицательной, а производная dx/dy может быть и больше, и меньше нуля. Кроме того, чтобы справа была зависимость только от x необхожимо в x выразить через y:x= , где функция обратная f.
4.2 .Плотность вероятности немонотонной функции случайного аргумента
Если же функция немонотонная (рис.4.1.б), то вероятность нахождения на интервале [ < < +d ], или на интервале [ < < +d ], или на интервале [ < < +d ], но на каком-то одном из них, то есть задача сводится к случаю нахождения вероятности трех несовместных событий. Применяя формулу (7.3) к данному случаю имеем

P(y< ( < < +d )+( < < +d )+( < < +d )

К плотностям вероятности и методика рассмотрения задана в монотонном случае, имеем:


(4.5)
где формула (4.5) сообщена на случай, когда число неоднозначностей в общем случае будет n.

Таким образом, можно сформулировать следующее правило определения , если известны и зависимость у = f(х).

1. Провести анализ у= f(х), в результате которого определено число неоднозначностей n и найти производные dx_i/dy по каждому участку неоднозначности.

2. Воспользоваться формулами (4.4), если n = 1, или (4.5) общем случав и найти , выразив каждое х_i через _.

3. По заданному интервалу [ ] существования случайной величины найти интервал [а,b] на основании функциональной зависимости.
4.3.Чиловые характеристики функции случайного аргумента
Получив , числовые характеристики можно определить в

соответствии с их определением. Например, для математического ожидания я дисперсии имеем выражения:
(4.7)
(4.8)
Если же в задаче по заданным y=f(x) и (х) требуется найти только (4.7), (4.8) и не ставится вопрос об определении , то в этом случае

(4.9)
(4.10)

Другими словами, для определения только в задачах по диффернециальному преобразованию находить не обязательно.

4.4. Функциональное преобразование системы двух случайных величин

Пусть двумерная случайная величина ( , ) функционально

связана с другой двумерной случайной величиной ( _, так, что прямые и обратные зависимости их возможных значений (X₁,X₂ )(У₁, .

Прямые зависимости:



(4.11)



Кратные зависимости:

,

(4.12)

.
Пусть прямые и обратные зависимости являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми. Примерами таких функциональных преобразований служат поворот прямоугольных координат или преобразование прямоугольных координат в полярные и обратно.

Поставим задачу найти двумерную плотность вероятности ₌₂(y₁,y₂)= , если известна плотность вероятности аргументов = (x_1,x₂) и заданы функциональные зависимости

(7.11),(7.12).

Применив методику, изложенную выше, получим

Р(У₁< <У₁+dy₁;У₂< <У₂+dy₂)=P(x₁< 1+dx₁;x₂< 2+dx₂)или с использованием плотностей вероятности

= ,

откуда



где знак абсолютного значения поставлен из соображения объяснения условия .

Из математического анализа известно, что соотношение I

J₂=

является якобианом преобразования, который выражается через делитель второго порядка.

Таким образом,

=

то есть плотность вероятности при функциональном преобразовании определяется произведением двумерной плотности вероятности аргументов на абсолютное значение якобиана преобразования при выражении аргументов через функции.

4.5. Двумерная плотность вероятности модуля и аргумента случайного вектора при гауссовских проекциях. (пример)
Рассмотрим случайный вектор, у которого проекции в прямоугольной системе координат являются случайными величинами . Поставим задачу найти двумерную плотность вероятности модуля А и аргумента (т.е. фазы) Ф этого случайного вектора в случае если являются независимыми гауссовскими случайными величинами при и при одинаковых дисперсиях , так что двумерная плотность вероятности определяется выражением (6.43).

По своему геометрическому смыслу поставленная задача сводится к определению плотности вероятности полярных координат случайной точки, если её прямоугольные координаты являются независимыми величинами.

Прямые и обратные зависимости между возможными значениями координат а, и прямоугольных координат х, у (рис.7.1) определяются следующими выражениями.
а= где а

(7.17)

где –x<
обратные:

х=асоs y=asin (7.18)

Воспользуемся формулой(7.16), которая для данного случая представляется в виде P(a, )=p(x,y) (7.19)

p(a)






y а



x
a) 0 m_a a

p( б)








- 0
в)

Якобиан преобразования будет равен

= =a (7.20)

Подставив (7.20) в (7.19), получим

P(а, )= = , (7.21)

где а – < < \'7.24>

Формула (7.21) определяет искомую двумерную плотность вероятности модуля и фазы случайного вектора при гауссовских проекциях с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями.

Для нахождения отдельно р(а) или р( ) нужно проинтегрировать р(а, ) по всем возможным значениям или а (лекция 6). Тогда

(7.22)
Полученная зависимость р(а) носит название распределения (рис.7.2.б). Говорят, что длина вектора при рассмотрении в гауссовских проекциях с нулевым средним и одинаковыми дисперсиями имеет распределение Релея, в котором параметр играет роль моды, а математическое ожидание и дисперсия соответсвенно медианы:

(7.23)

(7.24)

в свою очередь

р( )= (7.25)

так как по условию нормировки.
Из (7.25) следует что р( ) не зависит от и имеет постоянное значение на интервале от до . Говорят, что фаза или аргумент вектора имеет равномерное распределение, так что согласно (5.23) и (5.24) лекции 5, имеем

= =0
=
Полученный результат имеет радиотехническую интерпретацию. Любой узкополосный процесс может быть представлен вектором, которого модуль соответствует амплитуде (огибающей), a аргументом в фазе колебаний. Если ортогональные составляющие этого узкополосного процесса независимы и имеют гауссовское распределение с левыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, огибающая процесса имеет релеевское распределение, а фаза распределяется равномерно на интервале [ ].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В лекции выведены соотношения для плотности вероятности числовых характеристик случайной величины и системы двух случайных величин, полученных в результате функционального, в общем случае нелинейного, преобразования. Приведены примеры преобразований системы случайных величин при переходе от прямоугольной полярной системы координат и при суммировании случайных величин. Раскрыта методика моделирования на ЭВМ случайной величины, имеющий заданный закон распределения.