Множества, логика и числа. множества логика и числа. Гбоу Кузбасский медицинский колледж
 Скачать 1.33 Mb.
|
|
ГБОУ «Кузбасский медицинский колледж» Кемерово 2020 г Преподаватель: математики и информатики Щеглова А.А. для студентов I курса Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое. Обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D, ... Например: Множество цифр десятичной системы счисления = А Множество букв русского алфавита =В Множество натуральных чисел = N Множество дней недели = D Множество месяцев в году = M Множество птиц =Р Множество насекомых=К и т.д. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Обозначение: a, b, c,…, z Множество состоит из элементов и записывается при помощи фигурных скобок
означает, что элемент принадлежит множеству. ∉ означает, что элемент не принадлежит множеству. Запись: а А означает, что а – это элемент множества А. а ∉ А означает, что элемент а не принадлежит множеству А. Например: Множество целых чисел N={1,2,3,4,…}. Например: 2 N или 2 {1,2,3,4,…} -5 ∉ N или -5 ∉{1,2,3,4,…} Множество букв русского алфавита А={а,б,в,г, ….}. Например: а А или а {а,б,в,г, ….} d ∉ N или d∉{а,б,в,г, ….} Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым. Обозначение: Например: Множество груш на березе Множество треугольников, у которых пять углов Множество чисел, которые делятся на ноль Множество, которое состоит из одного элемента называется единичным. Например: Множество букв «А» в русском алфавите Множество сердец в организме человека Множество, которое имеет определенное количество элементов, называется конечным. Например: Множество букв в русском алфавите (33 буквы), Множество месяцев в году (12), Множество студентов в Вашей группе. Множество, которое имеет бесконечно много элементов, называется бесконечным. Например: Множество натуральных чисел – N Множество целых чисел – Z Множество рациональных чисел – Q Множество действительных чисел – R Задание множеств. Перечислить все его элементы или указать характеристическое свойство его элементов.
Из элементов множества можно составлять различные комбинации подмножеств. Множество В является подмножеством множества А, тогда В А. ⊂ называют знаком включения Например: Множество четырехугольников = А Подмножество квадратов = В. В А Подмножество прямоугольников = С. С А Четырехугольники прямоугольники квадраты Пустое множество () является подмножеством любого множества
Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Например: Равны множества решений уравнений 2х-4=16 (x=10), х/15=2/3 (x=10)– решением этих уравнений является одно и тоже число 10. Множество А состоит из куба, цилиндра, параллелепипеда. Множество В состоит из куба, цилиндра, параллелепипеда. Для наглядного представления множеств удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). Множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга. 1. Множество натуральных чисел N, N={1, 2, 3, 4, 5, …} 2. Множество целых чисел Z, Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} 3. Множество рациональных чисел Q, Q={p/q, где pz, qn} 4. Множество иррациональных чисел I - бесконечные непериодические дроби 5. Множество действительных чисел R получено объединением рациональных и иррациональных чисел. N Z Q R Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В (А∩В). а) А = {6; 7; 9} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11} А∩В = {7; 9} – т.е. общие элементы, которые совпадают в этих множествах б) А = {а; б; с} и В = {п; б; с; к; н; г}, то А∩В ={б; с} – т.е. общие элементы, которые совпадают в этих множествах А В 6 1 3 11 А В а н к п г 7 9 б с Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. а) А = {6; 7; 9} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11} А U В = {1;3;6;7; 9;11} – все элементы, которые входят в состав множеств А и В, элементы не повторяются. б) А = {а; б; с} и В = {б; с; п; к; н; г}, то А U В ={а; б; с п; к; н; г}– т.е. общие элементы, которые совпадают в этих множествах А В 6 А В 7 9 1 3 11 а с н к п г б Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. А В 6 А В 7 9 1 3 11 а с н к п г б Например,Например, А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, А\ В={2; 4; 6; 8}. А В 2 5 20 15 4 6 8 10 Математическая логика – раздел математики, изучающий математические доказательства и вопросы оснований математики. МЫШЛЕНИЕ осуществляется через:Понятия Высказывания Умозаключения ВЫСКАЗЫВАНИЕВысказывание - формулировка своего понимания окружающего мира. Повествовательное предложение в котором что-либо утверждается или отрицается Например: Париж – столица Франции ИСТИННОЕ ЛОЖНОЕ Буква «А» - гласная Лондон – столица Германии Вопросительные, повелительные и бессмысленные предложения не являются логическими высказываниями. Высказывание является логической константой, величина, которой равна 1 (истина) или 0 (ложь). Например: предложение «2x = 4» не является высказыванием. Для того чтобы имело смысл говорить об его истинности или ложности, необходимы некоторые дополнительные сведения. Каждому значению переменной x будет соответствовать либо истинное, либо ложное высказывание; например, при х=2 высказывание истинно, при остальных ложно. Например:Например: Высказывание А= «Париж столица Франции», его отрицание А= «Неверно, что Париж столица Франции». Отрицанием ложного высказывания А=24=8 является истинное высказывание А=24=16 Высказывание А= «Я не знаю китайский язык», его отрицание А=«Неверно, что я не знаю китайский язык» или, А=«Я знаю китайский язык».
Отрицанием (инверсией) высказывания A называется высказывание, которое истинно, если высказывание A ложно, и ложно, когда A истинно. Обозначение А. Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ;¬;− Конъюнкция двух высказываний A и B — это сложное логическое высказывание, которое истинно только в случае истинности всех составляющих высказываний, в противном случае оно ложно. Обозначения: A & B, A ∧ B . Читается: « A и B».
Дизъюнкция двух высказываний A и B — это сложное логическое высказывание, которое ложно только в случае ложности всех составляющих высказываний, в противном случае оно истинно. Высказывание считается истинным, когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний. Обозначается: A ∨ B , A + B. Читается: « A или B».
Натуральными называют числа, которые используют для счета предметов. Например: 1, 2, 3, 4, 5, ... Число 0 не является натуральным. Множество всех натуральных чисел {1, 2, 3, 4, 5, ... } обозначают буквой N. Чётное число, если делится на 2 и без остатка. Например, 8,4,2,6. Нечётное число не делится на 2 без остатка. Например, 3,5,7,9 Простое число - это натуральное число, имеющее ровно 2 различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Например, 11, 13, 7, 5, 3 Все остальные натуральные числа кроме единицы-составные. Например, 4,8,15. Любое число можно разложить на простые множители: 35 = 5 * 7 Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2. Например, 42, 16, 20 и т.д. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда , когда его последняя цифра либо 0, либо 5. Например, 45, 10, 20 и т.д. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда , когда его последняя цифра 0. Например, 40, 10, 20 и т.д. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например: 15 (сумма цифр: 1+5=6. Делится на 3: 6/3=2) и т.д. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например: 27 (сумма цифр: 2+7=9. Делится на 9: 9/9=1) и т.д. Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Например: 2516 (последние две цифры в числе 16. 16/4=4 ), 4340 (последние две цифры в числе 40.10), 764 (последние две цифры в числе 64. 64/4=16 ) и т.д. Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z. Например: … -4, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3 … Сократить дробь — значит, числитель и знаменатель дроби разделить на одинаковый множитель отличный от 1, в результате деления дробь записывается числами, величина которых меньше во столько раз, какова величина делителя. Чтоб сложить (вычесть) 2 дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить (вычесть) их числители. Правила сложения дробей с разными знаменателями: приводим дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК)знаменателей; складываем числители дробей, а знаменатели оставляем не меняя; сокращаем дробь, которую получили; если получили неправильная дробь – преобразовываем неправильную дробь в смешанную дробь. Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R. Презентация «Теория множеств»: Онлайн презентации – [Электронный ресурс]. URL: https://ppt-online.org/596887 (дата обращения: 26.09.2020) Презентация «Элементы математической логики»: Онлайн презентации – [Электронный ресурс]. URL: https://ppt-online.org/596887 (дата обращения: 26.09.2020) Презентация «Числа целые и рациональные»: Онлайн презентации – [Электронный ресурс]. URL: https://ppt-online.org/228998 (дата обращения: 26.09.2020) |