Главная страница

множества. множества логика и числа. Гбоу Кузбасский медицинский колледж


Скачать 1.33 Mb.
НазваниеГбоу Кузбасский медицинский колледж
Анкормножества
Дата10.12.2021
Размер1.33 Mb.
Формат файлаppt
Имя файламножества логика и числа.ppt
ТипДокументы
#299173



ГБОУ «Кузбасский медицинский колледж»


Кемерово
2020 г


Преподаватель: математики и информатики Щеглова А.А.
для студентов I курса


Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое.
Обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D, ...
Например:
Множество цифр десятичной системы счисления = А
Множество букв русского алфавита =В
Множество натуральных чисел = N
Множество дней недели = D
Множество месяцев в году = M
Множество птиц =Р
Множество насекомых=К и т.д.


Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Обозначение: a, b, c,…, z
Множество состоит из элементов и записывается при помощи фигурных скобок


Словесное описание множества


Задание множества с перечислением элементов


Элементы


Множество цифр десятичной системы счисления


А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}


0,1,2,3,4,5,6,7,8,9


Множество букв русского алфавита 


B={а,б,в,г,д,е,ё,ж,з,и,й,к,л,м,н,о,п,р,с,т,у,ф,х,ц,ч,ш,щ,ъ,ы,ь,э,ю,я}


а,б,в,г,д,е,ё,ж,з,и,й,к,л,м,н,о,п,р,с,т,у,ф,х,ц,ч,ш,щ,ъ,ы,ь,э,ю,я


Множество натуральных чисел


N={1,2,3,4,5...}


1,2,3,4,5...


  означает, что элемент принадлежит множеству.
∉ означает, что элемент не принадлежит множеству.
Запись:
а  А означает, что а – это элемент множества А.
а ∉ А означает, что элемент а не принадлежит множеству А.
Например:
Множество целых чисел N={1,2,3,4,…}. Например:
2  N или 2  {1,2,3,4,…}
-5 ∉ N или -5 ∉{1,2,3,4,…}
Множество букв русского алфавита А={а,б,в,г, ….}. Например:
а  А или а  {а,б,в,г, ….}
d ∉ N или d∉{а,б,в,г, ….}


Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым.
Обозначение: 
Например:
Множество груш на березе
Множество треугольников, у которых пять углов
Множество чисел, которые делятся на ноль


Множество, которое состоит из одного элемента называется единичным.
Например:
Множество букв «А» в русском алфавите
Множество сердец в организме человека


Множество, которое имеет определенное количество элементов, называется конечным.
Например:
Множество букв в русском алфавите (33 буквы),
Множество месяцев в году (12),
Множество студентов в Вашей группе.


Множество, которое имеет бесконечно много элементов, называется бесконечным.
Например:
Множество натуральных чисел – N
Множество целых чисел – Z
Множество рациональных чисел – Q
Множество действительных чисел – R


Задание множеств. Перечислить все его элементы или указать характеристическое свойство его элементов.


1 способ (перечисление элементов множества)


2 способ (указание характеристического свойства)


1. Множество квадратов натуральных чисел.


А = {1, 4, 9, 16 …}


А = {n2 / n  }


2. Множество четных натуральных чисел.


А = {2, 4, 6, 8 …}


A = {2n / n  }


Из элементов множества можно составлять различные комбинации подмножеств.
Множество В является подмножеством множества А, тогда
В  А.
⊂ называют знаком включения
Например:  
Множество четырехугольников = А
Подмножество квадратов = В. В  А
Подмножество прямоугольников = С. С  А


Четырехугольники


прямоугольники


квадраты


Пустое множество () является подмножеством любого множества


Множество


подмножество


К={}


 К, {} К


Т={понедельник, вторник}


Т, {понедельник} Т {вторник} Т , {понедельник, вторник}Т


А={1,5,8}


 А, {1} А, {5}А , {8}А, {1,5}А ,{5,8}А , {1,8}А , {1,5,8} А


В={а, с, р, о}


 В, {а}  В, {с}  В, {р}  В, {о}  В, {а, с}  В,
{а, о}  В, {с, р}  В, {с, о }  В, {р, о}  В, {а, с, р}  В, {а, с, о}  В, {с, р, о}  В, {а, с, р, о}  В


Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов.
Например:
Равны множества решений уравнений 2х-4=16 (x=10), х/15=2/3 (x=10)– решением этих уравнений является одно и тоже число 10.
Множество А состоит из куба, цилиндра, параллелепипеда. Множество В состоит из куба, цилиндра, параллелепипеда.


Для наглядного представления множеств удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). Множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.


1. Множество натуральных чисел N,
N={1, 2, 3, 4, 5, …}
2. Множество целых чисел Z,
Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
3. Множество рациональных чисел Q,
Q={p/q, где pz, qn}
4. Множество иррациональных чисел I - бесконечные непериодические дроби
5. Множество действительных чисел R получено объединением рациональных и иррациональных чисел.


N


Z


Q


R


Пересечением множества А и В называют множество,
состоящие из всех общих элементов множеств А и В (А∩В).


а) А = {6; 7; 9} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
А∩В = {7; 9} – т.е. общие элементы, которые совпадают в этих множествах
б) А = {а; б; с} и В = {п; б; с; к; н; г}, то А∩В ={б; с} – т.е. общие элементы, которые совпадают в этих множествах


А


В


6


1


3


11


А


В


а


н


к


п


г


7


9


б


с


Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.


а) А = {6; 7; 9} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
А U В = {1;3;6;7; 9;11} – все элементы, которые входят в состав множеств А и В, элементы не повторяются.
б) А = {а; б; с} и В = {б; с; п; к; н; г}, то А U В ={а; б; с п; к; н; г}– т.е. общие элементы, которые совпадают в этих множествах


А


В


6


А


В


7


9


1


3


11


а


с


н


к


п


г


б


Разность А и В это множество элементов А, не
принадлежащих В.


А


В


6


А


В


7


9


1


3


11


а


с


н


к


п


г


б

Например,


Например,
А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20},
А\ В={2; 4; 6; 8}.


А


В


2


5


20


15


4


6


8


10


Математическая логика – раздел математики, изучающий математические доказательства и вопросы оснований математики.

МЫШЛЕНИЕ осуществляется через:


Понятия
Высказывания
Умозаключения

ВЫСКАЗЫВАНИЕ


Высказывание - формулировка своего понимания окружающего мира. Повествовательное предложение в котором что-либо утверждается или отрицается
Например: Париж – столица Франции


ИСТИННОЕ ЛОЖНОЕ
Буква «А» - гласная Лондон – столица Германии


Вопросительные, повелительные и бессмысленные предложения не являются логическими высказываниями.
Высказывание является логической константой, величина, которой равна 1 (истина) или 0 (ложь).
Например:
предложение «2x = 4» не является высказыванием. Для того чтобы имело смысл говорить об его истинности или ложности, необходимы некоторые дополнительные сведения. Каждому значению переменной x будет соответствовать либо истинное, либо ложное высказывание; например, при х=2 высказывание истинно, при остальных ложно.

Например:


Например:
Высказывание А= «Париж столица Франции», его отрицание А= «Неверно, что Париж столица Франции».
Отрицанием ложного высказывания А=24=8 является истинное высказывание А=24=16
Высказывание А= «Я не знаю китайский язык», его отрицание А=«Неверно, что я не знаю китайский язык» или, А=«Я знаю китайский язык».


А


Ā


0


1


1


0


Отрицанием (инверсией) высказывания A называется высказывание, которое истинно, если высказывание A ложно, и ложно, когда A истинно. Обозначение А. Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ;¬;−


Конъюнкция двух высказываний A и B — это сложное логическое высказывание, которое истинно только в случае истинности всех составляющих высказываний, в противном случае оно ложно. Обозначения: A & B, A ∧ B . Читается: « A и B».


А


В


А^В


0


0


0


0


1


0


1


0


0


1


1


1


Дизъюнкция двух высказываний A и B — это сложное логическое высказывание, которое ложно только в случае ложности всех составляющих высказываний, в противном случае оно истинно. Высказывание считается истинным, когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний. Обозначается: A ∨ B , A + B. Читается: « A или B».


А


В


АvВ


0


0


0


0


1


1


1


0


1


1


1


1


Натуральными называют числа, которые используют для счета предметов. Например: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Число 0 не является натуральным.
Множество всех натуральных чисел {1, 2, 3, 4, 5, ... } обозначают буквой N.
Чётное число, если делится на 2 и без остатка. Например, 8,4,2,6.
Нечётное число не делится на 2 без остатка. Например, 3,5,7,9
Простое число - это натуральное число, имеющее ровно 2 различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Например, 11, 13, 7, 5, 3
Все остальные натуральные числа кроме единицы-составные. Например, 4,8,15.
Любое число можно разложить на простые множители:
35 = 5 * 7


Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2. Например, 42, 16, 20 и т.д.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда , когда его последняя цифра либо 0, либо 5. Например, 45, 10, 20 и т.д.
Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда , когда его последняя цифра 0. Например, 40, 10, 20 и т.д.


Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например: 15 (сумма цифр: 1+5=6. Делится на 3: 6/3=2) и т.д.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например: 27 (сумма цифр: 2+7=9. Делится на 9: 9/9=1) и т.д.
Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Например: 2516 (последние две цифры в числе 16. 16/4=4 ), 4340 (последние две цифры в числе 40.10), 764 (последние две цифры в числе 64. 64/4=16 ) и т.д.


Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z. Например: … -4, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3 …


Сократить дробь — значит, числитель и знаменатель дроби разделить на одинаковый множитель отличный от 1, в результате деления дробь записывается числами, величина которых меньше во столько раз, какова величина делителя.


Чтоб сложить (вычесть) 2 дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить (вычесть) их числители.
Правила сложения дробей с разными знаменателями:
приводим дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК)знаменателей;
складываем числители дробей, а знаменатели оставляем не меняя;
сокращаем дробь, которую получили;
если получили неправильная дробь –  преобразовываем неправильную дробь в смешанную дробь.


Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.


Презентация «Теория множеств»: Онлайн презентации – [Электронный ресурс]. URL:
https://ppt-online.org/596887 (дата обращения: 26.09.2020)
Презентация «Элементы математической логики»: Онлайн презентации – [Электронный ресурс]. URL:
https://ppt-online.org/596887 (дата обращения: 26.09.2020)
Презентация «Числа целые и рациональные»: Онлайн презентации – [Электронный ресурс]. URL:
https://ppt-online.org/228998 (дата обращения: 26.09.2020)



написать администратору сайта