Идея фузионизма в школьном курсе геометрии. Учебно-исследовательская работа. Исследовательская работа Идея фузионизма в школьном курсе геометрии план работы введение
 Скачать 86.17 Kb.
|
|
Учебно-исследовательская работа Идея фузионизма в школьном курсе геометрии ПЛАН РАБОТЫ 1.Введение……………………………………………………………………3 а). Цель работы …………………………………………………………………………3 б). Собственное отношение к теме……………………………………………………3 в). Задачи работы ………………………………………………………………………3 г). Понятие фузионизма ……………………………………………………………….3 д). Исторические сведения…………………………………………………………….3 2.Основная часть…………………………………………………………..4-8 а). Значение……………………………………………………………………………...4 б). Элементы фузионизма в современной школе………………………………... 4 в). Сравнение планиметрии со стереометрией……………………………………..5 г). Фузионизм при изучении геометрических фигур………………………………6 д). Фузионизм при изучении теорем………………………………………………..7-8 3.Заключение………………………………………………………………...9 4.Литература…………………………………………………………………9 1.ВВЕДЕНИЕ а). Цель работы: Выявить фактическую, внутреннюю и логическую связь между планиметрией и стереометрией. б). Собственное отношение к теме: Проблема слитного изучения планиметрии со стереометрией очень актуальна в наши дни, а спор по этому вопросу уходит в середину 18-го века, когда начали проходить реформы образования. В течение всего ушедшего 20-го века выдающиеся математики, педагоги и методисты решали одну из сложнейших проблем теории обучения математике в школе - как эффективно построить и преподавать школьный курс геометрии. Предмет их активных дискуссий заинтересовал и меня. Добавлю также, что, несмотря на серьёзный подход к этому вопросу многих специалистов, мы вошли в 21-й век, так и не решив её до конца. Я занялась исследованием этой темы, т.к. хочу улучшить своё пространственное воображение, следовательно, и воображение вообще. Тему «Фузионизмы в геометрии» логично рассмотреть в конце изучения школьного курса геометрии в качестве повторения и обобщения пройденного материала. Кроме того, мы встречаемся с фузионизмами при решении большинства задач, следовательно, изучив этот материал, я буду увереннее решать задачи на уроках геометрии, пользуясь новыми, приобретёнными знаниями. Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что разобравшись и поняв идею фузионизма в школьном курсе геометрии, эта работа принесёт большую практическую пользу. в). Задачи работы: 1). Выяснить понятие фузионизма вообще и в геометрии в частности. 2). Рассмотреть признак двойственности при изучении некоторых теорем геометрии и на примере геометрических фигур. 3). Перспектива идеи фузионизма. г). Понятие фузионизма. Идея фузионизма в геометрии всегда была привлекательна, сама по себе очень красива, нестандартна по отношению к традиционной сложившейся системе последовательного курса геометрии от планиметрии к стереометрии, восходящей ещё к «Началам» Евклида. Фузионизм от лат. слова fusio-слияние. Именно так в 19-ом веке называли слитное преподавание различных школьных предметов, например, физики и математики, химии и биологии. Фузионизмом так же называли слитное преподавание нескольких разделов математики - алгебры и геометрии, геометрии и арифметики, и, наконец, планиметрии и стереометрии. ПЛАНИМЕТРИЯ (от лат. planum — плоскость и греч. metreo — измеряю), часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. СТЕРЕОМЕТРИЯ (от стерео - объём и греч. metreo — измеряю), часть элементарной геометрии, в которой изучаются фигуры в пространстве. д). Исторические сведения. (из использованной литературы № 1) Реформы образования, как правило, совпадали с большими социальными изменениями, коренными общественными перестройками. Так, в середине 18-го века во Франции назревала революция, и новая идеология получила своё отражение в трудах «энциклопедистов». Раздел «Геометрия» в «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел» был написан Жан Лерон Даламбером. В нём автор восстал против традиционного курса, который преподавался по «Началам» Евклида, и изложил новый подход к изучению геометрии. Евклид, кстати, и был тем первым человеком, который разделил геометрию на две части: планиметрию и стереометрию, из которых последнюю- стереометрию он отодвинул в самый конец своих «Начал», желая логически построить замкнутую в себя систему геометрии. Новый курс содержал элементы совместного изложения начал планиметрии и стереометрии. (из использованной литературы № 3) Курс Даламбера произвёл большое впечатление на Николая Ивановича Лобачевского; ему понравилась идея слитного преподавания плоской и пространственной геометрии. Именно он в 1823 г. написал учебник «Геометрия», который историки математики называют одним из первых фузионистских курсов геометрии. Однако данный курс был предназначен для читателей, уже освоивших основной школьный курс геометрии. Большой заслугой Лобачевского является то, что он написал не просто теоретическую статью с изложением идей фузионизма, а разработал и представил единый фузионистский курс геометрии. В первой половине 19-го века Фузионизм ещё не был популярен в Росси, но весьма интересовал умы многих в Западной Европе, где Н.И.Лобачевский нашёл своих последователей, например, французского математика Монжа, а тот своих учеников: Брианшона, Понселе, Шаля, Штаудта и др. В 1825 г. известный французский математик Жергонн написал статью о необходимости слитного преподавания планиметрии и стереометрии, в которой поднял вопрос о неестественном (с его точки зрения) делении геометрии на плоскую и пространственную, что плохо влияет на умственное развитие учащихся. Именно Жергонн первый предложил запись аналогичных утверждений для плоскости и пространства в два столбца, например:
Этим приёмом мы ещё воспользуемся в дальнейшем. Заметим, что не все приветствовали и поддерживали фузионизм в геометрии. Так, например, известный математик Веронезе считал, что не следует увлекаться фузионизмом в самом начале изучения геометрии, что в преподавании следует идти от частного к общему, от простого к сложному. И в принципе мы с ним соглашаемся, но помним, что полностью отрицать фузионизм неправильно. 2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ а). Значение. Выведем значение фузионизма при изучении геометрии. Во-первых, воспользуемся словами Бретшнейдера, автора книги «О преподавании геометрии в гимназиях»: • Очень вредно молодой ум ученика долго задерживать на изучении плоской геометрии, так как от этого замедляется развитие пространственного представления, а от этого и развитие вообще. • Метод обучения геометрии, основанный на отделении планиметрии от стереометрии, не даёт тех результатов, каких можно достигнуть с помощью метода слияния. Так Бретшнейдер писал в своей работе. Туринский профессор Паоли отмечает: • Существует много аналогий между некоторыми плоскими и пространственными фигурами, но изучая их раздельно друг от друга, мы отказываемся видеть то, что даёт полная аналогия между ними, и тем самым возвращаемся к излишним повторениям. б). Элементы фузионизма в современной школе. (из использованной литературы № 2) Несмотря на большое значение фузионизма, в школе всё-таки не прижилось слитное преподавание планиметрии со стереометрией в систематическом курсе геометрии. Основная причина заключается в том, что фузионизм противоречит основным дидактическим принципам: от простого к сложному, последовательности, систематичности. Можно сделать вывод, что метод фузионизма будет весьма полезен и эффективен при проведении заключительного этапа изучения школьного курса геометрии – повторении основного пройденного материала. Каким будет курс фузионизма в школьной геометрии, ещё непонятно, но ясно, что нельзя игнорировать исторический опыт решения данной проблемы. При этом следует помнить, что фузионистский систематичиский курс геометрии никогда не был официальным, общепринятым, никогда не имел широкого распространения. в). Сравнение планиметрии со стереометрией.
г). Фузионизм при изучении геометрических фигур. Для выявления фузионизма при изучении геометрических фигур сформируем дидактические блоки: 1)куб-квадрат 2)параллелепипед-прямоугольник 3)пирамида-треугольник 4)сфера-окружность.
д). Фузионизм при изучении теорем. (из использованной литературы № 2) Пример 1: Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме Пифагора для прямоугольного треугольника.  « Если три грани тетраэдра - прямоугольные треугольники, то S1^22+S2^22+S3^22=S4^22, где S1, S2, S3– площади граней, составляющих прямой угол, S4- площадь четвёртой грани, лежащей против прямого трёхгранного угла.» Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников соответственно равны: у ∆ABD – a и b; у ∆ADC - a и d ; у ∆ACB - b и d , тогда S1=SADB=1/2*a*b; S2=SADC=1/2*a*d; S3=SACB=1/2*b*d. Для того, чтобы найти S4, найдём гипотенузу ∆ACB: CB=b2+d2. Высота основания, проведённая к гипотенузе CB, равна AM=b*d/ b2+d2. Высоту четвёртой грани (∆ DBC)Будем искать по теореме Пифагора: DM= a2+b2*d2/(b2+d2). Тогда S4=1/2* b2+d2 * a2+b2*d2/(b2+d2) = ½ * b2+d2 * a2*d2+ +a2*b2+b2*d2/b2+d2=1/2*a2*d2+a2*b2+b2*d2; S42=1/4*(a2*d2+a2*b2+b2*d2). Таким образом, мы имеем S12+S22+S32=1/4*a2*b2+1/4*a2*d2+1/4*b2*d2=1/4*(a2*b2+a2*d2+b2*d2) Так как правые части последнего и предпоследнего равенств равны, то равны и левые части: S12+S22+S32= S42, что и требовалось доказать. Пример 2: Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является пространственным аналогом такой плоскостной теоремы: «Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы». Формулировка аналогичной теоремы для пространства: «Если трёхгранный угол одного тетраэдра равен трёхгранному углу другого тетраэдра, то объёмы этих тетраэдров относятся, как произведение длин рёбер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трёхгранных углов». Пример 3: в планиметрии рассматривается такая задача: «как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на m единиц?»  Решение: S=1/2*a*h, где a – основание треугольника, а h – высота треугольника. S1=1/2*a*(h+m)=1/2*a*h+1/2*a*m; S-S1=1/2*a*m. С геометрической точки зрения увеличение площади данного треугольника равно площади треугольника с тем же основанием a и высотой m . Аналог этой задачи в стереометрии: «Дана пирамида. Как изменится её объём, если высоту увеличить на m единиц». Решение: V=1/3*Sосн.*h; V1=1/3*Sосн.*(h+m)=1/3*Sосн.*h+1/3*Sосн.*m. Имеем: V-V1=1/3*Sосн.*m, т.е. увеличение объёма равно объёму пирамиды с таким же основанием и высотой, равной m единиц. Пример 4: Рассмотрим плоскостную изопериметрическую теорему и пространственную изопериметрическую теорему. Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар – наиболее совершенные фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? В планиметрии известна такая теорема: «Из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг». Другими словами эту теорему можно сформулировать иначе: «Из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг». Пусть S – площадь фигуры, L - длина периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и круг с радиусом r являются изопериметрическими: L=2*3,14*r , тогда S<3,14*r2.Подставляя вместо r его выражение через L (r=L:2*3,14), преобразуем неравенство:4*3,14*S:L2<1. Частное 4*3.14*S:L2 зависит только от формы фигуры и не зависит от его размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные размеры фигуры в отношении ½, то периметр станет равен 2*L, а площадь – 4*S , но частное S:L2, как и частное 4*3,14*S:L2, остаётся неизменным. Эта закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом отношении. Изопериметрическое неравенство для объёмных тел будет записано в таком виде: 36*3,14*V2:S3<1, где V - объём тела, S - площадь полной поверхности тела. Эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объёма, но другой формы?» И, как говорил Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения», судя по всему, кот также имеет некоторое знакомство с этой теоремой. Я думаю, вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свёртывается и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным. Он делает так очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. 3.ЗАКЛЮЧЕНИЕ Итак, заметим, что идея фузионизма геометрии всегда была привлекательна, сама по себе очень красива, нестандартна по отношению к традиционной сложившейся системе последовательного изучения курса геометрии от планиметрии к стереометрии, восходящей ещё к «началам» Евклида. Почему же в школе не приживалось слитное преподавание планиметрии со стереометрией? Основная причина заключается в том, что фузионизм противоречит основным дидактическим принципам: от простого к сложному; последовательности; систематичности. Фузионистский систематический курс геометрии никогда не был общепринятым, никогда не имел широкого распространения. Можно сделать вывод, что метод фузионизма будет весьма полезен и эффективен при проведении заключительного этапа изучения школьного курса геометрии – повторении основного пройденного материала. Для преподавателей начальных классов, которые формируют на начальных этапах воображение детей в целом,а следовательно, и пространственное воображение, предлагается изготавливать с учениками на уроках труда из бумаги, пластилина и других материалов объёмные фигуры, начиная с самой простой, например с куба, а впоследствии на уроках математики пробовать работать с этими геометрическими телами. В старших же классах рекомендуется не жалеть время на уроках геометрии, где можно подробнее изучать свойства пространственных фигур используя наглядные макеты. Кроме того, подобные занятия повышают интерес учеников к предмету в целом. В решение задач для наилучшего понимания и виденья данного объекта нам помогает элементарное закрашивание той части фигуры, которую нужно рассмотреть. Таким способом мы как бы переходим от пространственной геометрии к геометрии на плоскости, что и является фузионизмом. 4.ЛИТЕРАТУРА 1) Гусев В.А. Геометрия 6-11. Экспериментальные учебники. – М.: Авангард, 1994-1999; 2) Левитас Г.Г. Фузионизм в школьной геометрии// Математика в школе, 1995, №6-С. 21-26. 3) Смирнова И.М. Идеи фузионизма в преподавании ШКГ.//Математика (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), №17, 1998. |
=(xA-xB)2+(yA-yB) 2
c1:c2
название