Лекция-9. IX. движение границы раздела двух жидкостей в пористой среде кинематические условия на подвижной границе раздела при взаимном вытеснении жидкостей

• Название: IX. движение границы раздела двух жидкостей в пористой среде кинематические условия на подвижной границе раздела при взаимном вытеснении жидкостей
• Дата: 20.03.2022
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: Лекция-9.doc
• Тип: Задача; #405958

IX. ДВИЖЕНИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В

ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
1. Кинематические условия на подвижной границе раздела при

взаимном вытеснении жидкостей
Задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде представляют большой теоретический и практический интерес. Так при разработке нефтяных месторождений в условиях водонапорного режима наблюдается стягивание контура нефтеносности под напором грунтовых вод. Аналогичная задача о движении границы раздела двух жидкостей с различными физическими свойствами (вязкостью и плотностью) возникает в некоторых случаях и при разработке газовых месторождений c активной краевой или подошвенной водой.

Строгое гидродинамическое решение задачи о движении границы раздела двух жидкостей, пригодное для практических расчетов, отсутствует. Исследованы лишь отдельные, частные случаи; разработаны некоторые приближенные методы. Основная трудность точного решения задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде заключается в том, что на границе раздела двух жидкостей происходит преломление линий тока.

Пусть кривая I-I (рис. 56) является границей раздела двух жидкостей с вязкостями ₁ и ₂ и пусть ₂>₁ (нефть-2 вытесняется водой-1).





Рис. 56
Рассмотрим произвольную точку М границы I-I и проведем через нее касательную и нормаль к границе раздела жидкостей. Рассмотрим нормальную и касательную составляющие скорости фильтрации в точке М, считая проницаемость среды постоянной по обе стороны границы раздела. Согласно условию неразрывности потока массы элементарные расходы обеих несжимаемых жидкостей через элемент граница раздела, включающей точку М, должны быть равны между собой. Отсюда следует, что нормальные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут равны, т.е. . Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых скоростях разрыва давления в сплошном потоке быть не может. Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут определяться по закону Дарси:
. (9.1)
Так как ₂>₁, то из (9.1) следует, что . Поэтому результирующий вектор скорости фильтрации , касательный к линии тока АМ, будет больше вектора , касательного к линии тока нефти МВ.

Следовательно, линии тока АМ и МВ, проходящие через точку М, будут иметь излом в точке М. Учет этого преломления линий тока на границе раздела жидкостей и составляет главную трудность в точном решении задачи продвижения границы раздела. Линии тока не будут преломляться только в двух случаях: при прямолинейно-параллельном и плоскорадиальном движениях границы раздела, когда . Эти задачи и будут рассмотрены ниже. При этом жидкости (нефть и вода) принимаются несжимаемыми, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение нефти водой предполагается происходящим полностью - так называемое поршневое вытеснение (полное вытеснение).
2. Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой.
При поршневом вытеснении нефти водой в пористой среде плотность нефти и воды будем считать одинаковыми. Это позволит рассматривать плоскость контакта нефти и воды вертикальной; при этом вязкости нефти и воды различны. Рассмотрим прямолинейное движение контура нефтеносности к прямолинейной батарее скважин в полосообразном пласте (рис.57).


Рис. 57
Принимаем: на контуре питания и на галерее поддерживаются собственно постоянные давления Р_К и Р_Г ; начальное положение контура нефтеносности Х₀ параллельно галерее и контуру питания; коэффициент пористости m = const; площадь сечения пласта . Обозначим:

Р_В, Р_Н - соответственно давление в любой точке водоносной и нефтеносной части пласта;

Р(t) - давление на границе вытеснения Х_В(t);

L_K - расстояние от контура питания до галереи.

Ранее отмечалось, что в случае прямолинейно-параллельного потока одной жидкости распределение давления Р(х) и скорость фильтрации описывались уравнениями (3.12) и (3.15):
или ; (9.2)
. (9.3)
При этом изобарами являются линии, параллельные галерее и каждую изобару можно рассматривать как контур питания или как галерею.

На основании формул (9.2) и (9.3) для водоносной области можно записать :

, ; (9.4)

. (9.5)
Принимая за контур питания изобару, совпадающую с границей раздела жидкостей, для нефтеносной области можно записать :
; (9.6)
. (9.7).
Найдем давление Р(t) на границе раздела.

Вследствие несжимаемости жидкостей и неразрывности потока линии тока будут параллельны оси Х и не имеют преломления, а скорость фильтрации во всех точках пласта одинакова; поэтому приравниваем (9.5) и (9.7) , т.е. имеем


откуда давление на границе раздела будет
(9.8)
Далее определим основные характеристики фильтрационного потока нефти и воды.

1) Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях. Для этого подставим (9.8) в (9.4) и (9.6):
(9.9)
(9.10)
Из уравнений (9.9) и (9.10) видно, что давление в пласте зависит не только от координаты Х, но и от положения границы раздела Х_В, которая перемещается , т.е. Х_В(t) растет; поэтому давление в водоносной области Р_В(t) падает, а в нефтеносной Р_Н (t) растет (рис.58). Пьезометрическая линия на границе раздела имеет излом.



Рис. 58
2) Найдем выражение скорости фильтрации. Подставим (9.8) в (9.5) и в (9.7); получим:

(9.11)
3) Расход жидкости (дебит галереи) Q.
(9.12)
Как видно из (9.11) и (9.12) скорость фильтрации и расход Q жидкости также изменяются со временем. Следовательно, несмотря на постоянство депрессии движение жидкости будет неустановившимся. При , как видно из этих же формул, скорость фильтрации и дебит Q галереи увеличиваются с течением времени, т.е. по мере продвижения контура нефтеносности. Это легко объясняется физическими явлениями: со временем область нефтеносности (область высокого фильтрационного сопротивления) уменьшается, поэтому скорость фильтрации V и расход Q увеличиваются.

4) Градиент давления. Продифференцируем выражения (9.9) и (9.10) по координате х:

(9.13)

. (9.14)
Как видно из (9.13) и (9.14), градиенты давлений в водоносной и нефтеносной областях со временем ( Х_В(t) растет) увеличиваются (линии на графике становятся более крутыми); при этом легко видеть из (9.13) и (9.14), что в нефтеносной области градиент давления больше, чем в водоносной во столько раз, во сколько _Н больше _В.

5) Закон движения границы раздела Х_В(t) находим из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения:


откуда

Проинтегрировав в пределах: от 0 до t и от Х₀ до Х_В, получим
(9.15)
Найдем время Т полного вытеснения нефти, полагая в (9.15) . Получаем

. (9.16)
Решая квадратное уравнение (9.15), находим закон движения границы раздела:

. (9.17)
Если подставить из (9.17) в (9.11) и в (9.12), можно получить выражения для скорости фильтрации V и расхода жидкости Q во времени. В частности
(9.18)

3. Плоскорадиальное вытеснение нефти водой
Рассмотрим задачу о вытеснении нефти водой в условиях плоскорадиального движения по закону Дарси (рис.59). На контуре питания радиуса R_K давление Р_К = const; на забое скважины радиуса r_С давление Р_С = const; коэффициент проницаемости k = const; толщина пласта h = const. Обозначим: R₀ и r_H - соответственно начальное и текущее положение контура нефтеносности; P_B и P_H - давление в любой точке водоносной и нефтеносной области соответственно; P(t) - давление на границе раздела.



Рис. 59
В случае установившегося плоскорадиального движения однородной жидкости распределение давления в потоке и скорость фильтрации описываются следующими уравнениями (3.25) и (3.27):
; (9.19)
. (9.20)
Если изобару, совпадающую в данный момент с контуром нефтеносности, принять за скважину, то распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно выразить так:

(9.21)


(9.22)


Теперь принимаем изобару, совпадающую с r_H, за контур питания, тогда P_H и V_H можно записать так:

(9.23)

(9.24)

Давление на границе раздела двух жидкостей Р найдем из условия равенства V_B=V_H (при этом r = r_H ).Получим:


откуда

(9.25)
Рассмотрим характеристики рассматриваемого плоскорадиального фильтрационного потока нефти и воды.

1. 
   Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях находим из (9.21) и (9.23), используя (9.25). Имеем:
   

(9.26)
. (9.27)

Из формул (9.26) и (9.27) видно, что закон распределения давления в обеих зонах логарифмический. Если знаменатель в (9.26) и (9.27) представить в виде

,
то можно заметить, что при r_Н , уменьшающемся во времени (при стягивании контура нефтеносности), этот знаменатель также уменьшается. Тогда из (9.26) и (9.27) следует, что давление в водоносной части пласта со временем уменьшается, а в нефтеносной - растет.

2. 
   Градиент давления в обеих частях потока найдем, продифференцировав выражения (9.26) и (9.27):
   

; (9.28)

. (9.29)
Из (9.28) и (9.29) видно, что градиенты давлений как в водоносной, так и в нефтеносной зонах растут во времени (т.к. знаменатель в этих формулах во времени уменьшается).

На границе раздела жидкостей ( r = r_Н) градиент давления в водоносной области меньше, чем в нефтеносной во столько раз, во сколько . Это означает, что на границе раздела жидкостей пьезометрическая линия претерпевает излом.

3. 
   Скорости фильтрации жидкостей определим из закона Дарси:
   

; . (9.30)
Подставив в (9.30) значения градиентов из (9.28) и (9.29), получим:
(9.31)
Из выражений (9.31) видно, что скорости фильтрации как воды, так и нефти растут со временем (знаменатель во времени уменьшается).

4. 
   Дебит скважины Q найдем через скорость фильтрации и площадь сечения пласта .
   

. (9.32)

При постоянной депрессии дебит скважины увеличивается во времени, т.е. с приближением к ней контура нефтеносности. При формула (9.32) переходит в формулу Дюпюи.

5. 
   Закон движения границы раздела жидкостей найдем из соотношения
   

,

откуда

.
Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до t и от до , получим:


(9.33)
Время вытеснения всей нефти водой Т найдем, подставив в (9.33) . В результате получим (пренебрегая по сравнению ):
. (9.34)

4. Устойчивость границы раздела двух жидкостей
В реальных условиях движение границы раздела жидкостей значительно сложнее принятой выше модели. Обычно продуктивные пласты наклонны и граница раздела жидкостей, имеющая горизонтальное начальное положение, в процессе разработки месторождения деформируется (рис.60); перемещаясь, занимает последовательно положения A₁B₁, A₂B₂ и т.д.



Рис. 60
Рассмотрим вопрос об устойчивости движения границы раздела. Если частица вытесняющей жидкости (вода), попавшая в область, занятую вытесняемой жидкостью (нефтью), замедляет свое движение, такое движение границы называется устойчивым, при ускорении последующего движения - процесс движения границы является неустойчивым. Условие устойчивости движения границы раздела можно установить следующим образом.

Запишем выражения скоростей фильтрации для каждой жидкости согласно закону Дарси с учетом силы тяжести
; . (9.35)
Запишем выражение скорости фильтрации воды, попавшей в поток нефти - с градиентом давления ; при этом - проницаемость пласта для воды в зоне движения нефти:
. (9.36)
В свою очередь скорость фильтрации основных частиц нефти, соприкасающихся с проникшими туда частицами воды, согласно второму уравнению из (9.35) будет

. (9.37)
Из выражений (9.36) и (9.37) можно найти связь между скоростями фильтрации и :
,

откуда

.
Об устойчивости же движения границы раздела можно судить по разности скоростей фильтрации

(9.38)
При - движение границы раздела жидкостей будет устойчивым;

при - движение неустойчиво.

Если угол наклона пласта к горизонту обозначить через , то очевидно, что , тогда условие устойчивости (9.38) можно записать в виде

. (9.39)
Обычно меньше . В первом приближении можно принять . Тогда соотношение (9.39) преобразуем к виду
. (9.40)
Так как при устойчивом движении границы раздела , то из (9.40) находим, что при устойчивом движении границы раздела скорость фильтрации нефти на границе раздела должна быть

. (9.41)

Движение всегда устойчиво при малых скоростях и когда и , т.к. <0, даже если велико. Поэтому, например, когда водонефтяной контакт далек от эксплуатационных скважин и скорость мала, граница раздела движется устойчиво. С приближением водонефтяного контакта и с увеличением согласно (9.39) увеличивается.

Когда , движение неустойчиво и язык подошвенной воды будет двигаться гораздо быстрее.
5. Основы теории конусообразования; предельный безводный и безгазовый дебит скважины
В пологозалегающих пластах с очень малым углом наклона к горизонту площадь водонефтяного контакта очень велика, а поэтому с самого начала эксплуатации скважины оказываются в нефтяном пласте с подошвенной водой. При отборе нефти поверхность водонефтяного контакта деформируется и принимает вид холма. Такой водонефтяной холм называется конусом подошвенной воды. Если повысить депрессию и отбор нефти, то вода прорвется в скважину и скважина будет давать нефть вместе с водой.

Точной теории конусообразования не существует ввиду сложности решения самой математической задачи в ее строгой постановке. Приближенная теория этого явления, выдвинутая Маскетом-Чарным, позволяющая рассчитать предельный безводный дебит и депрессию, исходит из допущения, что отклонение поверхности раздела двух фаз от первоначальной плоской формы не влияет на распределение потенциала скоростей фильтрации в нефтяной части пласта.

Р
ассмотрим задачу о притоке нефти к скважине, несовершенной по степени вскрытия, но совершенной по характеру вскрытия в изотропном пласте при устойчивом неподвижном конусе подошвенной воды. Движение считаем следующим закону Дарси; кровля, подошва и первоначальная поверхность раздела принимаются горизонтальными. Режим пласта водонапорный; действием капиллярных сил пренебрегаем. (рис. 61).
Рис.61
Прежде всего выясним условия, при которых частицы воды на поверхности конуса будут неподвижными. Предположим, что распределение давления в любой точке пласта известно, т.е. известна функция Р=Р(r,z). (давление как таковое, а не приведенное). Выделим на вершине конуса (r=0) элементарный объем жидкости (цилиндрик) площадью сечения d, высотой dz и рассмотрим действующие на него силы (полагая, что этот объем попал в нефтяную часть). Давление на верхнюю грань Р=Р(0;z); давление на нижнюю грань Р^/=Р(0;z+dz)=P+dP=P+ dz.

Составим уравнение равновесия сил, действующих на нашу частицу (элементарный объем) воды. Сила, действующая на частицу вверх, будет равна:

, где m- коэффициент пористости.

Сила, действующая на частицу вниз (сила тяжести): ; где -объемный вес воды.

Условие устойчивости элементарного объема воды будет иметь вид

,

или . (9.42)

Переходя от давления к потенциалу

, (9.43)

получаем условие устойчивости (9.42) в виде

, (9.44)

Выясним как распределяется потенциал вдоль границы раздела. Согласно формуле (9.43) потенциал вдоль границы раздела равен
. (9.45)

Условие статического равновесия границы раздела (т. А) выражается формулой

, (9.46)

где .

Подставляя значения из (9.46) в (9.45) и замечая, что
(9.47)
есть потенциал на контуре питания R₀ при z=h, получаем окончательно
, (9.48)
т.е. вдоль границы раздела текущей нефти и неподвижной воды потенциал изменяется линейно. Распределение потенциала вдоль границы раздела текущей нефти - неподвижной воды, вдоль оси скважины и цилиндрической поверхности R₀ , представлен на рис. 62.

Рис.62

Анализируя распределение потенциала вдоль стенки несовершенной скважины и вдоль оси z невскрытой части пласта при невозмущенном и возмущенном (при наличии конуса воды) движение нефти, И.А. Чарный установил точное соотношение, в пределах которого находится истинный предельный безводный дебит:

. (9.49)

Вычисляя дебиты Q₁ и Q₂ по формулам для известного решения задачи о напорном притоке к несовершенной скважине в пласте постоянной толщины, можно количественно оценить значения Q₁ и Q₂. Расчеты показывают, что верхние и нижние значения предельного дебита (Q₁ и Q₂) различаются в среднем на 25-30%.

Все сказанное выше полностью распространяется на случай прорыва верхнего газа при наличии газовой шапки; при этом под следует подразумевать разность объемных весов нефти и газа.

Для практических расчетов используются универсальные графики зависимости безразмерного дебита и предельной высоты подъема конуса , построенные по изложенной методике для кругового однородно-анизотропного пласта с подошвенной водой (рис. 63).

Рис.63

.

Из графиков видно, что при малых , соответствующих большим значением параметра анизотропии пласта , предельный дебит резко возрастает, что подтверждается высокими безводными дебитами нефтяных скважин в пластах с подошвенной водой с малой вертикальной проницаемостью k_z.

Заметим, что величина предельного дебита практически не зависит от конструкции скважины; предельная же депрессия зависит существенно от конструкции скважины и характера вскрытия пласта.

Приведенные выше графики практически также можно использовать для расчетов в пластовых условиях предельных безводных дебитов несовершенных газовых скважин с подошвенной водой.