Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии. Как научиться решать задачи егэ по геометрии
 Скачать 312.81 Kb.
|
|
Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)? Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд. В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать. Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое. И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии. Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры. «В алгебре все просто, - говорят они. – Есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждой свои приемы решения. А задачи геометрии друг на друга не похожи». Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач? Да, есть. Я называю их «классические схемы планиметрии». Учимся узнавать их и использовать в задачах! И возможно, что на ЕГЭ вам встретится задача, «ключиком» к которой будет одна из этих схем. Конечно, на ЕГЭ эти утверждения надо доказывать. Вот 5 полезных схем для решения задач по планиметрии. Схема 1. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.  Схема 2. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.  Схема 3. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD – в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.  Схема 4. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК. H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК  1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия  , если  , и  , если  2. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач. 3. Четырехугольник ВКНМ также можно вписать в окружность. 4. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны. 5.  , где R – радиус описанной окружности  .Схема 5.Лемма о трезубце (трилистнике) Пусть P – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек B, C, Р, Q. Эта схема называется также теоремой о трилистнике.  Дан треугольник АВС, АМ – биссектриса угла А, Р – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности (которая касается стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС), М – точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажем, что МР = МВ = МС. Видите на рисунке «трезубец» (или «трилистник»), состоящий из отрезков МР, МВ, МС, МQ? Докажем сначала, что МВ = МС = МР. Вписанные углы ВАМ и ВСМ опираются на дугу ВМ, следовательно, они равны. Аналогично, вписанные углы САМ и СВМ опираются на дугу СМ, и они тоже равны.  , поскольку АМ – биссектриса угла ВАС.Следовательно,  и треугольник ВМС – равнобедренный, ВМ = СМ.Точка Р – центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, и тогда ВР и СР – биссектрисы его углов АВС и АСВ соответственно. Пусть  .Сумма углов треугольника АВС равна  , значит,  .В треугольнике ВМР:  , .Тогда  , треугольник ВМР равнобедренный, ВМ = РМ. Значит, точка М равноудалена от точек В, С и P. Аналогично доказывается, что МQ = ВМ = СМ = РМ.Схема 6 Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон. Схема 7 Свойство медиан треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины. В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD=18. Пусть О - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС. Тогда О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому BK= 2/3 BO = 1/3 BD =6. 1) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Менелая и другую экзотику – вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем Супер-Справочнике . И полезные факты. Зато знать это надо наизусть. 2) Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника. 3) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы треугольника. А вы их знаете? 4) Как научиться решать задачи по геометрии? Если у вас маловато опыта – не стоит начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – задачи на доказательство. Тем более что в реальной задаче 16 из варианта ЕГЭ первый пункт – доказательство. 5) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. А это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б). 6) Среди стратегий подготовки к ЕГЭ есть эффективные. А есть откровенно проигрышные. Пример плохой стратегии – когда старшеклассник принимает решение заниматься только алгеброй и считает планиметрию и тем более стереометрию слишком сложными для себя. И вот на ЕГЭ попадается сложное неравенство или «экономическая» задача. И всё, баллов не хватает! Тех самых баллов за планиметрию и стереометрию, которые можно было взять, не хватает для поступления! Чтобы такого не случилось – занимаемся планиметрией как можно больше. 7) Стоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре. |