Ээс. Конспект лекций по дисциплине Экономикоматематические методы и модели для студентов специальности Экономика и организация производства
 Скачать 4.59 Mb.
|
|
Конспект лекций по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» для студентов специальности «Экономика и организация производства» Предмет изучения дисциплины Экономико-математические методы и модели. Предметом изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в производстве, изучение их взаимосвязей. В курсе рассматриваются модели линейного программирования, балансовые и игровые модели, модели систем массового обслуживания. Основным понятием курса является понятие математической модели. В общем случае, модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.. Решение экономико-математических методов. Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково. Если экономико-математическая модель задачи линейна, оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением. Целевая функция, зависящая от переменных величин в заданной области изменения последних, всегда достигает наибольшего и наименьшего значения или вовсе его не имеет. Экстремальные значения целевой функции достигаются внутри, а оптимальные значения достигаются также и на границе области изменения переменных величин. Поэтому экстремальные значения целевой функции могут совпадать с оптимальными, однако это не значит, что все оптимальные значения целевой функции есть экстремальные. Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может. Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение. Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения. Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям и т. д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: х, у, z, а также их модификации. Например, модификация переменной х: x ̅,x ̃,x_1,x^,,x_(ij,) x_isj и т.д. Аналогичные модификации могут быть и для других переменных, используемых в модели. Переменные x_1, x_2,〖…,x〗_n могут обозначать объемы производства продукции соответственно первого, второго и так далее n-го вида. Переменные x_isj могут обозначать объемы производства продукции i-ro вида изготовленной на s-ом оборудовании j-м технологическим способом. Для индексации, как правило, используются латинские буквы: i, j, s, l. Количество переменных может обозначаться буквами n,k,m. Но каждой переменной для конкретной задачи дается словесноепояснение. Целевую функцию – цель задачи – чаще всего обозначают буквами f, F, Z. Постоянные величины обычно обозначают буквами: a, b, c, d и т. д. Ограничения модели должны отражать все условия, формулирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Естественно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала все условия поставленной задачи. Этапы экономико-математического моделирования. Работа, выполняемая в процессе исследования, состоит из следующих этапов: 1) идентификации проблемы; 2) построения модели; 3) решения поставленной задачи с помощью модели; 4) проверки адекватности модели; 5) реализации результатов исследования. Хотя эта последовательность не обязательна, ее считают общепринятой. За исключением этапа, связанного с получением решения на основе разработанной модели, когда используются формализованные методы (линейное программирование, управление запасами, теория массового обслуживания, календарное планирование и т.д.), все остальные этапы исследования выполняются без строгой ориентации на какие-либо регламентирующие правила. • На первом этапе задача исследования заключается в идентификации проблемы. Здесь можно выделить следующие основные стадии: 1. формулировка задачи или цели исследования, 2. выявление возможных альтернатив решения применительно к исследуемой ситуации, 3. определение присущих исследуемой системе требований, условий и ограничений. • Второй этап связан с построением модели. На этом этапе выбирается модель, наиболее подходящая для адекватного описания исследуемой системы. При построении такой модели должны быть установлены количественные соотношения для выражения целевой функции и ограничений в виде функций от управляемых переменных. Если разработанная модель соответствует некоторому общему классу математических моделей экономических процессов(например, моделям линейного программирования или календарного программирования), то для получения решения нужно воспользоваться известными математическими методами. Если же математические соотношения слишком сложны и не позволяют получить аналитического решения задачи, более подходящей для исследования может оказаться имитационная модель. В некоторых случаях возникает необходимость совместного использования математических, имитационных и эвристических моделей. Это все зависит от характерных особенностей и сложности исследуемой задачи. • На третьем этапе осуществляется решение сформулированной задачи. При использовании математической модели решение получают с помощью апробированных оптимизационных методов; при этом модель приводит к оптимальному решению задачи. В случае применения имитационных или эвристических моделей понятие оптимальности становится менее определенным и получаемое решение соответствует лишь приближенным оценкам критериев оптимальности функционирования экономической системы. На данном этапе кроме нахождения решения всякий раз, когда это возможно, должно быть обеспечено также получение дополнительной информации о возможных изменениях решения при изменение параметров системы. Эту часть исследования называют анализом модели на чувствительность. Он необходим, например, в тех случаях, когда некоторые характеристики исследуемой системы не поддаются точной оценке. В такой ситуации весьма важно исследовать возможные изменения оптимального решения в зависимости от соответствующих параметров системы в некоторых интервалах их количественных значений. • Четвертый этап заключается в проверке адекватности модели. Модель можно считать адекватной, если, несмотря на некоторые неточности отображения системы-оригинала, она способна обеспечить достаточно надежное предсказание поведения системы. Общий метод проверки адекватности модели состоит в сопоставлении получаемых результатов с характеристиками системы. Если при аналогичных входных параметрах модель достаточно точно воспроизводит поведение системы-оригинала, то она считается адекватной. Однако такое сопоставление не дает полной уверенности в том, что поведение системы в предстоящем периоде будет таким же, как в прошлом. А поскольку построение модели осуществляется с использованием ретроспективных данных, то благоприятный исход такого сравнения во многом предопределен. В отдельных случаях, когда система-оригинал исследуется с помощью математической модели, допустима параллельная разработка имитационной модели, предназначенной для проверки основной математической модели. • Заключительный пятый этап связан с реализацией полученных результатов. На данном этапе необходимо оформить конечные результаты исследования в виде детальных инструкций, которые должны быть составлены таким образом, чтобы они легко воспринимались лицами, ответственными за управление экономической системой (службой) и обеспечение ее функционирования. Понятие критерия оптимальности. Критерий оптимальности - экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции. Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности есть понятие модельное, экономическое. Критерии оптимальности могут быть натуральные истоимостные. Одни из критериев – максимизируемые, другие – минимизируемые. Из минимизируемых критериев является критерий совокупных затрат труда всех видов, предложенный А. Г. Аганбегяном и А. Г. Гранбергом. Он выражается целевой функцией (L_x ) ̅ , где L ̅=[l^js ] – вектор совокупных затрат труда, элементы которого означают объемы затрат труда в каждом js-м технологическом способе при его единичной интенсивности. Из максимизируемых критериев можно выделить такие, как: число наборов конечных продуктов, валовая, конечная, чистая и условно чистая продукция, прибыль, рентабельность Общая классификация экономико-математических методов и моделей. По внутренней структуре модельного описания системы выделяют ряд видов моделей. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные. Ответ на вопрос, каким образом модель описывает экономическую систему, является аргументом для классификации экономико-математических моделей по способу описания. К символическим моделям относятся те, в которых для представления процесса или системы используются символы. Обычным примером представления систем в этом случае можно считать системы дифференциальных уравнений. Поскольку последние представляют собой наиболее абстрактные и, следовательно, наиболее общие модели, то их применение таит в себе весьма реальные опасности и ловушки. Символическая модель является всегда абстрактной идеализацией задачи, и, если хотят, чтобы эта модель позволяла решить задачу, необходимы некоторые упрощающие предположения. Поэтому особое внимание должно быть обращено на то, чтобы модель служила действительным представлением данной задачи. Интересны математические модели таких систем, в которых результат взаимодействия компонент не является полностью определенным (детерминированным). Их обычно называют вероятностными, стохастическими или недетермининированными. Повторяя этот процесс некоторое число раз с изменяющимися значениями стохастических переменных, можно получить статистические сведения о поведении исследуемой системы при определенных начальных данных и фиксированных значениях управляющих переменных. Изменяя значения управляющих переменных, можно попытаться решить задачу о выборе наилучшего решения в статистическом смысле. Для этого типа моделей необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования. В настоящее время как мощное средство анализа, прогнозирования и методологии принятия управленческих решений большое значение приобретают эконометрические модели, основу которых составляют достижения теории вероятности и математической статистики. Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т. п. Балансовые модели реализуют равенство суммы наличных объемов (товаров, ресурсов, финансовых потоков и т. п.), полученных из различных источников, сумме объемов, использованных по различным направлениям. Технологические модели раскрывают и детализируют технологические процессы конкретных экономических систем, а также их производственные возможности на краткосрочную и длительную перспективу. Поведенческие модели описывают поведение элементов экономической системы, имеющих некоторую свободу выбора решений. Сюда можно отнести функциональные и причинно-следственные отношения. Функциональные модели описывают поведение системы безотносительно к ее внутренней структуре (черный ящик). Они выражают, как правило, прямые зависимости между известными (экзогенными) и неизвестными (эндогенными) величинами. Аналоговыми моделями являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта. Примером может служить графический анализ развития различных экономических систем. Структурные модели определяют иерархию управления (взаимосвязи, соподчиненность элементов экономической системы) и правила, регулирующие функционирование элементов системы в рамках этой иерархии (механизм функционирования системы, принципы формирования различных фондов системы и т. д.). Они связывают между собой компоненты и их характеристики. Модели, где во взаимодействие вступают люди и машинные компоненты, часто называется играми (управленческими, военными, планировочными). В так называемых управленческих (деловых) играх человек взаимодействует с информацией, поступающей с выхода вычислительной машины (которая моделирует все другие свойства системы), и принимает решения на основе полученной информации. Решения человека затем снова вводятся в машину в качестве входной информации, которая используется системой. Продолжая этот процесс дальше, мы приходим к полностью машинному моделированию, которое обычно и понимается под термином "моделирование". Информационные модели - совокупность сигналов, несущих информацию об объекте управления и внешней среде, организованная по определенным правилам. Демографические модели учитывают влияние роста и структуры населения на производство. Экономико-математическое моделирование охватывает весь спектр реальных систем. Для любого экономического события можно подобрать по приведенным классификационным признакам наиболее подходящую модель. Это в свою очередь помогает избежать определенных трудностей, неизбежно возникающих в процессе исследования. Общие понятия об экономико-математических методах и моделях. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им. Моделирование представляет собой построение математической модели. Для этого необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой экономической системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Цель и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений. Сложность реальных систем может сильно затруднить представление цели и ограничений в аналитическом виде. Несмотря на слишком большое число переменных и ограничений, которые на первый взгляд необходимо учитывать при анализе реальных ситуаций, лишь небольшая их часть оказывается существенной для описания исследуемых систем. Поэтому при моделировании систем прежде всего следует идентифицировать доминирующие переменные, параметры и ограничения. Свойства объектов с точки зрения моделирования. 1) Непрерывность и дискретность Математические структуры, адекватно описывающие такие объекты должны быть непрерывными. Поэтому при модельном описании объектов с непрерывными переменными используют главным образом аппараты дифференциальных и интегральных уравнений, передаточные функции, частотные характеристики и др. Дискретные переменные могут принимать некоторое, практически всегда конечное, число наперед заданных значений. 2) Стационарность и нестационарность Стационарность предполагает неизменность и структуры, и параметров объекта. Поэтому стационарный объект описывается математическим выражением, которое включает в себя только постоянные коэффициенты. Нестационарные объекты имеют в общем случае изменяющиеся во времени структуру и параметры. 3) Распределенность и сосредоточенность параметров В пространственно протяженных объектах, в частности включающих в себя непрерывные среды (газы, жидкости, твердые среды), когда время распространения физических, например колебательных явлений, оказывается соизмеримым с инерционными эффектами, адекватное описание процессов требует учета как временных, так и пространственных координат. Математический аппарат, строго описывающий объекты с распределенными параметрами, существенно сложнее, чем аппарат объекта с сосредоточенными параметрами. Поэтому на практике всегда, где это возможно, прибегают к аппроксимации, т. е. заменяют распределенные параметры на сосредоточенные, например, разбивая пространство на небольшие элементы (подпространства) или делая корректировку сосредоточенных параметров. 4) Одномерные и многомерные объекты Обычно под количеством измерений понимают число выходов (выходных переменных). Для моделирования многомерных объектов используют векторно-матричное представление. 5) Статические и динамические объекты Статические объекты находятся в «застывшем» состоянии или рассматриваются в какой-либо момент времени безотносительно того, каким было его состояние в прошлом или будет в будущем. Динамика рассматривает причинно-следственные цепочки и возможность прогнозирования будущих состояний объектов. |