Главная страница
Навигация по странице:

  • СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  • Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1

  • Пример2.

  • Пример 5

  • Контрольная работа №10. Вариант 1. Задание 1.

  • Задание 2.

  • Контрольная работа 10 Ряды тема 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды


    Скачать 0.95 Mb.
    НазваниеКонтрольная работа 10 Ряды тема 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды
    Дата04.02.2021
    Размер0.95 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаTema10.doc
    ТипКонтрольная работа
    #173902
    страница1 из 4
      1   2   3   4


    Контрольная работа № 10

    Ряды

    ТЕМА 10. Ряды.


    1. Числовые ряды.

    2. Функциональные ряды.

    3. Степенные ряды.

    4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.

    5. Ряды Фурье.


    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


    1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.

    2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.

    3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.

    4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.

    5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.

    6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.

    7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.


    Решение типового варианта контрольной работы.
    Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

















    Решение.

    1. В данном случае

    Вычислим

    Следовательно, ряд расходится.


    1. Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

    Для рассматриваемого ряда

    ;

    Вычислим



    Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.


    1. Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( ), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда



    Вычислим



    В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.


    1. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

    Вычислим



    Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.


    1. Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его



    Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.


    1. Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:



    Полученный ряд эквивалентен исходному, так как



    Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.


    1. Так как , то

    .

    Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.


    1. Оценим общий член ряда:

    .

    Ряд

    Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
    Пример2. Найти область сходимости ряда .

    Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:



    Ряд сходится, если

    или ;

    или ,

    .

    Ряд расходится, если .

    Неопределенный случай: т.е. или ,

    Пусть : ‑ сходится.

    Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

    Пусть : .

    Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
    Получили, что ‑ область сходимости ряда.
    Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .

    Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:



    +...



    Вычислим интеграл









    .

    Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .
    Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

    Решение.

    Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :



    Найдем , продифференцировав обе части равенства по :



    Окончательно получим:

    .
    Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

    1. в интервале (-2, 2):

    2. по синусам на интервале .

    Решение.

    Разложение периодической (период ) функции имеет вид:



    а) В нашем примере l=2.



    где





    Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

    ;

    Используя формулу интегрирования по частям, получаем







    .



    Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.



    Аналогично предыдущему





    и окончательно получим:



    Подставляя полученные значения в разложение , получим:



    б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).



    Рис. 1
    Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .



    Найдем коэффициенты , используя формулу:







    Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:



    .

    Таким образом, .
    Контрольная работа №10.

    Вариант 1.

    Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:









    Задание 2. Найти область сходимости ряда:



    Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:



    Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:



    Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале .
      1   2   3   4


    написать администратору сайта