Контрольная работа 10 Ряды тема 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды
Скачать 0.95 Mb.
|
Контрольная работа № 10 Ряды ТЕМА 10. Ряды. Числовые ряды. Функциональные ряды. Степенные ряды. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям. Ряды Фурье. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с. Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды: Решение. В данном случае Вычислим Следовательно, ряд расходится. Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера. Для рассматриваемого ряда ; Вычислим Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится. Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( ), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда Вычислим В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь Вычислим Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится. Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится. Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n: Полученный ряд эквивалентен исходному, так как Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится. Так как , то . Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится. Оценим общий член ряда: . Ряд Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится. Пример2. Найти область сходимости ряда . Решение. Воспользуемся признаком Даламбера: Ряд сходится, если или ; или , . Ряд расходится, если . Неопределенный случай: т.е. или , Пусть : ‑ сходится. Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду. Пусть : . Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно. Получили, что ‑ область сходимости ряда. Пример 3. Вычислить с точностью интеграл . Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена: +... Вычислим интеграл . Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности . Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши . Решение. Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения : Найдем , продифференцировав обе части равенства по : Окончательно получим: . Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале (-2, 2): по синусам на интервале . Решение. Разложение периодической (период ) функции имеет вид: а) В нашем примере l=2. где Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности. ; Используя формулу интегрирования по частям, получаем . Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности. Аналогично предыдущему и окончательно получим: Подставляя полученные значения в разложение , получим: б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1). Рис. 1 Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. . Найдем коэффициенты , используя формулу: Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям: . Таким образом, . Контрольная работа №10. Вариант 1. Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость: Задание 2. Найти область сходимости ряда: Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно: Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию: Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье в интервале . |