КР 2 Мацне А.Д. 01 И. Контрольная работа 2 Вариант 136 по Математике Студент Мацнев Алексей Дмитриевич
 Скачать 43.75 Kb.
|
|
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики Факультет заочного обучения РЕГИСТРАЦИОННЫЙ №________ Контрольная работа № 2 Вариант 136 по Математике Студент Мацнев Алексей Дмитриевич ФЗО курс 1 номер зачетки 203136 гр. 01 «И» Работа выслана «13 » января 2022 г. Оценка_____________ Дата _________________20г. Подпись преподавателя_________________ Задача 1 Найти частные производные U ;U функции x y 3 5 3 5 3 3 U = 7sin(x + y ) + tg(x + y ) + 2arctg(x ∙ y ) Решение. Дифференцируем функцию по одной из переменных, считая другую константой 3 5 2 -2 3 5 2 6 6 -1 2 3 U = 21cos(x + y )∙x + 3cos (x + y )∙x + 6(1 + x ∙ y ) ∙x ∙ y x 3 5 4 -2 3 5 4 6 6 -1 3 2 U = 35cos(x + y )∙y + 5cos (x + y )∙y + 6(1 + x ∙ y ) ∙x ∙ y y Задача 2 Найти grad U(A) и производную U (A) вточке A(0.9;0.6;0.4) a _ по направлению вектора a(0;1;0) функции 5 3 4 7 4 5 3 3 4 U = 5x + 6y + 5z + 5x ∙y ∙z + 6arcctg(x ∙y ∙z ) Решение. Найдем частные производные U , U , U в точке A x y z 4 6 4 5 6 6 8 -1 2 3 4 U = 25x + 35x ∙y ∙z - 18(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z x 4 6 4 5 6 6 8 -1 2 3 4 U (A)= 25∙0.9 + 35∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 18(1 + 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 = x = 16.3466 2 7 3 5 6 6 8 -1 3 2 4 U = 18y + 20x ∙y ∙z - 18(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z y 2 3 8 6 6 6 8 -1 3 2 4 U (A)= 18∙0.9 + 20∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 18(1 + 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 = y = 6.38023 3 7 4 4 6 6 8 -1 3 3 3 U = 20z + 25x ∙y ∙z - 24(1 + x ∙y ∙z ) ∙x ∙y ∙z z 3 7 4 4 6 6 8 -1 3 3 3 U (A)= 20∙0.4 + 25∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 - 24(1 - 0.9 ∙0.6 ∙0.4 ) ∙0.9 ∙0.6 ∙0.4 = z = 1.07781 Тогда _ _ _ grad U(A) = 16.3466∙i + 6.38023∙j + 1.07781∙k Найдем _ _________ __ │a│ = √0 + 1 + 0 = √1 Тогда _ grad U(A)∙a 16.3466∙0 + 6.38023∙1 + 1.07781∙0 U_(A) = ─────────── = ────────────────────────────────── = a _ __ │a│ √1 = 6.38023 Задача 3 Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции 2 2 Z = -9x - 6y + 9xy + 6x - 4y + 1 в точке M(-6;-7;-247); Решение. , , Найдем частные производные Z и Z в точке M x y , Z = - 18x + 9y + 6 x , Z (M) = 51 x , Z = -12y + 9x - 4 y , Z (M) = 26 y Составим уравнение касательной плоскости 51(x + 6) + 26(y + 7) - (z + 247) = 0 51x + 26y - z + 241 = 0 Составим канонические уравнения нормали x + 6 y + 7 z + 247 ───── = ───── = ────── 51 26 -1 Задача 4 Найти экстремум функции 2 2 Z = 7x + 6y + 3xy - 2x + 5 Решение. Найдем координаты критических точек. Для этого нужно найти частные производные Z , Z x y и приравнять их к нулю. Z = 14x + 3y - 2 x Z = 12y + 3x y ┌ │ 14x + 3y - 2 = 0 < │ 12y + 3x = 0 └ Откуда 8 2 x = ─── , y = - ─── 53 53 8 2 Точка M(───;- ───) является критической точкой 53 53 Вычислим ┌ ┐2 K(M) = Z (M)∙Z (M) - │Z (M)│ = 159 xx yy └ xy ┘ Так как K(M)>0 , Z (M) = 14 > 0 ,то xx 257 в точке M есть экстремум, причем минимум Z = ─── min 53 Вычислить интегралы Задача 5.1 ┌ │ x + 7 -2 │[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+ ┘ 2 -0.5 2 -1 +4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dx Решение. Используя таблицу интегралов элементарных функций и элементарные приемы интегрирования, имеем ┌ │ x + 7 -2 │[2∙6 - 24sin( - 4x - 6) + 36sin (4x + 3)+ ┘ 2 -0.5 2 -1 +4(x -2) + 56(64 + x ) - 14ctg( - 7x - 2)]dx = x + 7 = (2/ln6)∙6 + 6sin(- 4x - 6) - 9ctg(4x + 3)+ 2 0.5 + 4Ln│x +(x - 2) │ + 7arctg(x/8) + 2Ln│sin(- 7x - 2)│ + C Задача 5.2 ┌ │ 2x + 5 │──────────── dx │ 2 ┘ x - 4x + 5 Решение. Выделяя полный квадрат и используя таблицу интегралов элементарных функций, имеем ┌ │ 2x + 5 │──────────── dx = │ 2 ┘ x - 4x + 5 ┌ │(2x - 4) + 9 = │─────────────── dx = │ 2 ┘ x - 4x + 5 ┌ │ 2x - 4 = │──────────── dx + │ 2 ┘ x - 4x + 5 ┌ │ dx + 9│──────────── = │ 2 ┘ x - 4x + 5 ┌ 2 │ d(x - 4x + 5) = │─────────────── + │ 2 ┘ x + 4x + 5 ┌ │ d(x - 2) + 9│──────────── = │ 2 ┘(x - 2) + 1 2 = Ln(x - 4x + 5) - 9arctg (x - 2) + C Задача 5.3 ┌ 2 │ 6x + 20x - 116 │──────────────────── dx │ 3 2 ┘ x - 2x - 29x + 30 Решение. Применяя метод неопределенных коэффициентов, разлагаем подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей и находим ┌ 2 │ 6x + 20x - 116 │──────────────────── dx = │ 3 2 ┘ x - 2x - 29x + 30 ┌ │┌ 3 -1 4 ┐ = ││ ───── + ───── + ───── │ dx = │└ x - 1 x + 5 x - 6 ┘ ┘ ┌ ┌ ┌ │ dx │ dx │ dx = 3 │───── - │───── + 4│───── dx = │x - 1 │x + 5 │x - 6 ┘ ┘ ┘ = 3Ln│x - 1│ - Ln│x + 5│ + 4Ln│x - 6│ + C Задача 6 3 ┌ │ - 3x - 6 │[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx ┘ -7 Решение. Интегрируя по частям, находим 3 ┌ │ - 3x - 6 │[-24( - 7x - 2)∙8 - 9( - 18x + 7)∙arcctg(2x - 8)]dx = ┘ -7 3 3 ┌ ┌ │ - 3x - 6 │ 2 = (8/Ln8) │( - 7x - 2)∙d(8 ) - 9│arcctg(2x - 8)d(-9x + 7x) = ┘ ┘ -7 -7 3 ┌ -3x - 6│3 │ - 3 x - 6 = (8/Ln8)[( - 7x - 2)∙8 │ + (7)│( 8 ) ] dx - │-7 ┘ -7 3 ┌ 2 │3 │ 2 2 -1 -9[(-9x + 7x)∙arcctg(2x - 8)│ + 2│(-9x + 7x)∙[1 + (2x - 8) ] dx = │-7 ┘ -7 2 -15 15 -15 15 = (8/(3 Ln 8))[(3 Ln 8)∙((-23)∙8 - (47)∙8 ) - 7∙(8 - 8 ) ]- -(9/4)[(-2664)∙arcctg(-2)-(-1960)∙arctg(-22) + + (18)∙(3 + 7) + (65)∙(Ln(5)- Ln(485))+(455)( arcctg(-2) - arcctg(-22) )] Задача 7 Найти общее решение дифференциального уравнения Дана функция x ┌ 2 f(x) = │(-4cos t - 3cos(t)sin(t) - 2)dt ┘ 0 Найти её значение производной f'(2П) Решение. Согласно формуле x d ┌ ── │g(t)dt = g(x) имеем dx ┘ 0 2 f'(2П) = -4cos (2П) - 3cos(2П)sin(2П) - 2 = -6 Задача 8 Найти общий интеграл дифференциального уравнения 2 y' = 4y + 36 Решение. 2 y' = 4y + 36 Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные dy 2 ── = 4y + 36 dx dy ─────── = dx 2 4y + 36 ┌ dy ┌ │ ───────── = │ dx + C ┘ 2 ┘ 4y + 36 Вычисляя интеграл в левой части, получаем. (1/12)arctg(y/3) = x + C Задача 9 Найти изображение оригинала f(t) = 3∙cos(-8t) - 8∙sin(5t) Решение. Используя свойство линейности преобразования Лапласа и таблицу изображений элементарных функций, получаем 2 2 F(p) = 3p/(p + 64) - 40/(p + 25) Задача 10 Найти оригинал f(t) изображения 9p+6 F(p)= ────────────── (8p+48)(7p+14) Решение. Разложим F(p) на элементарные дроби методом неопределённых коэффициентов. Имеем 9p+6 A B (7A+8B)p+14A+48B ────────────── = ───── + ───── = ──────────────── , (8p+48)(7p+14) 8p+48 7p+14 (8p+48)(7p+14) Откуда ┌ │ 7A+8B = 9 < │ 14A+48B = 6 └ Решая эту систему, находим ┌ │ A=12/7 < │ B=-3/8 └ 12/7 -3/8 F(p) = ───── + ───── = 8p+48 7p+14 3/14 -3/56 = ────── + ────── p + 6 p + 2 Согласно теореме смещения 1 ∙ ───── ───> exp(-6t) p + 6 ∙ 1 ∙ ───── ───> exp(-2t) p + 2 ∙ Отсюда f(t) = (3/14) exp(-6t) - (3/56) exp(-2t) Задача 11 Найти общий интеграл дифференциального уравнения 16x + 3y y' = ──────── 3x + 64y Решение. Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Запишем его в виде 16 + 3y/x y' = ───────── 3 + 64y/x Делаем замену y/x=z, где z(x) - новая неизвестная функция. Тогда y = zx, y' = z'x + z и уравнение принимает вид 16 + 3z z'x + z = ─────── 3 + 64z 2 dz 16 - 64z x── = ──────── dx 3 + 64z Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем ┌ 3 + 64z ┌ dx │ ──────── dz = │ ── + C │ 2 ┘ x ┘ 16 - 64z Далее, вычисляя интегралы, получаем 3 │8z + 4│ 1 │ 2 │ ─── Ln│──────│ - ─ Ln│64z - 16│ = Ln│x│ + C 64 │8z - 4│ 2 Возвращаясь к переменной y, получаем искомый общий интеграл 3 │8y + 4x│ 1 │ 2 2 │ ─── Ln│───────│ - ─ Ln│64y /x - 16│ = Ln│x│ + C 64 │8y - 4x│ 2 Задача 12 Исследовать сходимость числового ряда OO ___ \ 17n + 53 > ──────────────────── /___ 3 2 n=1 n + 10n + 29n + 20 Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши, для чего исследуем сходимость несобственного интеграла OO ┌ │ 17x + 53 J = │ ────────────────────dx = │ 3 2 ┘ x + 10x + 29x + 20 h OO ┌ ┌ ┐ │ │ 5 3 8 │ │ │─── + ─── - ───│dx , │ │x+4 x+1 x+5│ ┘ └ ┘ h где в качестве h выберем число большее чем max{-4;-1;-5;0}, например, 1: OO ┌ ┌ ┐ │ │ 5 3 8 │ J = │ │─── + ─── - ───│dx = │ │x+4 x+1 x+5│ ┘ └ ┘ 1 │OO = (5∙Ln|x+4| + 3∙Ln|x+1| - 8∙Ln|x+5| )│ = │1 5 3 │OO │x+4│ ∙│x+1│ │ = Ln ───────────── │ = 8 │ │x+5│ │1 8 6 = Ln 1 + Ln ─────── = 5 3 5 ∙2 209 952 = Ln ─────── 3125 Несобственный интеграл J сходится, значит, по интегральному признаку Коши сходится данный числовой ряд. Задача 13 Найти интервал сходимости степенного ряда OO 2 ___ ┌ 2 ┐n \ │2n + 6n + 1│ n > │────────────│ ∙(x - 9) /___│ 2 │ n=1 │2n - 5n + 3│ └ ┘ Решение. OO 2 ___ ┌ 2 ┐n \ │2n + 6n + 1│ n > │────────────│ ∙( x - 9) /___│ 2 │ n=1 │2n - 5n + 3│ └ ┘ Найдем R - радиус сходимости данного степенного ряда ┌ 2 ┐n │2n + 6n + 1│ R = lim │────────────│ = n─>OO│ 2 │ │2n - 5n + 3│ └ ┘ ┌ ┐n │ 11n - 2 │ = lim │1 + ────────────│ = n─>OO│ 2 │ │ 2n - 5n + 3│ └ ┘ ┌ 2 ┐ │ 11n - 2n │ = lim exp │─────────────│ = exp(11/2) n─>OO │ 2 │ │ 2n - 5n + 3│ └ ┘ Степенной ряд сходится абсолютно в интервале(9 - 1/exp(-11/2); 9 + 1/exp(-11/2)) Задача 14 Найти решение задачи Коши ┌ │ (8x + 2) y' = 8y + 10 < │ y(0)=14 └ Решение. Проинтегрируем уравнение с разделяющимися переменными ┌ dy ┌ dx │ ─────── = │ ────── + C ; ┘ 8y + 10 ┘ 8x + 2 (1/8)Ln│8y + 10│ = (1/8)Ln│8x + 2│ + C 8y + 10 = C1(8x + 2) y(0)=14 112 + 10 = 2∙C1 ; C1=61 8y(x) + 10 = 61(8x + 2) ; 8y(x) + 10 = 488x + 122 8y(x) = 488x + 112 y(x) = 61x + 14 Задача 15 Найти общее решение дифференциального уравнения y'' + 10y' + 16y = 1792x + 128 Решение. Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравнения y'' + 10y' + 16y = 0 Для этого составим характеристическое уравнение 2 r + 10r + 16 = 0, корни которого r1=-8 , r2=-2 Отсюда -8x -2x y0(x)=C1 e + C2 e Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнения будем искать в виде y1(x)= Ax + B Подставляя y1(x) в исходное уравнение, получаем 10A + 16(Ax + B) = 16Ax + 10A + 16B = 1792x + 128 ┌ │ 16A = 1792 < │ 10A + 16B = 128 └ ┌ │ A = 112 < │ B = -62 └ Запишем ответ в виде -8x -2x y(x)=C1 e + C2 e + 112x - 62 Задача 16 Найти решение дифференциального уравнения y'' + 8y' - 9y =99 exp(2x) Решение. Найдём y0(x)-общее решение соответствующего однородного уравнения y'' + 8y' - 9y = 0 Для этого составим характеристическое уравнение 2 r + 8r - 9 = 0, корни которого r1=-9 , r2=1 Отсюда -9x x y0(x)=C1 e + C2 e Частное решение y1(x) исходного неоднородного уравнения будем искать в виде y1(x)=A exp(2x) Тогда (y1(x))'=A 2exp(2x) (y1(x))''=A 4exp(2x) Подставляя y1(x) в исходное уравнение, после сокращения на exp(2x) получаем 4A + 16A - 9A = 99 A=9 Запишем ответ в виде -9x x 2x y(x)= C1 e + C2 e + 9 e Задача 17 Найти коэффициент a разложения функции 3 3 2 f(x)= 5x + 7x + 8x+ 3 по степеням (x-3) Решение. Коэффициент a разложения функции f(x) по степеням (x-a) n (n) имеет вид f (a) ─────── n! В нашем случае 30 a = ──── = 5 3 3! |