математика. КР. Контрольная работа по дисциплине EH. 01 Математика Вариант 7 Специальность 26. 02. 02 Судостроение Студент группы зскм12
 Скачать 186.74 Kb.
|
|
для применения первого замечательного предела: 
Так как косинус – периодическая функция, на отрезке 
функция определена и непрерывна.
разрыв 2 рода.
следовательно, точка минимума: (
).  |  |  |
| y'>0 | y'<0 | y'>0 |
| возрастает | убывает | возрастает |
Точек перегиба нет.
Асимптоты:
График:
З а д а н и е 5
Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение f (0) функции y = f (x) в точке a.
Решение:
Формула для приближенного вычисления с помощью дифференциала:
З а д а н и е 6
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f (x) на промежутке [a; b].
Решение:
Найдем критические точки.
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
З а д а н и е 7
Решите задачу на отыскание наибольшего и (или) наименьшего значения.
Круговой сектор имеет данный периметр р. Какой должен быть радиус сектора, что бы площадь сектора была наибольшей?
Решение:
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:
где R – радиус, α – центральный угол.Периметр кругового сектора можно записать следующим образом:
По условию задачи периметр равен p. Подставим известное и выразим α:
Подставим полученное значение центрального угла в формулу площади:
Представим площадь как функцию от радиуса (R). Найдем
Для поиска максимума
Следовательно, чтобы площадь сектора была наибольшей радиус круга должен быть в 4 раза больше периметра круга.
З а д а н и е 8
Взять неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов, свойства линейности и основные методы: замены переменных и интегрирования по частям.
Решение:
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
З а д а н и е 9
Вычислить определённые интегралы, используя формулу Ньютона – Лейбница, свойства линейности и аддитивности, а так же основные методы: замены переменных и интегрирования по частям.
Решение:
Б.
В.
З а д а н и е 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Эллипсом
Решение:
Найдем точки пересечения графиков функций
Изобразим графически фигуру, площадь которой предлагается найти:
Если на отрезке [a,b] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми x=a, x=b, можно найти по формуле:
Эллипсом
Площадь фигуры, заданной параметрически:
Так как фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половину площади и удвоим результат.
Найдем значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой эллипса с осью абсцисс:
Заданное уравнение в полярной системе координат описывает окружность. Для наглядности построим график:
Находим два луча, между которыми лежит один из пяти лепестков розы, решая уравнение:
Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, вычисляется по формуле:
. Поскольку фигура состоит из 5 «лепестков», найдем площадь одного и умножим на 5.
З а д а н и е 11
Найти длину дуги.
Спираль Архимеда
Решение:
Длина кривой, график которой задан непрерывной функцией y= f(x) рассчитывается по следующей формуле:
В данном случае
Если линия задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то длина дуги кривой, которая прочерчивается при изменении параметра t в пределах [t1,t2] , рассчитывается по формуле:
Спираль Архимеда
Если кривая задана в полярных координатах уравнением =(), где , при этом на промежутке [;] функция имеет непрерывную производную ’(), то длина дуги кривой выражается следующей формулой:
З а д а н и е 12
Найти объём тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями.
y = e−x, y = 0, x = 0, x = 1 вокруг оси OX.
Решение:
Изобразим схематически график функции y=f(x). Фигура, которая вращается вокруг оси ОХ, изображена на рисунке синим цветом.
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
З а д а н и е 13
Найти область определения функции.
Решение:
З а д а н и е 14
Для функции z = f (x, y) найти частные производные до второго порядка включительно. Проверить равенство
.
Решение:
З а д а н и е 15
Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения и следствия из них.
Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,7, второе – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только одно устройство.
Решение:
A - {сработало первое устройство}; P(A) = 0.7,
В – {сработало второе устройство}; P(B) = 0.9,
C – {сработало только одно устройство из двух}
З а д а н и е 16
Решите задачу, используя формулу полной вероятности и формулу Байеса – Лапласа.
Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 4 студентов, из второй группы 6 студента, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,6, 0,8, 0,5. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Определить вероятность того, что это студент из первой группы.
Решение:
A - {студент попал в сборную};
В1 – {студент из 1 группы};
В2 – {студент из 2 группы};
В3 – {студент из 3 группы}.
Всего участвовали в соревнованиях 15 студентов.
P(B1) = 4/15
P(B2) = 6/15
P(B3) = 5/15
P(A/B1) = 0.6
P(A/B2) = 0.8
P(A/B3) = 0.5
По формуле полной вероятности:
По формуле Байеса:
Вероятность того, что выбранный студент, попавший в сборную, из первой группы 24/97 (0,25)
З а д а н и е 17
Закон распределения дискретной случайной величины X задан в виде таблицы. Найти: математическое ожидание M(X); дисперсию D(X). Построить многоугольник распределения.
| X | 36 | 41 | 55 | 77 | 89 |
| P | 0.1 | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.1 |
Решение:
Многоугольник распределения:
З а д а н и е 18
Дано комплексное число z0. Требуется:
1) записать число z0 в алгебраической и тригонометрической формах;
2) изобразить его на комплексной плоскости;
3) найти все корни уравнения z3 − z0 = 0.
Решение:
Действительная часть x = 1
Мнимая часть
алгебраическая форма:
тригонометрическая форма:
изобразить его на комплексной плоскости;
3) найти все корни уравнения z3 − z0 = 0.
З а д а н и е 19
Решить систему уравнений SU тремя способами:
а) по формулам Крамера,
б) средствами матричного исчисления,
в) методом Гаусса.
Решение:
а) метод Крамера
система имеет решение.Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор В.
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор В.
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор В.
б) метод обратной матрицы:
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
в) метод Гаусса
Расширенная матрица:
Умножим 2 строку на -1 и добавим к 3:
Умножим 1 строку на -1/2 и добавим к 2:
Поменяем местами 2 и 3 строки:
Умножим 2 строку на 1/2 и добавим к 3:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
Исходную систему можно записать так:
З а д а н и е 20
Найти решение дифференциального уравнения.
Решение:
Общее решение исходного уравнения:
Решение задачи Коши
Частное решение:
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Введем замену:
Вернемся к замене:
Общее решение исходного уравнения:
Введем замену:
Вернемся к замене. Общее решение:
Частное решение:
