Математика. Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 1 Вариант 2 студент гр. Иб360891 Богданов М. Ю
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования «Тульский государственный университет» Интернет-институт КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По дисциплине «Математика» Семестр 1 Вариант 2 Выполнил: студент гр. ИБ360891 Богданов М. Ю. Проверил: д.ф.-м.н., проф. Христич Д. В. Тула, 2020 1. Для данного определителя  найти алгебраическое дополнение элемента  .Решение. Минором  элемента  матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.Вычислим минор   Алгебраическое дополнение  элемента  Тогда   .Ответ: 31. 2. Найти матрицы  ,  ,  , если  ,  .Решение. 1) Находим : 2) Находим : 3) Найдем матрицу по формуле , где  ,  - алгебраическое дополнение к элементу  .
Обратная матрица имеет вид:  .3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее матричным методом .  Решение. Совместность данной системы докажем, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Находим главный определитель системы:   , т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.Решим заданную систему: Матричным способом. Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где  ,  ,  .Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид  , где  - матрица, обратная матрице  . Найдем матрицу по формуле , где  , - алгебраическое дополнение к элементу .
Обратная матрица имеет вид:  .Итак:  Итак, решение системы:  Ответ: 4. Доказать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.  Решение. Векторы  образуют базис, если они линейно независимы. Проверим выполнение этого условия с использованием смешанного произведения векторов, которое в координатной форме для векторов  определяется формулой В данном случае,  Так как  , то данные векторы образуют базис.Для разложения вектора  по базису составим векторное равенство или в координатной форме  Задача сведена к решению системы  по формулам Крамера. Матрица коэффициентов и матрица-столбец свободных членов данной системы:  .Определитель матрицы коэффициентов  поэтому систему уравнений можно решить по формулам Крамера:  , где определители  получаются из заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов.Так как  то  . , то  . , то  Таким образом, в базисе вектор будет иметь координаты  .5. Вершины пирамиды находятся в точках А(7,4,9), В(1,−2,−3), С(−5,−3,0), D(1,−3,4). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины С. Решение. Объем пирамиды находится по формуле:  , где  – смешанное произведение векторов, определяемое по формуле: .Найдем координаты векторов, используя формулу:  , где  и  :     Для нахождения длины высоты, опущенной из вершины C на грань ABD найдем сначала площадь грани ABD.   Sосн =  (ед2)Т.к. V =  ;  (ед).6. Найти расстояние от точки  до плоскости, проходящей через точки  .  Решение. Расстояние от точки  до плоскости находится по формуле: , где  - уравнение данной плоскости.Найдем уравнение плоскости проходящей через точки . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки   Для нашей задачи имеем:     - уравнение плоскости проходящей через точки .Тогда расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки : 7. Написать канонические уравнения прямой  ,  .Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно вектору  имеют вид:  Перейдем к канонической форме уравнения прямой. Находим точку на данной прямой. Пусть  тогда  . Тогда  Направляющий вектор прямой найдем из векторного произведения нормальных векторов пересекаемых плоскостей, т.е.  ,  : Т.е.  .Получаем канонические уравнения прямой:  .Ответ:  .8. Найти точку пересечения прямой, заданной каноническими уравнениями, и плоскости.  Решение. Запишем уравнение прямой, заданной каноническими уравнениями, в параметрической форме:  .  Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости:  Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение  , получаем Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости есть  .Ответ: .9. Вычислить предел  .Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x=0 приводит к неопределенности  . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители.Т.к.  , но не совпадает со своим предельным значением, то  : .Ответ: 2. 10. Вычислить предел  Решение. В этом случае имеем неопределенность вида  . Т.к. в числителе и знаменателе стоят многочлены, то для раскрытия неопределенности необходимо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из слагаемых многочленов числителя и знаменателя, т.е. на  , а затем перейти к пределу:  Ответ: 2. 11. Вычислить предел  .Решение. Под знаком предела есть иррациональность в числителе дроби. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= –4 приводит к неопределенности вида .Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, домножить на выражение, сопряженное числителю дроби:  Ответ:  .12. Вычислить предел  .Решение. При x=0 числитель и знаменатель дроби равны 0, имеем неопределённость вида . Преобразуем исходную дробь и воспользуемся первым замечательным пределом  : Ответ:  .13. Вычислить предел  .Решение.  При вычислении этого предела использована обобщенная формула второго замечательного предела  и теорема о пределе показательно-степенной функции:  , где  конечная или бесконечно удаленная точка.Ответ:  .14. Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой . ,  . Решение. Уравнение касательной:  Находим  .Находим производную функции и вычисляем ее значение при :  .Тогда уравнение касательной:  .Ответ:  .15. Найти дифференциал функции в точке с абсциссой . ,  . Решение. Дифференциал функции  в точке с абсциссой находится по формуле  .Находим производную функции .Применим правила дифференцирования сложной функции:  В заданной точке:  Тогда дифференциал:  .Ответ: . |
