Математика. Контрольная работа по дисциплине Математика
 Скачать 6.32 Mb.
|
|
Частное профессиональное образовательное учреждение «Дальневосточный колледж финансов и права» Контрольная работа по дисциплине «Математика»
г. Артем 2021г. Вопросы. 1. Дайте определение производной. Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. 2. Дайте определение касательной к кривой y=f(x) в точке А(x,y). К  асательная к кривой линии - прямая, представляющая предельное положение секущей. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :3. В чем заключается геометрический смысл производной (определение, формула). Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение  , стремящемся к нулю.Геометрический смысл производной: производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке. 4. Назовите основные правила нахождения производной: а) производная суммы; б) производная произведения; в) производная частного; г) производная сложной функции. А) Производная суммы Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x). Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула. Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых: (f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x). Б) Производная произведения Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго: (f(x)·g(x)) '=f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x). В) Производная частного П  роизводная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.Г) Производная сложной функции. Производная сложной функции находится по формуле: (f(g(x))) '=f '(g(x))·g' (x) Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x . 5. Какая функция называется первообразной? Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x). Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ). 6. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? Определенный интеграл  от неотрицательной функции y = f(x) с геометрическойточки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b, снизу – отрезком оси Ох. 7. Сформулируйте теорему Ньютона-Лейбница. Формула Ньтона - Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a;b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной , вычисленной при x = b и x = a .  8. Сформулируйте правила нахождения площадей криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак. Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G). Определенный интеграл ʃаbf(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции. То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃаb f(x)dx. Таким образом, S(G) = ʃаb f(x)dx. В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а;b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃаb f(x)dx. Т о есть площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью формулы Ньтона - Лейбница или иными словами с помощью вычисления определенного интеграла, а значит S(G) = Ф(b) - Ф(a). 9. В каком случае система линейных уравнений называется несовместной (совместной)? Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. 10. Как называется система линейных уравнений, если она имеет а) одно решение; б) много решений? А) Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Б) Система, имеющая множество решений, называется неопределенной. Практическая часть:        |