Лабораторна робота №1. Лабораторна робота 1 Матриці, визначники, системи лінійних алгебраїчних рівнянь Виконав
 Скачать 432.66 Kb.
|
1 2
Теорія Обчислити визначник: Для обчислення визначника я використав квадратну матрицю, так як кожній квадратній матриці А можна поставити у відповідність певну числову характеристику – її визначник, який складається з елементів матриці. Виконати дії з матрицями: № 2.1.11 При обчисленні многочлена від матриці вільний член додається як одинична матриця помножена на вільний член. Одинична матриця – це така квадратна матриця в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці а всі інші нулю. № 2.2.11 Для того щоб розв’язати матричне рівняння виду X*A=B потрібно лише праву і ліву частину помножити справа на обернену матрицю до А, щоб у лівій частині рівняння залишився тільки Х. Матрицю А-1 називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності А-1 * А = А * А-1 = Е , де Е — одинична матриця. № 2.3.11 Матрицю А-1 називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності А-1 * А = А * А-1 = Е , де Е — одинична матриця. Необхідно пам’ятати що обернена матриця існує тільки для квадратної матриці визначник якої відмінний від нуля. У разі спроби обчислити обернену матрицю для виродженої матриці Mathcad видасть помилку. № 2.4.11 Рангом матриці А називають найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Розвязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь: № 3.1.11 При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь я використав метод Крамера. Даний метод не є універсальним засобом для розвязку СЛАР, тому що при використанні цього методу необхідно щоб кількість невідомих дорівнювала кількості рівнянь системи, ця необхідність зявилася з тієї причини, що при розвязку використовується визначник основної матриці системи, отже ця матриця повинна бути квадратна. Ций метод полягає в наступному: знаходимо визначник основної матриці системи, якщо він не дорівнює нулю, то система має єдиний розвязок. Далі знаходимо n допоміжних визначників, де n – це кількість невідомих, шляхом послідовної заміни стовпців визначника основної матриці системи на стовпець вільних членів. В кінці ділимо кожен допоміжний визначник на основний визначник. Результатом і будуть послідовність коренів системи. № 3.2.11 При дослідженні СЛАР я використав теорему Кронекера-Капеллі, яка полягає в наступному: для того щоб СЛАР була сумісна необхідно і достатньо щоб ранг основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці. Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих то система має єдиний розвязок. Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але не дорівнює кількості невідомих, то система має безліч розв’язків. Якщо ранг розширеної матриці більший за ранг основної матриці то система несумісна. № 3.3.11 Однорідна система завжди має розвязок, який називають тривіальним (всі невідомі дорівнюють нулю). Для того, щоб окрім тривіального були й інші розв’язки, необхідно щоб визначник основної матриці системи дорівнював нулю. В такому випадку система має безліч розв’язків. Хід роботи Обчислити визначник: Для обчислення визначника я скористався програмою Mathcad Express Prime 5.0.0.0. Насамперед потрібно в робочому полі програми створити змінну. Я створив змінну під назвою x. Для присвоєння їй якогось значення потрібно скористатися оператором “ := ”. Після даного оператора потрібно записати вираз для обчислення визначника. Це виконується так – викликається функція det(M), яка повертає визначник квадратної матриці M. В якості аргументу функції det вставляємо необхідну матрицю. Вона вставляється за допомогою іконки в панелі інструментів під назвою ‘Вставить матрицу’. При натисканні іконки відображається вспливаюче вікно, в якому потрібно вказати розмір матриці. Створена матриця відобразиться в робочому полі програми, далі потрібно записати всі елементи матриці. Після всіх кроків в кінці утвореного виразу записати знак “ = ”, в результаті чого після цього знаку з’явиться результат обчислення виразу. Виконати дії з матрицями: № 2.1.11 В даному завданні потрібно обчислити значення заданої функції для заданої матриці. Записуємо у змінну А значення заданої матриці та в змінну E одиничну матрицю. Одинична матриця нам потрібна для того щоб при обчисленні многочлена від матриці вільний член додавався як одинична матриця яка помножена на даний вільний член. Записуємо функцію f(x), не забуваючи про вільний член. Далі викликаємо нашу створену функцію з аргументом А, в якому зберігається матриця. Після чого результат зберігаємо у змінній Result. № 2.2.11 В цьому завданні потрібно розв’язати матричне рівняння. Для цього в змінні А та B записуємо значення заданих матриць. Далі в робочому полі програми записуємо отриманий вираз, але змінну А записуємо зі степенем -1. Це і буде обернена матриця до матриці А. Результат зберігаємо у змінну X. № 2.3.11 В завданні потрібно лише знайти матрицю обернену до даної. За допомогою програми це виконується дуже просто. В робочому полі програми записуємо змінну А в якій зберігаємо початкову матрицю. Далі в новому рядку записуємо змінну А з індексом -1 після чого ставимо знак ‘ = ’. Після цього знаку на екрані відобразиться потрібний нам результат. № 2.4.11 В даному завданні потрібно знайти ранг заданої матриці. За допомогою програми Mathcad це виконується вкрай легко. В робочому полі програми записуємо змунну А яка містить задану матрицю. Далі на рядку нижче викликаємо функцію rank(), яка в якості аргументу приймає матрицю та обчислює її ранг. Розвязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь: № 3.1.11 В завданні необхідна розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Для її розвязку я використав метод Крамера. Спочатку у змінну Δ зберігаємо визначник основної матриці системи. У нашому випадку він не дорівнює нулю, отже система має єдиний розвязок. Далі створюємо нові змінні Δ1, Δ2, Δ3, в яких зберігаємо допоміжні визначники, які необхідні для знаходження коренів системи. Розвязки системи – х1, х2, х3 знаходимо таким чином: кожен допоміжний визначник Δ1, Δ2, Δ3 ділимо на визначник основної матриці системи. № 3.2.11 В даному завданні потрібно дослідити СЛАР, задану розширеною матрицею, на сумісність і в разі сумісності знайти її загальний розвязок. В робочому полі програми збережемо у змінній А задану розширену матрицю. Далі викличемо функцію rref і в якоті її аргументу візьмемо А. Дана функція повертає матрицю А яку привели до ступінчастого вигляду. З отриманого результату видно, що задана СЛАР є сумісною, тому що ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці. Також можна сказати, що СЛАР є невизначеною, оскільки ранг основної матриці менший за кількість невідомих. Для знаходження загального розвязку нехай x3 та x5 будуть фіксованими змінними. Тоді інші змінні виразимо через ці фіксовані. № 3.3.11 В цьому завданні необхідно розв’язати однорідну СЛАР. Для цього я скористався програмою Mathcad. В робочому аркуші я зберіг у змінній А задану матрицю, після чого знайшов її визначник. Виявилося, що він дорівнює нулю, отже дана система окрім тривіального розвязку, має безліч інших розвязків. Привівши задану матрицю до трикутного вигляду, за допомогою функції rref, я виразив три змінні через четверту. Це і є загальний розвязок системи. Отримані результати Обчислити визначник:  Виконати дії з матрицями: № 2.1.11  № 2.2.11  № 2.3.11  № 2.4.11  Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь: № 3.1.11 1 2 | ||||||||||||||||||||||