Билинейные формы Шестаков. Білінійні та квадратичні функції С. С. Шестаков. Конспект лекцій для студентів заочного відділенння
![]()
|
Конспект лекцій для студентів заочного відділенння факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка Білінійні та квадратичні функції Шестаков С.С., канд. ф.- м. наук, Тмєнова Н.П., канд. ф.- м. наук Київ - 20011 Зміст Білінійні функції та білінійні форми………………………………………………2 Матриця білінійної функції в базисі………………………………………………3 Зв’язок матриць білінійної функції в різних базисах…………………………….5 Симетричні та кососиметричні білінійні функції………………………………...7 Квадратичні функції та квадратичні форми………………………………………8 Два способи завдання квадратичних функцій……………………………………9 Зведення квадратичної функції до канонічного вигляду……………………….10 Метод Лагранжа (метод виділення повних квадратів)………………………….12 Метод Якобі………………………………………………………………………..15 Закон інерції квадратичних форм………………………………………………..20 Додатні квадратичні функції……………………………………………………..22 Критерій Сильвестера……………………………………………………………22 Застосування теорії симетричних матриць до теорії квадратичних функцій...25 Алгоритм зведення квадратичної функції до канонічного вигляду ортогональним перетворенням змінних…………………………………………26 Класифікація поверхонь другого порядку………………………………………27 Список рекомендованої літератури………………………………………………….33 Предметний вказівник………………………………………………………………..34 Білінійні функції та білінійні форми Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4. ![]() Таким чином, функція ![]() ![]() Припустимо тепер, що ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Позначимо ![]() ![]() тоді ![]() Сума такого вигляду називається білінійною формою від змінних ![]() 1. На скінченновимірному просторі при фіксованому базисі будь-яка білінійна функція задається деякою білінійною формою. 2. При фіксованому базисі ![]() ![]() ![]() ![]() Матриця білінійної функції в базисі Припустимо, що ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Матриця білінійної функції в даному базисі цілком визначає білінійну функцію. Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Далі, ![]() Таким чином, виконуються рівності ![]() ![]() ![]() ![]() Рівності можемо переписати в матричному вигляді: ![]() Звідси: ![]() Таким чином, можна зробити висновок: якщо ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() то значення білінійної функції ![]() ![]() ![]() Зв’язок матриць білінійної функції в різних базисах Теорема. Нехай білінійній функції ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доведення. Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тоді ![]() З іншого боку, ![]() Покажемо, що ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тобто, ![]() Наслідок. Ранг матриці білінійної функції не залежить від вибору базису. Доведення. Якщо ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() З останнього наслідку випливає коректність наступного означення. Означення. Рангом білінійної функції на скінченновимірному просторі називається ранг її матриці в деякому базисі. Означення. Квадратні матриці ![]() ![]() ![]() У теоремі було доведено, що матриці білінійної функції в різних базисах конгруентні. Матриця білінійної функції в даному базисі цілком задає цю функцію. З іншого боку, нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функція ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Симетричні та кососиметричні білінійні функції Означення. Білінійна функція ![]() ![]() ![]() Припустимо, що ![]() ![]() ![]() Зрозуміло, що на просторі розмірності ![]() ![]() Означення. Білінійна функція ![]() ![]() ![]() Означення. Квадратна матриця ![]() ![]() Припустимо, що ![]() ![]() ![]() Зрозуміло також, що для кососиметричної білінійної функції виконується: ![]() Дослідження довільних білінійних функцій у певному розумінні зводиться до дослідження симетричних та кососиметричних білінійних функцій. Зрозуміло, що існують білінійні функції, які не є симетричними або кососиметричними. Нехай ![]() ![]() покладемо ![]() Оскільки сума двох білінійних функцій є білінійною функцією, а також добуток білінійної функції на дійсне число - білінійна функція, то ![]() ![]() Тобто, ![]() ![]() Тоді ![]() ![]() Тобто, ![]() ![]() Таким чином, будь-яка білінійна функція є сумою деякої симетричної та деякої кососиметричної білінійних функцій. |